Homojen olmayan ortamlara ilişkin green fonksiyonları ve çeşitli uygulamaları

Abstract

Elektromanyetik teoride homojen olmayan ortamlara veya homojen olmayan ortamların içerisinde yer alan saçıcı cisimlere ilişkin düz ve ters saçılma problemleri üzerine yapılan araştırmalar literatürde çok önemli bir yer tutmaktadır. Gerçekte pratik hayattaki tüm elektromanyetik uygulamalarda karşılaşılan ortamlar doğrudan bu türden homojen olmayan yapılardır. Bu kapsamda gerek düz saçılma gerekse ters saçılma olsun herhangi bir elektromanyetik probleminde ortam ve saçıcıların herhangi bir yaklaşıklık yapılmadan olduğu gibi gerçek profillerinin göz önüne alınması yüksek doğruluk ve hassas analizler için oldukça önemlidir. Saçılma problemleri genel olarak diferansiyel denklemler içerir. Bilindiği üzere bu denklemlerin çözümünde Green fonksiyonları hayati öneme sahiptir. Temel olarak Green fonksiyonları, saçılma problemlerinde karşılaşılan diferansiyel denklemleri veya denklem sistemlerini yüzey veya hacim integral denklemlerine dönüştürmek için kullanılır. Green fonksiyonu, verilmiş bir diferansiyel denklem için sağ tarafın normalize edilmiş noktasal kaynak (iki boyutta çizgisel kaynak), başka bir deyişle Dirac delta genelleştirilmiş fonksiyonu olması halindeki çözüm olup sistemin birim dürtü (impuls responce) cevabı olarak düşünülebilir. Klasik saçılma problemlerinde saçıcının içerisinde yer aldığı arka plan uzayı çoğu zaman homojen basit bir ortam, bazı özel problemlerde de tabakalı ortamlar olarak düşünülür. İlk halde Green fonksiyonlarının doğrudan analitik ifadeleri mevcuttur. İkinci durumda (tabakalı ortamlar) ise Fourier teorisine dayanan integral gösterimler veya sonsuz seri ifadeler yardımıyla Green fonksiyonları kolaylıkla hesap edilebilir. Oysa saçıcıyı barındıran arka plan uzayı homojen değilse ya da doğrudan saçıcının kendisi ve arka plan uzayının bir arada homojen olmayan bir ortam olarak modellenmesi durumunda Green fonksiyonu doğrudan analitik olarak ifade edilemez. Gerçekte böyle bir problemin kendisi de normalize bir noktasal (iki boyutta çizgisel) kaynakla aydınlatılmış homojen olmayan bir cisme ilişkin bir düz elektromanyetik saçılma problemine karşı düşer. Böyle genel bir konfigürasyona diğer bir deyişle homojen olmayan ortamlara ilişkin Green fonksiyonlarının hesabı ancak sayısal yöntemlerle gerçekleştirilebilir. Sözü edilen bu problemin bilinmeyeni Green fonksiyonu olduğundan kaynak noktası uzayın herhangi keyfi bir noktası olabilmelidir. Tüm uzay, arka planı homojen bir ortamın içerisindeki homojen olmayan bir yapı olarak düşünüldüğünde, kaynağın homojen olmayan bölge dışarısında olduğu durum için Green fonksiyonu bilinen yöntemlerle elde edilebilir. Burada klasik düz saçılma problemi noktasal kaynak halinde sayısal olarak çözülür ve doğrudan sonuca gidilebilir. Ancak kaynak noktası (Dirac delta kaynağın yerleştirildiği nokta) homojen olmayan bölgenin içinde kaldığında kaynak ve gözlem noktalarının üst üste gelmesi halinden (çakışmasından) dolayı yüksek dereceden tekillikler meydana gelir ve problem klasik yaklaşımlarla çözülemez. Bu tez çalışmasında bu tekilliğin çözümüne ilişkin momentler yöntemine dayanan orijinal bir sayısal yöntem önerilmiştir. Böylelikle kaynak noktasının konumuna bağımlı olmaksızın herhangi bir kaynak-gözlem konfigürasyonu için herhangi bir homojen olmayan ortama ilişkin Green fonksiyonunun sayısal olarak