Hilbert Değerli Fonksıyon Uzaylarında Parametreye Bağlı Eliptik Denklemler İçin Genel Sınır Değer Problemlerinin Maksimal Regülerlik Özellikleri

Abstract

Bu çalışmada, katsayıları n boyutlu Euclid uzayında tanımlanan düzgün (her mertebeden türevi mevcut ve sürekli) fonksiyonlardan oluşan parametreye bağlı genel eliptik sınır değer probleminin p=2 için Sobolev uzayındaki çözümünün varlığı ve tekliği, yani çözümün maksimal düzgünlüğü incelenmiştir. Burada M.S. Agranovic ve M.I Vishik in karmaşık değerli fonksiyonlar için yaptığı çalışma Hilbert değerli fonksiyonlar için yapılmıştır. Yani sınır değer problemi, tanım kümesi n boyutlu Euclid uzayının sınırları yeterince düzgün olan sınırlı bir alt bölgesinde, değerleri ise soyut Hilbert uzayında olan Sobolev uzayındaki fonksiyonlar üzerinde kurulmuştur. Bunun için Fourier dönüşümü, genişlendirme operatörü ve birimin parçalanış yöntemi kullanılmıştır. Sınırlı bölgedeki problemin çözümünün davranışı, birimin parçalanış yöntemi ve genişlendirme operatörü kullanılarak n boyutlu Euclid uzayına ve yarı uzaya genişlendirilmek sureti ile incelenir. Dolayısı ile sınırlı bölgeye geçmeden önce sabit katsayılı sınır değer problemin tüm n boyutlu Euclid uzayında, akabinde yine n boyutlu yarı uzaydaki çözümlerinin varlığı ve tekliği ispatlanır. Sonuç olarak belli koşullar altında q parametresinin normunun yeterince küçük olduğu durumda m tane sınır koşulu ve 2m mertebeli asıl denklemiyle verilen sınır değer probleminin çözümünün varlığı ve tekliği gösterilmiştir.In this study existence and uniqueness (i.e. maximal regularity) of the solution of general boundary value problem with a parameter whose components are smooth functions defined in n dimensional Euclid space for p=2 is investigated. Here, the study which is done by M.S. Agranovic and M.I Vishik for complex valued function is carried out for Hilbert valued function. In other words the problem is constituted by the functions, which receive their values from Hilbert space, with real variable which is defined in a bounded region and which is the subset of n dimensional Euclid space and has infinitely smooth boundary. To do this, Fourier transformation, extension operator and partition of unity are used. In order to investigate the behavior of solution of the problem in bounded region, the domain is extended to the whole Euclidean space or half space with n dimensional by using partition of unity and extension operator. Therefore, before mentioning the bounded region, existence and uniqueness of solution of BVP with constant coefficients in whole Euclidean space or half space with n dimensional is proved. As a result, existence and uniqueness of solution of BVP having differential equation with order 2m and m boundary conditions is proved for sufficiently large values of the modulus of complex parameter q when some defined conditions holds.