Hiperbolik başlangıç değer problemleri için spektral yöntemler

Abstract

Bu çalışmanın amacı bir boyutlu nonlineer hiperbolik problemler veya daha özel olarak nonlineer korunum yasaları için Fourier pseudospektral kollokasyon metodunun uygulamalarını tartışmak ve bazı örnekler yardımıyla Fourier pseudospektral metodların sürekli olmayan çözümler için ne kadar iyi çalıştığım incelemektir. Bölüm 2'de nonlineer hiperbolik denklemlerin matematik teorisinin bir kısa özeti sunulmuştur. Bölüm 3 Fourier pseudospektral metodun sayısal sonuçlarını karşılaştırmakta kulanılacak olan ikinci mertebe Godunov metodunun bir kısa formülasyonuna ayrılmıştır. Ayrık Fourier açılımının tanımı Bölüm 4'de verilmiştir ve düzgün olmayan fonksiyonlar için ayrık Fourier açılımının davranışı, Gibbs olayının tanıtımı ve ayrık Fourier açılımı için türev ve konvolüsyon toplamları da aynı bölümde tartışılmıştır. Bölüm 5'de nonlineer hiperbolik kısmi türevli diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü için bir Fourier pseudospektral kollokasyon metodu sunulmuş ve metod skaler birinci mertebe dalga denklemini ve viskoz olmayan Burgers denklemini içeren bazı standard test problemlere uygulanmıştır. Bilindiği gibi, viskoz olmayan Burgers denkleminin çözümleri başlangıç datası düzgün olsa dahi süreksizlikler içerir. Sayısal deneyler düzgün fonksiyonlar içeren problemler için Fourier kollokasyon metodunun çok iyi çalıştığını göstermiştir. Bununla beraber, sürekli olmayan fonksiyonlar içeren problemler için Fourier kollokasyon metodunu kullanarak elde edilmiş yaklaşımlar hayli kuvvetli sahnımlar yaparlar. Salınmalar özellikle süreksizlik noktalarına yaklaştıkça kötüleşir ve hesap yapılan bölgenin tamamına yayılırlar. Bu sahnımlar ile yaklaşık çözümün nonlineer etkileşmesi zaman içerisinde sayısal şemanın kararsız olmasına neden olur. Eğer yeterince uzun zaman için kararlılık sağlansa bile, yaklaşık çözüm sadece birinci mertebeden doğru olacaktır. Fourier kollokasyon metodunun yakınsamasını sağlamak için orijinal denkleme sayısal şemayı kararlı hale getirecek kadar kuvvetli bir disipatif terim ilave edilir. Viskoz olmayan Burgers denklemi bu spektral viskozite metodunu kullanarak çözülmüştür. Sayısal sonuçlar spektral viskozite içeren Fourier kollokasyon metodunun salınımları engellediğini ve sayısal çözümün kesin çözüme yakınsadığını göstermiştir. Bölüm 6'da temel gözlemler kısaca özetlenmiş ve bazı önerilerde bulunulmuştur.

The aim of this study is to discuss the applications of Fourier pseudospectral collocation methods for one dimensional hyperbolic problems, and in particular nonlinear conservation laws and to investigate through some examples how well Fourier pseudospectral methods work for discontinuous solutions. In Chapter 2, a brief overview of the mathematical theory of nonlinear hyperbolic equations is presented. Chapter 3 is devoted to a brief formulation of a second-order Godunov method that is used to compare the numerical results of Fourier pseudospectral methods. A survey of the discrete Fourier expansion is given in Chapter 4 and the behavior of the discrete Fourier expansion for nonsmooth functions, the introduction of the Gibbs phenomenon and the issues related to derivative and convolution sums for the discrete Fourier expansion are also discussed in the same chapter. In Chapter 5, a Fourier pseudospectral collocation method for the numerical solution of nonlinear hyperbolic partial differential equations is presented and the method is applied to some standard test problems involving the scalar first order wave equation and the inviscid Burgers equation. As it is well-known, solutions to the inviscid Burgers equation typically contain discontinuities even if the initial data is smooth. Numerical experiments show that the Fourier collocation method works extremely well for problems involving smooth functions. For problems involving discontinuous functions, however, the approximations obtained by using the Fourier collocation method are highly oscillatory. The oscillations are particularly bad close to the discontinuities and they propagate into the whole computational domain. The nonlinear mixing of these oscillations with the approximate solution will eventually cause the numerical scheme to become unstable. Even if stability is maintained sufficiently long, the approximate solution appears to be only first-order accurate. To enforce the convergence of the Fourier collocation method a small dissipative term that is strong enough to stabilize the numerical scheme is added to the original equation. The inviscid Burgers equation is solved by using this spectral viscosity method. Numerical results indicate that the Fourier collocation method with spectral viscosity prevents oscillations and that the numerical solution converges to the exact solution. In Chapter 6, the main observations are briefly summarized and concluding remarks are given.