hesaplanabileceği gösterilmiştir. Uygulanan yöntemin ana yaklaşımı ilgili Green fonksiyonunu tekil ve tekil olmayan iki ayrı fonksiyonun toplamı olarak ifade etmeye dayanmaktadır. Bu dekompozisyon öncelikle ilgili noktadaki tekilliği başarılı bir şekilde yansıtmakta daha sonra da tekil olmayan kısmın uygun bir integral denklem yardımıyla sayısal olarak çözülmesini sağlamaktadır. Önerilen bu yeni yaklaşımda ilgili homojen olmayan bölge dikdörtgen formda küçük alt bölgelere (hücrelere) ayrılarak her bir hücre için analitik hesaplar yapmaya elverişli eşdeğer dairesel hücre yaklaşımı kullanılmıştır. Bu hücrelerin boyutlarının yeteri kadar küçük seçilmesi halinde, hücre içerisinde ortama ilişkin ilgili parametrelerin yaklaşık olarak sabit olduğu kabul edilerek çözüme gidilmiştir. Bu nedenle yeteri kadar hücre sayısı olması önemlidir. Green fonksiyonunun tekil olmayan bu parçası ile ilgili sayısal çözümü elde etmek için kurulan integral denklem, yüksek dereceden tekillikler içerir. Bu aşırı-tekil (hyper-singular) integral denklemde eşdeğer hücreler üzerindeki integraller analitik olarak hesaplanarak oldukça basit ve güvenilir bir çözüm elde edilmiştir. Hücre integralleri analitik olarak hesaplanabildiğinden eşdeğer hücre ve hücre içinde elektromanyetik parametrelerin sabit kabul edilmesi dışında fazladan bir yaklaşıklık yapılmamıştır. Bu nedenle oldukça yüksek doğrulukta sonuçlara erişilmiştir. Sonuç olarak homojen olmayan ortamlara ilişkin Green fonksiyonu kaynağın konumundan bağımsız olarak önerilen yöntem ile elde edilmiştir. Bu sonuç düz ve ters saçılma problemi araştırmaları için oldukça önemlidir. Daha önce belirtildiği üzere, yukarıda özetlenen yöntem ile bulunan homojen olmayan ortam Green fonksiyonlarının doğrudan uygulama alanı bulabileceği temel alan elektromanyetik saçılma problemleridir. Bu kapsamda bu tez çalışmasında öncelikle düz saçılma problemlerine ilişkin uygulamalar yapılmış ve elde edilen sonuçlar analitik sonuçlarla kıyaslanarak yöntem ve yaklaşımların doğruluğu ispatlanmıştır. Ayrıca literatürde yer alan bir çalışma ile kıyaslama yapılarak yöntemin etkinliği ve doğruluğu bağımsız bir örnekle de desteklenmiştir. Devamında gerçek homojen olmayan ortamlarda yöntemin işlerliğini görmek adına insan beynine ilişkin bir kesit ele alınmış ve kaynak hem kesit içerisine hem de kesit dışarısına ayrı ayrı yerleştirilerek Green fonksiyonu ve alan dağılımı incelenmiştir. Bu tip yüksek kontrasta sahip ortamlarda yapılan analizlerde gelen dalganın ortam içerisine yeteri kadar nüfuz etmesi için uygun bir arka plan uzayı gereksinimine dikkat çekilmiş ve bununla ilgili sonuçlar paylaşılmıştır. Ayrıca önerilen yöntemle elde edilen Green fonksiyonu kullanılarak bir saçılan alan ifadesi verilmiştir. Bu saçılan alan hesabının, klasik olarak bilinen ve toplam alanı içeren saçılan alan ifadesine göre hesaplama yükü açısından daha verimli olduğu söylenebilir. Bu durum, literatürde yer alan birçok yinelemeli yöntem açısından önemlidir. Düz saçılma problemi analizinde elde edilen etkili sonuçlar ve yapılan analizler bu yöntemin etkinliğini açık bir şekilde ortaya koymaktadır. Homojen olmayan ortamlara ilişkin Green fonksiyonlarının bir diğer uygulama alanı olan ters saçılma problemlerinde öncelikle düz saçılma problemi çözümünden sağlanacak verinin yüksek derecede doğru olması kritiktir. Bu tez çalışmasında düz saçılma problemleri için yapılan kıyaslamalı uygulamalar