Sparse linear microwave imaging with alternating direction method of multipliers

Abstract

Electromagnetic inverse scattering problems aim to get information about unattainable physical medias such as their shape, location, dielectric constant, magnetic permeability, conductivity. This has application in many areas like biomedical diagnosis, subsurface imaging etc. One of the most attractive property of microwave imaging is the microwave frequencies are not harmful for human health and can be alternative for many current imaging systems. The inverse problem is ill-posed and nonlinear. To overcome nonlinearity either optimization methods used or linearization is done under certain assumptions. For the ill-posed nature of the inverse problems regularization techniques is used to approach the solution. There are so many studies to increase accuracy of the microwave imaging algorithms. One of them is using sparsity of the unknown image as a prior knowledge. If most of the components of a matrix or a signal are zero it is sparse. In microwave imaging the unknown can be inherently sparse or some sparsifying techniques such as total variations or wavelet transforms can be used to make it sparse. To be able use sparsity, inspiring from compressing sensing the $l_1$ norm regularization is used. The solution of $l_1$ norm regularization problem is not analytical and optimization algorithms are used to solve it. We linearize the nonlinear microwave imaging problem with Born approximation and discrete in a way to gather all scattering data information coming from all incoming waves and frequencies in a single equation. In this linear form the equation becomes appropriate for applying sparse regularization. Although BA is used the imaging of non-weak targets up to some degree were possible but only shape and location of the targets can be retrieved. The detection of electrical properties of this targets are not possible with BA and our discretization and it is not in scope of this thesis. We invesigate ADMM algorithm which is well developed for different type of convex optimization problems. We study ADMM algorithm in chapter $2$ with it's application, convergence properties and complex version for the complex valued microwave imaging applications. The adoption of the proposed microwave imaging equation with $l_1$ norm regularization is done according to ADMM algorithm. For numerical evaluation CST simulation data for various shape of non-weak dielectrics and experimental data of various non-weak targets were used. Performance of proposed method is tested against noise, using less number of measurements and compared with classical inversion technique TSVD. The results show us the proposed method superior to TSVD in noiseless, noisy and using less number of measurement cases. The ADMM method give quality reconstructions in a few iterations so the the inversion is very efficient.

Elektromanyetik görüntüleme teknikleri; fiziksel olarak ulaşılamayan bölgelerin ve cisimlerin elektriksel özelliklerini, şekillerini ve konumlarını elde etme amacıyla kullanılır. Özellikle elektromanyetik görüntüleme, mikrodalga frekanslarda yapıldığı zaman çok avantajlıdır. Çünkü bu frekanslar insan vüccuduna zararsızdır. Şu an haberleşme için kullandığımız frekanslar da mikrodalga frekanslarının içindedir ve insan sağlığına bir zararı bulunmamaktadır. Mikrodalga görüntüleme; biyomedikal teşhis koyma, yeraltı görüntüleme, duvar arkası görüntüleme, askeri radar uygulamaları gibi amaçlarla kullanılmak için çok uygundur. Örneğin mevcut meme kanseri