Sayısal analizde yaklaşık çözüm yöntemleri

Abstract

Bu çalışmada, nümerik analizdeki yaklaşık çözüm bulma yöntemlerinden biri olan Adomian Ayrıştırma Metodu başlangıç ve sınır değerleri ile verilen diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerini bulmak için kullanılmıştır. Bu sayısal metot bir seri çözüm yöntemidir. Lineer ve lineer olamayan cebirsel diferansiyel denklemlere uygulanır. Bu metotta lineer ve lineer olamayan terimleri içeren herhangi bir nonlineer (lineer olamayan)diferansiyel operatörünün etki ettiği denklem sistemi ele alınmaktadır. Bu operatörün etki ettiği fonksiyonun oluşturduğu denklem sisteminin çözümü bulunmaya çalışılır. Ele alınan diferansiyel denklem lineer kısım, lineer olamayan kısım ve denklemdeki en yüksek mertebeden türev olmak üzere parçalara ayrılır. Bu ayrışmada en yüksek mertebede türev operatörü ve tersi esas alınarak, ayrışmadaki ters türev operatörü denklem sisteminin her iki tarafına sol taraftan uygulanır. Böylece denklemin çözümü uygun türev operatörleri ile algoritmaya bağlanır ve seri halindeki terimlerden oluşan bir iterasyon elde edilir. Bu iterasyonda, başlangıç verisi kullanılarak çözümü aranan seri toplam halindeki denklemin çözüm fonksiyonunun sıfır indisli bileşeni hesaplanır. Bu sıfır indisli bileşen iterasyonda yerine yazılıp birinci çözüm bileşeni hesaplanır. Birinci çözüm bileşeni iterasyonda yerine yazılıp ikinci çözüm bileşeni hesaplanır. Bu şekilde devam edilerek belli iterasyonda veya adımda denklemin yaklaşık çözümü, belli sayıda çözüm bileşenlerinin toplamı ile elde edilir. Bu çalışmada Adomian Ayrıştırma Metodu temel matematiksel tanımlar, teoremler, integral hesabı ve analiz yardımı ile başlangıç değerleri ile verilen adi diferansiyel denklem sistemlerine ve başlangıç ve sınır değerleri ile verilen kısmi diferansiyel denklemlere uygulanmıştır. Böylece bu sayısal metodun çözüme hızlı bir şekilde yakınsadığı ve pratik olduğundan sayısal işlemlerde zaman kazandırdığı anlaşılmıştır.