Dıferansıyel Denklemlerın Klasık Olmayan Sımetrılerı Ve Uygulamaları

Abstract

Bir diferansiyel denklemin çözümlerini, aynı denklemin çözümlerine götüren yerel dönüşüm gruplarına o diferansiyel denklemin simetri grupu denir. Simetri gruplarından özellikle, Lie simetri grubu denilen, denklemin tanımladığı manifoldu değişmez bırakan yerel dönüşüm gruplarının bulunması, diferansiyel denklemlerin yeni çözümlerinin inşası baklımından hayati bir öneme sahiptir. Bu simetri grupları yardımıyla, diferansiyel denklemin çok kolay çözümlerinden hareketle yeni çözümlere ulaşılabileceği gibi adi diferansiyel denklemlerin mertebesinin düşürülmesi, kısmi türevli diferansiyel denklemlerin ise değişken sayısının azaltılması hatta adi diferansiyel denklemlere indirgenmesi mümkün olmaktadır. Bununla birlikte, koşullu simetri olarak isimlendirilen ve diferansiyel denklemlerin tanımladığı manifoldun tamamını değil de belli bir takım diferansiyel kısıtlamalar getirilerek bulunan bir alt manifoldunu değişmez bırakan yerel dönüşüm grupları ile o diferansiyel denkleme karşı gelen potansiyel formu değişmez bırakan ve potansiyel simetri diye adlandırılan yerel olmayan dönüşüm grupları da diferansiyel denklemlerin yeni çözümlerinin bulunmasında kullanılabilir. Bu çalışmada diferansiyel denklemler için Lie, potansiyel ve koşullu simetri metotları anlatılacak ve bu metotlar $u_t=(u^n)_{xx}+\frac{C}{x+\lambda}(u^n)_x$ şeklindeki bir örnek üzerinde uygulanacaktır.

A group of local transformation which transforms solutions of a differential equation to other solutions of same differential equation is called symmetry group of that differential equation. Among the symmetry groups, investigation of Lie symmetry group, which is a local transformation group that leaves the manifold determined by the equation invariant has a vital impooratance. Making use of this symmetry group, one can find very complex solutions by starting from simple ones; in addition, reduction of the order of ODEs or lowering the number of independent variables of PDEs or even reducing PDEs to ODEs with a method called similarity reduction is possible. Besides, the local transformation groups named as conditional symmetries which leave not the whole manifold determined by the equation but a submanifold of the equation via introducing of some additional differential constraints and the non-local transformation groups called as potential symmetries which leave the potential form corresponding to the equation invariant can be used to construct new solutions of differential equations. In this study, methods of Lie, conditional and potential symmetries are presented with the application to the equation $u_t=(u^n)_{xx}+\frac{C}{x+\lambda}(u^n)_x$.