görüntüleme tekniklerinde iyonize X ışınları kullandığı için sıklıkla kullanılması zararlıdır fakat; mikrodalga görüntüleme kullanan bir cihaz hem zararsız olacaktır hem de mamografi cihazından daha ucuz olacaktır. İyonize olmayan ışınların kullanılmasının yanı sıra, dalga boyu mertebesi görüntülemek isteyeceğimiz cisimlere yakın olduması, duvar, toprak gibi yapılara penetre olabilmesi mikrodalga görüntülemenin önemini artırmaktadır. Bütün bu uygulamaya dönük avantajlara rağmen, mikrodalga görüntüleme probleminin çözümü problemli bir yapıya sahiptir. Elektromanyetik saçılma probleminde, özellikleri bilinen cisimlerden, belli bir gelen elektromanyetik dalga sonucunda saçılan alan bulunur. Bu problem 'iyi konumlanmış' bir problem olup çözümü mecvut, tek ve süreklidir. Fakat Elektromanyetik ters saçılma problemi veye mikrodalga görüntüleme, 'kötü konumlanmış' bir problem olup çözümün varlığı, tekliği, ve sürekliliği garanti edilemez. Bu yüzden uygun bir çözüm bulabilmek için regularizasyon teknikleri uygulanmalıdır. Buna ek olarak ters problem lineer olmayan bir yapıya sahiptir. Mikrodalga görüntüleme teknikleri genel olarak iki gruba ayrılabilir. Bunlar, nicel yöntemler ve nitel yöntemlerdir. Nicel yöntemlerde hedef bölgenin tüm elektriksel özellikleri(dielektrik sabiti, manyetik geçirgenlik sabiti, iletkenlik) ve cisimlerin konum ve şekilleri elde edilinr. Nicel yöntemler de kendi içinde ikiye ayrılır. Bunlar yinelemeli olmayan yöntemler(noniterative methods) ve yinelemeli yöntemler(iterative methods) olarak sıralanabilir. Yinelemeli olmayan yöntemlerde, zayıf saçıcıların özellikleri elde edilebilirken güçlü saçıcılar için yinelemeli yöntemler kullanılmalıdır. Fakat; yinelemeli yöntemler daha yavaştır. Nitel görüntüleme yöntemlerinde ise cisimlerin sadece konum ve şekilleri elde edilir. Mikrodalga görüntüleme yöntemlerinin daha hızlı ve daha doğru çalışması için litaratürde bir çok çalışma vardır. Bunların arasında en yaygın olanlarından biri, ters saçılma sonucu oluşan görüntünün seyrek(sparse) olmasına dayanır. Bu görüntüyü piksel bazında bir matris olarak düşünürsek ve bu matirisn çoğu elemanı sıfır ise görüntü seyrek olarak kabul edlir. Mikrodalga görüntülmede, elde edilen görüntüler uygulama alanına bağlı olarak doğal bir biçimde seyrek olabilir. Eğer böyle bir durum yoksa seyrekleştirme teknikleri kullanılabilir. Seyrekleştirme tekniklerine komşu piksel değerlerinin farklarını alma, dalgacık dönüşümleri(wavelet trasnform) teknikleri örnek olarak verilebilir. Birinci teknik, elektriksel özellikleri sabit bir yapıya sahip olan saçıcılar için kullanılabilir. Saçıcının geometrik sınırlarında pikseller arasındaki fark maksiumum olurken iç noktalarında bu fark sıfır olacaktır. Bu sayede saçıcı cisim sadece geometrik şekline göre sınırlarıyla temsil edilmiş olacaktır. Saçıcının bulunduğu bölge homojen ise bu yöntem oradaki pikselleri de sıfıra götürecektir. Sonuç olarak, saçıcının elektriksel özellikleri konuma göre sabit değilse veya arka bölge hetorejen ise bu yöntem seyrekleştirme için kullanılamaz. Hetorojen bir yapıya sahip olan bölge ve bu bölgedeki bir saçıcı cisim görüntüsü elde edilmek istenirse, formülasyonun seyrek olarak ifade edilebilmesi için bölgenin özellikleri bilinmesi gereklidir. Eğer bölgenin özellikleri bilinmiyorsa ve bölgenin ve cismin elektriksel özellikleri aranmıyorsa, cismin şekli ve konumunu bulmak için kullanılan formülasyonda seyreklik kullanılark cisimden daha düşük özelikleri sahip bölgenin sıfıra gitmesi sağlanarak cismin görüntüsünü elde etmek mümkün olabilir. Seyrek sinyal elde etme