Sonlu Tipten Küresel Hiperyüzeyler

Abstract

Bu tez çalışmasında, Öklid uzayının hiperkürelerinin sonlu tipten alt manifoldlarının (özellikle hiperyüzeylerinin) sınıflandırılması kısa bir şekilde incelenmiştir. Öklid uzayının bir hiperküresinin kompakt bir hiperyüzeyinin, küçük hiperküre olmaması durumunda, 2-tipinden ve kütlesel-simetrik olması için gerek ve yeter koşul, ortalama ve skaler eğriliklerinin sabit olmasıdır. Bu sonuç bize, bir hiperkürenin sonlu tipten kompakt izoparametrik bir hiperyüzeyinin, 1 veya 2 tipinden olması gerektiğini gösterir. Öklid uzayının bir hiperküresinin kompakt 2-tipinden bir hiperyüzeyi, ancak ve ancak kütlesel-simetrik ise sabit ortalama eğriliğe sahip olabilir. Bu genel sonuç kullanılarak, bir hiperkürenin Dupin hiperyüzeyleri ve izoparametrik hiperyüzeyleri arasında, 2-tipinden olmayı içeren bir bağlantı verilmiştir. Bunlara ek olarak, bir hiperkürenin kompakt 2-tipinden bir Dupin hiperyüzeyinin sabit ortalama eğriliğe sahip olacağı gösterilmiştir. En fazla iki asal eğriliğe sahip küresel bir hiperyüzeyin 2-tipinden olması için gerek ve yeter koşul, uygun yarıçaplı iki kürenin çarpımı olarak yazılabilmesidir. Bunun yanı sıra, 2-tipinden küresel birçok hiperyüzeyin kütlesel-simetrik olduğu, ve 2-tipinden kütlesel simetrik küresel bir hiperyüzeyin umbilik noktasının bulunmadığı gösterilmiştir. Öklid uzayının paralel ortalama eğrilik vektörüne sahip 2-tipinden bir alt manifoldu, küresel veya sıfırlı tipinden olmak zorundadır. Bu sonucu kullanarak, paralel eğrilik vektörüne sahip 2-tipinden yüzeylerin tam bir sınıflandırması verilmiştir.

In this thesis, we give a short survey on the classification of finite type submanifolds (especially hypersurfaces) of hyperspheres of a Euclidean space. A compact hypersurface of a hypersphere of a Euclidean space is mass-symmetric and is of 2-type if and only if it has constant mean curvature and constant scalar curvature unless it is a small hypersphere. This result shows that a compact isoparametric hypersurface of a hypersphere is either of 1-type or of 2-type. A compact, 2-type hypersurface of a hypersphere has constant mean curvature if and only if it is mass-symmetric. Using this general result, a relation between Dupin hypersurfaces and isoparametric hypersurfaces in a hypersphere involving 2-typeness is given. Moreover, it is shown that a compact 2-type Dupin hypersurface of a hypersphere has constant mean curvature. A hypersurface of a hypersphere with at most two distinct principal curvatures is of 2-type if and only if it is the product of two spheres of appropriate radii. It is shown that many 2-type hypersurfaces of a hypersphere are mass-symmetric and that, mass-symmetric, 2-type hypersurfaces of a hypersphere have no umbilical point. Furthermore, a 2-type submanifold (not necessarily compact) of the Euclidean space with parallel mean curvature vector, is either spherical or null. By applying this result a complete classification of 2-type surfaces with parallel mean curvature vector is given.