Seri Robot Kollarının Ters Kinematik Çözümüne Screw Teori Ve Kuaterniyon Cebri Tabanlı Yeni Bir Yaklaşım

Abstract

Screw teori, üç boyutlu uzayda dönme ve öteleme hareketlerinin birleşimi ile oluşan, genel hareket, hız, kuvvet ve torkların ifade edilmesini sağlayan bir yöntemdir. Genel olarak screw hareketi bir doğru etrafında dönme ve yine aynı doğru boyunca öteleme hareketlerinin bir birleşimidir. Katı cisimlerin tüm hareketleri bu yaklaşımla ifade edilebilir. Genel olarak üç boyutlu uzayda screw hareketi bir doğru ve bir oran (pitch) kullanılarak ifade edilir. (Burada kullanılan oran (pitch), dönme başına meydana gelen öteleme miktarıdır). Genel screw hareketi toplamda dört eleman kullanılarak tanımlanabilir. Bunlardan üç tanesi dönme ve ötelemenin meydana geldiği doğruyu, bir tanesi de doğru etrafında meydana gelen dönme miktarını ifade etmek için kullanılır. Katı cisimlerin hareketinde kullanılan en geleneksel yöntem Euler açılarıdır. Euler açıları bir katı cismin hareketini 6 eleman kullanarak ifade eder. Bunlardan üç tanesi kartezyen koordinatlarda öteleme hareketinin ifadesinde kullanılırken, diğer üç tanesi de bu koordinat sistemlerinde meydana gelen dönmelerin ifadesinde kullanılır. Screw teorinin robot kinematiğinde çeşitli uygulamaları vardır. Diğer yöntemlere kıyasla screw teorinin robot kinematiğinde şu üstünlükleri vardır; yalnız iki koordinat sistemiyle kinematik analiz yapılır, geometrik olarak çok anlaşılırdır ve ters kinematik çözümlemede tekil nokta probleminden etkilenmez. Bu nedenlerden dolayı screw teorinin robot kinematiğinde çok önemli bir yeri vardır. En genel anlamda bu tezin amaçlarını iki temel başlık altında toplayabiliriz. Bunlardan birincisi seri robotların ters kinematiğinde tekil nokta problemlerinden etkilenmeden çözümlerin elde edilmesidir. Bunun için önerilen yöntemler screw teori tabanlı olarak seçilmiştir. İkinci temel amaç ise kinematik problemin etkin bir cebir kullanılarak ifade edilmesidir. Bunun içinde önerilen yöntemlerde kuaterniyon cebiri kullanılmıştır. Kuaterniyonlar rankı dört olan hiper-kompleks sayılardır. Kuaterniyon cebirinde bu dört eleman kullanılarak bir doğru tanımlanır ve bu doğru etrafında herhangi bir dönme temsil edilebilir. Fakat genel katı cisim hareketi tek bir kuaterniyon ile ifade edilemez. Bunun için ya iki kuaterniyon (bunlardan bir tanesi “birim kuaternion” dönmeyi ifade etmede, diğeri ötelemeyi ifade etmede kullanılır) ya da dual kuaterniyonlar kullanılmalıdır. Dual operatörler screw hareketi ifade etmede kullanılabilecek en iyi operatörlerdir. Aynı zamanda dual operatörlerin içinde de dual kuaterniyon operatörü screw hareketin temsilinde kullanılabilecek en verimli ve en az parametreli dual operatördür. Bu tezde seri robot kollarının ters kinematik çözümlerine yönelik screw teori tabanlı yöntemler incelenmiştir. Bunlardan ilki ekponensiyel haritalama yöntemidir. Bu yöntemde screw teori ve matris cebiri kullanılır. Bu nedenle tekil nokta problemi olmamasına karşın denklemler çok fazla parametre ile ifade edilmiştir. Bu durumu ortadan kaldırmaya yönelik iki farklı ters kinematik çözümü önerilmiştir. Bunlardan birincisi birim kuaterniyon (dönme operatörü) ve bir kuaterniyon (öteleme oerpatörü) kullanılarak elde edilmiştir. İkinci çözüm ise dual kuaterniyonlar kullanılarak elde edilmiştir. Bu üç yöntem ve robot kinematiğinde en çok kullanılan yöntem olan D-H yöntemi tekil nokta problemleri, hesaplama verimi, dizayn zorluğu ve çözüm doğruluğu açısından karşılaştırılmışlardır. Simulasyon çalışmaları Matlab ortamında geçekleştirilmiştir. Animasyon uygulamaları ise Matlabın sanal gerçeklik araç kutusu kullanılarak gerçekleştirilmiştir (VRML). Simulasyon denemelerinde Staubli TXL60 seri robotunun tek ve kooperatif çalışma örnekleri yapılmıştır.

Screw theory is a way to express displacements, velocities, forces and torques in three dimensional space combining both rotational and translational parts. Any motion along a screw can be decomposed into a rotation about an axis followed by a translation along that axis. Any general displacement of a rigid body can therefore be described by a screw. In general, a three dimensional motion can be defined using a screw with a given direction and pitch. Four parameters are required to fully define a screw motion, the 3 components of a direction vector and the angle rotated about that line. In contrast, the traditional method of characterizing 3-D motion using Euler Angles requires 6 parameters, 3 rotation angles and a 3x1 translation vector. Several application of screw theory has been introduced in robot kinematic. Compared with other methods, screws theory method just establish two coordinates, its geometrical meaning is obvious and it avoids singularities due to the use of the local coordinates. Therefore, screw theory has regained importance and has become an important method in robot kinematic. The major intents of this thesis are to formulize inverse kinematic problem in a compact closed form and to avoid singularity problem. Non-singular inverse kinematic solutions are obtained by using screw theory. Quaternion algebra is used to formulize kinematic problem in a compact closed form. Quaternions are hyper-complex numbers of rank 4, constituting a four dimensional vector space over the field of real numbers. Any rotation can be represented by unit-quaternion and also any screw motion can be defined by unit dual-quaternion. Screw motion can also be defined by using two quaternions however dual operators are the best way to describe screw motion and also the dual-quaternion is the most compact and efficient dual operator to express screw displacement. In this thesis, three inverse kinematic solution methods of 6-DOF serial robot manipulator, which are based on screw theory is presented. The first one is exponential mapping method. This method uses matrices as a screw operator. There are 16 parameters to describe screw motion in matrix operators while just 6 parameters are needed. Thus, however this method is singularity avoding, it is not compact closed. And also two new formulations of the inverse kinematic solution of the 6-DOF serial robot manipulator are proposed by using quaternion algebra. In these two new formulation methods, one of them uses quaternions as a screw operator which combines a unit quaternion plus pure quaternion and the other one uses dual-quaternions as a screw operator. These three methods and also the D-H convantion, which is the most common method in robot kinematic are compared with respect to singularity, computation efficiency, design complexity and accuracy. Simulation results are obtained by using Matlab and animation applications are obtained by using the virtual reality toolbox of MATLAB (VRML). Simulation experiments are made for single and cooperative working of Staubli TXL60 serial robot arm.