Sonlu tipten küresel gauss tasvirine sahip küresel alt manifoldlar

Abstract

Sonlu tipten alt manifoldlar fikri, 1970 yıllarının sonlarına doğru B.Y. Chen tarafından ortaya atılmış ve Öklidiyen ve yarı Öklidiyen uzaylarının alt manifoldlarının incelenmesinde çok geniş olarak kullanılan bir kavram olmuştur. Sonlu tipten kavramı Chen ve Piccinni tarafından Öklidiyen uzayların alt manifoldları üzerinde tanımlı türevlenebilir tasvirlere genişletilmiştir. Bu tasvirler arasında alt manifoldların Gauss tasvirleri oldukça önemli yer tutmaktadır. Sonlu tipten Gauss tasviri alt manifoldlarla ilgili çalışmalarda önemli bir araç olarak kullanılmıştır. Chen ve Piccinni sonlu tipten Gauss tasvirine sahip alt manifoldlarla ilgili makalede 1-tipinden Gauss tasvirine sahip kompakt hiperyüzeyler sınıflandırılmış ve m-boyutlu bir Öklid uzayında kompakt bir yüzeyin 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması için gerek ve yeter koşullarla ilgili önemli bir teorem elde etmişlerdir. Daha sonra küresel alt manifoldların, aslında küresel Gauss tasviri ile daha yakın ilişkili olduğu gözlenmiştir. Chen ve Lue ise sonlu tipinden küresel Gauss tasvirine sahip küresel bazı alt manifoldları sınıflandırmıştır. Bu tez çalışmasının temel amacı ise, sonlu tipten küresel Gauss tasvirine sahip küresel alt manifoldlar ile ilgili teoremleri incelemektir. Ayrıca küresel hiperyüzeylerin küresel Gauss tasviri ile ilgili yeni sonuçlar elde edilmiştir.

In late 1970?s B.Y. Chen introduced the notion of finite type submanifold of a Euclidean space. Since then the finite type submanifolds of Euclidean spaces or pseudo-Euclidean spaces have been studied by many geometers, and many interesting results have been obtained. Then, Chen and Piccini extended the notion of finite type to differentiable maps, in particular, to Gauss map of submanifolds. Finite type Gauss map is useful tool in the study of submanifolds. Chen and Piccinni characterized and classified compact hypersurfaces with 1-type Gauss map. Later, Chen and Lue introduced the spherical submanifolds with finite type spherical Gauss map. They gave some classification theorems on spherical submanifolds with finite type spherical Gauss map. It was believed that for spherical submanifolds the concept of spherical Gauss map is more relevant than Gauss map which was initiated by Chen and Piccinni. The geometrical behavior of these Gauss maps are different. The main aim of this thesis is to study finite type spherical Gauss map of spherical submanifolds, in particular, spherical hypersurfaces with 2-type spherical Gauss map. We obtain some new results on such hypersurfaces in the last chapter.