Aralık Değerlı Tıp-2 Bulanık Mantık Sıstemler Içın Genel Çıkarımlar Ve Bır Tasarım Yöntemı

Abstract

Oransal-integral-türev (PID) ile kontrol, uyarlamalı kontrol, dayanıklı kontrol, doğrusal olmayan kontrol yöntemleri ve benzeri geleneksel yöntemler, pek çok sistemin kontrolüne başarıyla uygulanmalarına rağmen kontrol edilecek sistemin matematiksel modeline gereksinim duyarlar. Ancak sistemin matematiksel modeli hakkında bilgi olmaması, kısmen bilinmeyenlere sahip olması ya da yüksek derecede doğrusal olamayan bir yapıya sahip olması durumunda bu geleneksel yöntemlerin başarımı azalabilir ya da tasarımın karmaşıklığı artabilir. Bulanık mantık sistemleri, matematiksel modelleri doğrusal olmayan ya da kolay bir şekilde elde edilemeyen sistemlerin kontrolü ve modellenmesi için son derece kullanışlıdır. Bulanık mantık, işaret işleme, örüntü tanıma, sistem modelleme ve kontrol sistem tasarımı gibi pek çok alanda yaygın olarak kullanılmaktadır. Tip-1 bulanık sistemler ile gerçekleştirilen bulanık mantık kontrol çalışmaları literatürde önemli bir yer tutar. Tip-1 bulanık mantık sistemlerinin bir uzantısı olan ve ilk olarak Zadeh tarafından önerilen Tip-2 bulanık mantık sistemleri de çeşitli mühendislik problemlerine çözümüne başarıyla uygulanmaktadır. Tip-2 bulanık mantık sistemleri, üyelik fonksiyonlarındaki belirsizlik alanının sağladığı ek bir serbestlik derecesi sayesinde, belirsizliklerin ifade edilmesinde tip-1 bulanık mantık sistemlerinden daha iyi bir başarım sağlarlar. Tip-2 bulanık mantık sistemlerinin ifade edilmesindeki karmaşıklığı azaltmak amacı ile “aralık değerli tip-2 bulanık mantık sistemleri” önerilmiştir. Bu tezde aralık değerli tip-2 bulanık mantık sistemleri üzerine çalışılmıştır. Bulanık mantık sistemi bir kara kutu sistemi olarak kabul edildiğinden, ilişkin matematiksel ifadelerin türetilmesi bu sistemlerin neden ve nasıl çalıştıklarının anlaşılabilmesi açısından önemlidir. Bir bulanık mantık sisteminin matematiksel giriş-çıkış ilişkilerinin belirlenmesi ile bulanık mantık sistemlerinin iç yapısının yorumlanması kolaylaşır. Böylece, elde edilen matematiksel denklemler sayesinde, bulanık mantık sistemlerinin tasarımı ve parametrelerinin ayarlanması için çeşitli etkin önerilerde bulunulabilir. Bu tezde öncelikle, bir aralık değerli tip-2 bulanık mantık sisteminin matematiksel giriş-çıkış ilişkisine ait kapalı yapıdaki analitik denklemler elde edilmiştir. Literatürde, aralık değerli tip-2 bulanık mantık sistemlerinin giriş-çıkış ilişkisini analiz eden yayın sayısı çok azdır. Bu çalışmalarda ise klasik tip-2 üyelik fonksiyonlarının ve “Zadeh VE” operatörünün kullanılmasından dolayı, giriş-çıkış ilişkisinin matematiksel ifadesi oldukça karmaşık hale gelmektedir. Bu nedenle, her bir giriş için ikiden fazla üyelik fonksiyonuna sahip olan aralık değerli tip-2 bulanık mantık sisteminin analizinde zorluklarla karşılaşılmaktadır. Bu tezde, aralık değerli tip-2 bulanık mantık sistemine ait her giriş için baklava biçimli tip-2 üyelik fonksiyonları, çıkış için tekil üyelik fonksiyonları, “çarpımsal VE” operatörü ve “Nie-Tan karar vericisi” kullanılmaktadır. Sistemin giriş-çıkış ilişkisini veren analitik ifadeleri elde etmek için çarpımsal VE operatörünün kullanılması, Zadeh VE operatörünün kullanılmasından daha kolaydır. Bu nedenle, elde edilecek denklemlerin n adet üyelik fonksiyonu için genelleştirilmesi mümkün olmuştur. Karnik-Mandel tip indirgemesi, kapalı biçimde formüle edilemediğinden Nie-Tan karar vericisi kullanılmıştır. Baklava biçimli tip-2 üyelik fonksiyonu ise, köşe noktalarında belirsizliğinin daima sıfır olması nedeniyle, matematiksel denklemlerin çıkarılmasında büyük kolaylık sağlamıştır. Klasik yapıdaki tip-2 üyelik fonksiyonları sözü edilen özelliği sağlamadıklarından, bu tür üyelik fonksiyonuna sahip bulanık sistemlere ilişkin matematisel ifadeleri n adet üyelik fonksiyonu için genelleştirmek çok daha zordur. Tezde ayrıca genel ifadeler dışında, farklı sayılarda üyelik fonksiyonu kullanan aralık değerli tip-2 bulanık mantık sistemlerine ait analitik ilişkiler de detaylı