Rasyonel matris fonksiyonlar sınıfında faktörizasyon teoremleri

Abstract

B(H), H- Hubert uzayında sınırlı operatörlerin oluşturduğu uzay olmak üzere, L : C - ? B(H) operatör değerli fonksiyonların (operatör fonksiyonların) spektral teorisinde uygulanan temel yöntemlerden birisi de faktörizasyon yöntemidir. Bu yöntemde amaç L(\) operatör fonksiyonunu, kompleks düzlemde alınan T kapalı, rectifiable eğrisi üzerinde, Lı(A)'nın spektrumu eğri içinde ve L2(A)'nm spektrumu eğri dışında bulunmak üzere L(X) = L2(A)Lı(A) şeklinde göstermektir. Bu durumda L(A)'nm T eğrisi içindeki spektrumunun bulunması için L1(A)'nın, T eğrisi dışındaki spektrumunun bulunması için L2(A)'nm spektrumunun bulunması yeterlidir. Bu tür problemler operatör teorisinde kanonik faktörizasyon problemleri olarak bilinir ve problemin çözümü L(X) operatör fonksiyonunun ve V eğrisinin yapısına bağlıdır. Bu çalışmada kanonik faktörizasyonun eğrilerin yapısına olan bağlılığı ele alınmış ve rasyonel matris fonksiyonların bir alt sınıfı olan J2jl-k Aj\* + I şeklindeki matris fonksiyonların oluşturduğu sınıfta her V kapalı, rectifiable eğrisine göre kanonik faktörizasyonunun bulunabilmesi için koşul getirilmiştir. Bu sınıfta düzgün akkretif matris fonksiyonların ancak triviyal faktörizasyonunun bulunduğu gösterilmiştir. Ayrıca her düzgün akkretif rasyonel operatör fonksiyonun yalnız birim çembere göre faktörizasyonunun bulunabilmesi ile ilgili sorular incelenmiştir.

One of the fundamental methods used in the spectral theory of operator functions L, where L : C - ? B(H), is the factorization method. Here, B{H) is a space consisting of all bounded operators in H- Hilbert space. Let T be a simple, closed, rectifiable curve in the complex plane. The aim of the factorization method is to represent L(\) in the form L(\) = L2(A)Li(A) where a(Li(X)) and cr(I,2(A)) are inside and outside of T, respectively. Therefore the spectrum of L(X) inside of T and outside of T coincides with the spectrum of L\(X) and the spectrum of Ij2{X), respectively. This kind of question is known as a canonical factorization problem in operator theory and the solution of the problem is related to the structure of the operator function L(\) and the curve T. The main concern of this work is to establish the relation between canonical factorization and the structure of curves. We give some conditions about finding canonical factorization with respect to all simple, closed, rectifiable curves T in the class of matrix functions, e.g J2jl-k Aj\? + /, which are the subspace of rational matrix functions. In this class, it is shown that uniformly accretive matrix functions have only a trivial factorization. In addition, the theorems, showing that every uniform accretive matrix function admits a canonical factorization only with respect to unit circle, are given.