yöntemin ters saçılma problemlerinde güvenilir bir şekilde kullanılabileceğine bir kanıttır. Yöntemin ters saçılma problemlerinde etkinliğini görmek adına ise iki farklı ters saçılma problemi analizi yapılmıştır. Bunlardan ilki mikrodalga beyin görüntüleme uygulaması olup kanamalı bir beyindeki kanamanın yer tespiti çalışmasıdır. Sağlıklı ve sağlıksız beyinlerden saçılan alanların farkından yola çıkarak elde edilen kontrast fonksiyonunun hesaplanması ile sağlıksız beyinde yer alan kanamalı bölgenin yer tespiti yapılmıştır. Burada sağlıklı ve sağlıksız beyin Green fonksiyonlarının birbirlerine çok benzer olması sebebiyle fark saçılan alan ifadesinde sağlıklı beynin Green fonksiyonu kullanılmıştır. Problem kötü oluşturulmuş bir sistem olduğundan Tikhonov regülarizasyon yöntemine başvurulmuştur. Bu özel görüntüleme probleminde daha iyi sonuç elde etmek amacıyla çoklu aydınlatma kullanılmıştır. Ayrıca özellikle dalgaların beyin içine nüfuz edebilmesi için uygun arka plan uzayı seçimi bu problemin çözümü için önemlidir. Önerilen yöntem ile farklı büyüklük, adet ve elektromanyetik özelliklerdeki kanamalı bölgelerin tespiti yapılmıştır. Kanamalı bölge ile beynin elektromanyetik özellikleri arasındaki fark arttıkça görüntülemede netlik bir miktar azalmaktadır. Bu durumda kanamalı bölge için arka plan uzayı beynin kendisi olduğundan bu beklenen bir sonuçtur. Bu yöntemin kullanılabilmesi açısından en kritik konu, görüntülenecek beynin kanama olmadan önceki saçılan alan analizinin biliniyor olmasıdır. Bir diğer ters saçılma problemi uygulaması olarak mevcutta uygulamaları olan Ters Zaman Göçü yöntemi incelenmiştir. Homojen olmayan ortamlara ilişkin Green fonksiyonu bu yöntemde kullanılmış ve klasik Green fonksiyonu ile elde edilen sonuçlarla kıyaslama yapılmıştır. Yapılan incelemeler sonucunda önerilen yöntemin bu ters saçılma problemi uygulamasında da etkili olduğu görülmüştür. Klasik Green fonksiyonu ile elde edilen sonuçlar kıyaslandığında önerilen yöntemin birçok uygulamada görece daha net sonuçlar verdiği görülmüştür. Bu yöntemde uygulamalar basit kanonik yapılar üzerinde yapılmış, daha yüksek kontrasta sahip yapılara ilişkin yapılan analizler sonraki çalışmalarda incelenmek üzere plana alınmıştır. Sonuç olarak önerilen yöntemle elde edilen homojen olmayan ortamlara ilişkin Green fonksiyonu hem düz hem de ters saçılma problemlerinde etkin sonuçlar vermektedir. Özellikle düz saçılma problemleri için yapılan kıyaslamalı uygulamalar yöntemin doğruluğunu net bir şekilde ortaya koymaktadır. İlgili yöntem saçılan alanın hesaplama verimliliği açısından mevcuttaki yinelemeli yöntemlere göre avantajlıdır. Yöntem uygulanırken ilgili ortamın hücre sayısının yeteri düzeyde belirlenmesi önemlidir. Mikrodalga beyin görüntüleme alanında önerilen ters saçılma problemi yaklaşımı bu tip problemlere basit ve etkili bir yöntem sunmaktadır. Bu problemde uygun arka plan uzayı seçimi son derece önemlidir. Ayrıca mevcutta kullanılan bir ters saçılma problemi ile yapılan kıyaslama sonucunda da önerilen yöntemin etkinliği incelenmiş ve basit kanonik yapılarda uygulanabilir olduğu görülmüştür. Bu yönteme ilişkin daha geniş incelemeler yapılabilir. Homojen olmayan ortamlara ilişkin Green fonksiyonunun moment tabanlı sayısal bir yöntem ile elde edilmesi sonucunda literatüre özgün bir çalışma kazandırılmış, bu alandaki düz ve ters saçılma problemlerine katkılar sağlanmıştır.