bir şekilde elde edilmiştir. Kapalı biçimdeki analitik ifadeler incelendiğinde, aralık değerli tip-2 bulanık mantık sisteminin tip-1 bulanık mantık sistemlerde görülmeyen bir giriş-çıkış yapısı olduğu görülmektedir. Elde edilen matematiksel ilişkiler, aralık değerli tip-2 bulanık mantık sistemin içsel yapısını anlamak ve değerlendirmek için fikir sağlamaktadır. Bulanık mantık kontrolör tasarımında en büyük zorluk kontrolör parametrelerinin (üyelik fonksiyonları, kurallar, ölçeklendirme katsayıları, vb.) belirlenmesidir. Bunu kolaylaştırmak için, literatürde tip-1 bulanık mantık kontrolör tasarımını sistematik bir şekle getirmek amacıyla doğrusal kontrolör tabanlı bir yöntem önerilmiştir. Bu yöntem, tasarımı yapılan tip-1 bulanık mantık kontrolör ile ele alınan doğrusal kontrolörün başarımlarının birebir aynı olmasını garanti eder. Daha sonra, tip-1 bulanık mantık kontrolörün başarımı kural tabanı değiştirilerek artırılabilir. Tezde ikinci olarak, aralık değerli tip-2 bulanık mantık sistemin kural tabanını oluşturmak için oransal-integral veya oransal-türevsel kontrolör tabanlı sistematik bir yöntem geliştirilmiştir. Bu yöntem, geleneksel yapıdaki doğrusal kontrolörleri (oransal-integral, oransal-türevsel vs.) doğrusal olmayan aralık değerli tip-2 bulanık mantık kontrolörüne dönüştürmektedir. Yöntemin geliştirilmesinde aralık değerli tip-2 bulanık mantık sistemleri için tezde elde edilen giriş-çıkış ilişkilerinin kapalı yapıdaki analitik ifadelerinden faydalanılmıştır. Elde edilen kontrolör, baklava biçimli tip-2 üyelik fonksiyonlarına sahiptir. Eğer baklava biçimli tip-2 üyelik fonksiyonunun belirsizlik alanı sıfır alınırsa, bu üyelik fonksiyonu, tip-1 üçgen üyelik fonksiyonu haline gelmektedir. Böylece önerilen kontrolör, geleneksel yapıdaki doğrusal kontrolörle aynı özellikleri taşıyan doğrusal tip-1 bulanık mantık kontrolörüne dönüşmektedir. Eğer bu belirsizlik alanı sıfırdan farklı olursa, doğrusal oransal-integral veya oransal-türevsel kontrolör, değişken kazançlı oransal-integral veya oransal-türevsel kontrolöre dönüşmüş olur. Bu sayede doğrusal kontrolörün varlığına dayalı olarak, doğrusal olmayan aralık değerli tip-2 bulanık mantık kontrolörüne ilişkin kural tabanını kolayca elde edilebilmektedir. Tip-2 yapının belirsizlik alanı ise tasarımcıya ek bir serbestlik derecesi sunmaktadır. Bu sayede tasarımcı, kontrolörün doğrusal olmayan yapısından ve tip-2 üyelik fonksiyonunda kattığı ekstra serbestlik derecesinden faydalanarak, başarımı daha da iyileştirebilir. Böylece, kontrol edilecek sistemlerin doğrusal olmayan davranışları ve sahip oldukları belirsizlikler karşısında tasarımcıya dayanıklı kontrolör tasarlamak için imkân sunulmaktadır. Önerilen yöntemin iki özel durumunu oluşturan 2*2 ve 2*3 lük kural tablolarına ait matematiksel analizler, değişken kazançlı kontrolörün sisteme olan etkilerini göstermek adına, detaylarıyla incelenmiştir. Zaman gecikmesi, integral etkisi ve minimum fazlı olmayan sistemler üzerindeki benzetimler ve top-çubuk sisteminin üzerindeki gerçek zamanlı uygulama, önerilen aralık değerli tip-2 bulanık mantık kontrolörünün daha dayanıklı ve sistemdeki belirsizlikler ile başa çıkmada geleneksel doğrusal kontrolör ve tip-1 bulanık mantık kontrolörlerinden daha yetenekli olduğunu göstermiştir. Tezde son olarak, tip-2 üyelik fonksiyonun parametrelerin eğitilmesi gösterilmiştir. Önerilen kontrolörün tip-2 üyelik fonksiyonlarının parametrelerinin değişimi sistemin başarımını iyi veya kötü yönde etkileyebilir. Bu nedenle bu parametrelerin optimal şekilde seçilmesi gerekmektedir. Literatürde pek çok optimizasyon yöntemi mevcuttur. Ancak bu çalışmada, kolay kullanımı ve hızlı çalışması nedeniyle “Büyük Patlama – Büyük Çöküş” optimizasyon yöntemi kullanılmıştır. Bu kontrolörün gürültü azaltma özelliğini göstermek için, benzetim ortamında farklı düzeylerde işaret-gürültü oranına sahip ölçme gürültüsü uygulanmıştır. Sonuç olarak aralık değerli tip-2 bulanık mantık kontrolörünün tip-1 bulanık mantık kontrolöre göre gürültü azaltma özelliğinin daha iyi olduğu gösterilmiştir.

