Hilbert functions, free resolutions, and Betti numbers

Abstract

In this thesis, we have given an exposition about Hilbert functions, Hilbert series and their combinatorial properties. We also gave the theory of free resolutions and their connections with Hilbert functions. After defining simpicial complices, reduced simplicial homology and Stanley-Reisner rings, we have given several important results connecting all these. This builds a bridge between commutative algebra and combinatorics. We also presented Hochster's formula, which is a beautiful example using all these theories. Finally, we have constructed an example that explains the formula by doing the necessary computations using techniques of linear algebra.

Modüller ve çözülüşler, Hilbert fonksiyonu ve Hilbert serileri ile ilgili yapılan araştırmalarda önemli rol oynadıkları için, bahsedilen matematiksel objeler tanımlanmış ve örneklerle yapıları daha ayrıntılı bir şekilde incelenmiştir. Çalışma süresince modüllerin özgürlük özelliğinden faydalanılarak bazı sonuçlar elde edilmiştir. Dereceli cebirler ve dereceli çözülüşler hakkındaki klasik sonuçlar ispatlanmıştır. Tüm bu çalışmaların bir sonucu olarak, polinom halkalarının dereceli modülleri için Hilbert-Serre teoremi ispatlanmıştır. Bu aşamaya kadar sözü edilen çalışmaları daha görsel objelerle desteklemek ve daha iyi kavramak amacıyla simplisyal komplekslerden bahsedilmiştir. Bu yapılar ile dereceli cebirler arasındaki ilişkiler kurulmuş, bu ilişkiler kanıtlanmıştır. Son olarak bu bağlantıyı ve simplisyal kompleksler üzerinden düşünmenin yardımını anlatmak amacıyla Hochster formülü verilmiş ve bir örnek ile sözü edilen durumlar pekiştirilmiştir.