Uzaysal nano çubukların statik davranışının yerel olmayan elastisite teorisi ile kesin analitik çözümü

Abstract

Nanoteknoloji alanındaki hızlı ve sürekli gelişme, nano ölçekte çalışan yapıların ve aygıtların hem daha doğru modellenmesini hem de üretim süreçlerinin daha hassas biçimde tasarlanmasını zorunlu hale getirmiştir. Nano ölçekli yapılar, klasik mühendislik modellerinin öngörülerinin ötesine geçen karmaşık fiziksel etkiler barındırmakta ve ortaya çıkan bu etkileşimler, mekanik davranışın anlaşılmasında belirleyici olmaktadır. Bu amaçla, nano çubuklar, sadece basit birer taşıyıcı eleman olmanın ötesinde, çeşitli nano ve mikro elektromekanik sistemlerin (NEMS/MEMS) temel yapı taşları olarak işlev görmektedir. Sensörlerden aktüatörlere, biyoteknolojik cihazlardan nano ölçekli robotik bileşenlere kadar geniş bir uygulama alanında kullanılan nano çubukların yük altındaki davranışlarının güvenilir şekilde belirlenmesi, bu sistemlerin performans ve güvenliği açısından kritik öneme sahiptir. Klasik elastisite teorisi, uzun yıllar boyunca mühendislik yapılarının tasarımında büyük bir başarıyla kullanılmasına rağmen, nano ölçekte geçerliliğini yitirmektedir. Bunun temel nedeni, klasik teorinin "yerellik" varsayımıdır. Bu yaklaşımda, bir noktadaki gerilme, yalnızca o noktadaki şekil değiştirme ile ilişkilendirilir. Ancak, atomlar arası uzun menzilli etkileşimlerin baskın olduğu nano ölçekte, teori yetersiz kalmaktadır. Bu eksikliği giderebilmek amacıyla, önerilen yerel olmayan elastisite teorileri ise, gerilmenin sadece yerel şekil değiştirmelerle değil, çevredeki diğer noktaların şekil değiştirmeleriyle de ilişkili olduğunu kabul etmektedir. Böylece, nano çubukların mekanik tepkilerini daha gerçekçi biçimde açıklayabilen bir teori ortaya koymaktadır. Bu tezde, Eringen'in yerel olmayan elastisite teorisi temel alınarak nano çubukların statik davranışları kapsamlı biçimde araştırılmıştır. Çalışma, klasik çubuk modellerinin yerel olmayan teori ile birleştirilmesini esas alan bütüncül bir yaklaşıma dayanmaktadır. İlk olarak, silindirik koordinat sisteminde yeniden formüle edilen hareket denklemleri oluşturulmuş, ardından nano çubukların farklı yükleme durumları altındaki davranışlarını yansıtan genel bir matematiksel model elde edilmiştir. Farklı tekil yükler, kayma şekil değiştirmeleri ve kayma kuvvetlerinin yerel olmayan etkileri birlikte dikkate alınarak daha gerçekçi bir analiz ortaya konmuştur. Böylece, literatürde yer alan pek çok çalışmanın aksine, yalnızca eğilme etkisinin değil, hem eksenel hem de kayma davranışlarının da yerel olmayan teori ile modele dâhil edilmesi hedeflenmiştir. Tezin önemli bir bölümü, eğri eksenli nano çubukların yerel olmayan elastisite teorisi çerçevesinde incelenmesine ayrılmıştır. Gerçek mühendislik uygulamalarında nano ölçekteki pek çok yapı, dümdüz bir formdan ziyade eğrilik içeren veya karmaşık bir eksen geometrisine sahip yapıdadır. Bu nedenle eğrilik etkilerinin ihmal edilmesi, teorik analizlerin gerçek sistemlerle uyumunu zayıflatmaktadır. Çalışmada eğri eksenli çubuklara ait denklemler analitik yöntemlerle çözülmüş ve bu tür yapıların davranışı altı adet diferansiyel denklemden oluşan bir sistem şeklinde tanımlanmıştır. Çözümlerin elde edilmesinde başlangıç değerleri yöntemi kullanılmış; çözüm sürecinin fiziksel anlamı, parametrik bağımlılıkları ve sonuçlar üzerindeki etkileri ayrıntılı biçimde irdelenmiştir. Buna ek olarak, değişken kesitli nano çubukların statik davranışları da kapsamlı biçimde ele alınmıştır. Gerçek uygulamalarda nano boyuttaki yapıların çoğu sabit kesitli değildir; üretim yöntemleri veya fonksiyonel gereksinimler nedeniyle kesit geometrisi eksen boyunca değişiklik gösterebilir. Bu durumun sistemin esnekliği, deplasman dağılımı ve iç kuvvet bileşenleri üzerindeki etkileri, yerel olmayan teori çerçevesinde incelenmiş ve elde edilen sonuçlar klasik elastisite teorisi ile karşılaştırılmıştır. Çalışmada özellikle yerel olmayan parametrenin büyümesiyle nano çubukların daha yumuşak bir davranış sergilediği; diğer bir ifadeyle, klasik teoriye kıyasla daha büyük deplasmanlara izin verdiği gözlemlenmiştir. Bu bulgu, deneysel çalışmalarla da uyumlu olup yerel olmayan etkilerin nano ölçekte göz ardı edilemeyeceğini göstermektedir. Sonuç olarak bu tez, nano çubukların yerel olmayan elastisite kuramı çerçevesinde hem teorik hem de mühendislik uygulamalarına yönelik kapsamlı bir analizini sunmaktadır. Elde edilen bulgular, özellikle eğri eksenli veya kesiti değişen nano yapıların modellenmesinde ortaya çıkan belirsizliklerin azaltılmasında önemli katkılar sağlamaktadır. Geliştirilen formülasyonun gelecekte nano ölçekli cihazların tasarımında kullanılabilecek güvenilir bir temel oluşturması beklenmektedir. Ayrıca çalışma, nanomekanik ve nanoteknoloji alanlarında yapılacak sonraki araştırmalara ışık tutacak nitelikte olup, nano yapıların daha hassas, kararlı ve işlevsel biçimde tasarlanabilmesine katkı sağlayacak teorik altyapıyı sunmaktadır.