Fuzzy logic systems have been widely developed and utilized in many practical applications and engineering systems like signal processing, pattern recognition, system modeling and control system design. Since fuzzy logic systems are considered as black-box systems, the main question about them is that why and how they work. Revealing the mathematical input-output relations of a fuzzy logic system clarifies their unknown internal structure and gives ability to understand their behavior. Depending on these mathematical expressions effective suggestions can be made on the design and parameter adjustment of fuzzy logic systems. In this thesis, firstly, general analytical closed-form expressions are derived for the input-output relation of an interval type-2 fuzzy logic system. In comparison with type-1 fuzzy logic systems, there are few studies which analyze the mathematical closed-form structure of interval type-2 fuzzy logic systems in the literature. In these studies, the choice of classical type-2 membership functions and Zadeh AND operator cause complexity in the mathematical expressions giving the relation between the inputs and the output of fuzzy logic system. Therefore, it becomes very difficult to generalize these analyses to interval type-2 fuzzy logic system with more than two membership functions for each input. In this thesis, it has been assumed that the related fuzzy system possesses diamond-shaped type-2 fuzzy sets for each input and singletons for output. Moreover, the product AND operator and the Nie-Tan inference engine is preferred. The simplicity in the derivation of the analytical structure of interval type-2 fuzzy logic system with product AND operator makes it possible to generalize the derivation to inputs with n fuzzy sets. Since the Karnik-Mendel type-reduction cannot be formulated in closed-form, the Nie-Tan inference engine is used. The diamond-shaped type-2 membership functions possessing “0” value at both ends of the support and “1” value at the modal point provide an easiness in the analytical derivation of mathematical closed-form expressions. An important advantage of the proposed technique is that the analytical input-output relations are applicable for any number of input fuzzy sets. Analytical structure of special case of interval type-2 fuzzy logic system which uses three membership functions for each input is derived in detail. The main difficulty in fuzzy logic controller design is to determine the parameters of the fuzzy logic controllers (e.g. membership functions, rules, scaling factors) for inputs and outputs of a fuzzy system. To ease the fuzzy logic controller design process, the researchers proposed a general methodology to systematically construct a type-1 fuzzy logic controller based on the existence of a linear controller. This methodology guarantees an identical performance for type-1 fuzzy logic controller as the existing linear controller. Since the performance of controllers are identical, it has been advised to use expert knowledge to improve the performance of fuzzy controller by appropriately changing the rule base. In the thesis, secondly, a systematical methodology is introduced to construct the rule base of an interval type-2 fuzzy logic controller based on an existing linear proportional-integral or proportional-derivative controller. For this purpose the analytical closed-form expressions between input and output of an interval type-2 fuzzy logic controller which have been obtained in this thesis are used and diamond-shaped type-2 fuzzy sets are utilized within the proposed controller. When the footprint of uncertainties of the antecedent membership functions are taken to be zero, the interval type-2 fuzzy logic controller will be reduced to type-1 fuzzy logic controller; thus, an identical mapping will be accomplished between conventional linear controller and the proposed controller. If footprint of uncertainty is not equal to zero, then an additional degree of freedom is acquired that provides an uncertainty cloud over the proposed controller. This provides the designer an additional tool to cope with the uncertainties and nonlinearities that may exist in the system to be controlled. Another beneficial feature of this technique is the ease and rapid generation of the fuzzy rules of the interval type-2 fuzzy logic controller based on the existing linear controller. Two special cases of the proposed controller with 2*2 and 2*3 rule bases are mathematically analyzed in detail to show the effect of variable gains that are introduced by proposed interval type-2 fuzzy logic controller. The footprint of uncertainty in type-2 membership function causes variable gains for the proposed controller. Simulations on various processes including those with time delay, integrating and non-minimum phase characteristics and a real time application on ball and beam system demonstrate that the interval type-2 fuzzy logic controller is more robust and capable to manage the uncertainties much better than conventional linear controller and type-1 fuzzy logic controllers. Finally, an optimization method is used to train the free parameters of type-2 membership function. The performance of an interval type-2 fuzzy logic controller is highly dependent on the parameters of the type-2 membership function. These parameters are usually chosen due to theoretical and practical knowledge of an expert or simply by trial and error method. Various optimization methods are implemented to estimate the parameters of type-2 membership function. Because of high convergence speed and the low computation time properties, Big Bang-Big Crunch optimization method is used to train the parameters of the chosen type-2 membership functions. The performance of the optimal controller is also analyzed in presence of measurement noise with different levels of signal to noise ratio. Results show that the optimal interval type-2 fuzzy logic controller can reduce the noise effect in system performance much better than linear conventional and type-1 fuzzy logic controllers.