teknikleri, sıkıştırılmış algılama(compressed sensing) algoritmaları çerçevesinde yaygın bir şekilde çalışılmıştır. Sıkıştırılmış algılama, eksik belirtilmiş(underdetermined) doğrusal sistemlere çözümler bularak bir sinyalin verimli bir şekilde alınması ve yeniden yapılandırılması için bir sinyal işleme tekniğidir. Bu, optimizasyon yoluyla, bir sinyalin seyrekliği sayesinde, Nyquist-Shannon örnekleme teoreminin gerektirdiğinden daha az örnek kullanılarak elde edilebileceği ilkesine dayanmaktadır. Bu sıkıştırılmış algılama algoritmalarının, daha az sayıda sensor kullanılarak alınan gürültülü ölçümlere rağmen farklı uygulamarda daha iyi sonuçlar getirebileceğini göstermiştir. Sıkıştırılmış algılamanın, mikrodalga görüntüleme teknikleriyle kullanılabilmesi için aşılması gereken üç farklı gereklilik vardır. Sıkıştırılmış algılama; 1) lineer denklemler mevcut olduğunda, 2)Denklemdeki bilinmeyen seyrek olduğunda, 3)'Restricted Isometry Property' sağlandığında başarılı bir şekilde uygulanabilir. Bu tezde, birinci gereklilik için lineer olmayan ters problem born yaklaşımı kullanılarak lineer hale getirilmiştir. Elde edilen lineer problem, seçilen frekanslar ve gelen tüm elektromanyetik dalgalar sonucu saçılan alanı tek bir eşitlikte toplayacak şekilde ayrıklaştırılmıştır. Bu yakşalım sonucunda, Born kullanılmasına rağmen belli bir seviyeye kadar zayıf olmayan saçıcıların şekil ve konumları elde edilebilir olup elektriksel özellikleri elde edilememektedir. Bu özellikleri elde etmek, bu tezin konusu dışındadaır. Piksel bazında seyrek saçıcılar seçilerek sıkıştırılmış algılamanın ikinci gerekliliği de sağlanmış olur. Fakat üçüncü gereklilik olan RIP koşulu, problem formulasyonundaki çekirdek(kernel) fonksiyonuna bağlıdır. Mikrodalga görüntülemede bu fonksiyon probemin fiziği ile ilgili olup çuğu zaman Green fonksiyonu kullanılarak ifade edilir. Bu yüzden bu fonksiyonun RIP sağlanacak şekilde oluşturulması mümkün değildir. Fakat RIP koşulu sağlanmadan, seyreklik hala bilinmeyen görüntü hakkında bir ön bilgi olarak kullanılabilir. Seyreklik seviyesini bir görüntedeki sıfır olan pixel sayısını, tüm piksel sayısına oranlayarak ifade edebiliriz. Görüntüdeki toplam piksel sayısı bilinebilir fakat; cismin büyüklüğü bilenemeyeceinden sıfır olmayan piksellerin sayısı ve değeri bilinemez. Bu yüzden seyreklik seviyesini kesin olarak bilemeyiz ama bir maksimum seyreklik seviyesini sağlayan çözüm, uygun bir seyrek sinyal elde etme algoritması ile aranabilir. . Seyrek sinyal elde etme formülasyonu $l_1$ norm regularizasyonu ile sağlanmıştır. Bu fomülasyonun çözümü analitik olmadığı için bir konvex optimizasyon algoritmasına ihtiyaç vardır. Bu amaçla, farklı formdaki konveks optimizasyon problemlerinin çözümü için uygun olan Alternating Direction Meethod of Multipiliers incelenmiştir. ADMM dual decomposition ve augmented lagrangian yöntemlerinin bir kombinasyonu olarak düşünülebilir. Bu method minimize edilmek istenen fonksiyonun farklı değişkenlere göre ayrık olarak yazılabilmesi ve minimizasyon için değişkenler üzerine konulan koşulların lineer fonksiyon olduğu durumlar için uygundur. Augmented lagrangian methodunda farklı değişkenler içeren bir fonksiyon, tek seferde minimize edilirken, ADMM yönteminde dual decompositon yönreminin özelliği kullanılarak farklı değişkenler için minimize etme işlemi ayrı ayrı yapılır. Bu şekilde yapılan optimizasyon işlemi daha verimlidir. Örneğin; seyrek görüntüleme için uygulayacağımız $l_1$ norm regularizasyon problemi ADMM iterasyonları analitik olarak ifade edilebilir. Ayrıca, mikrodalga görüntüleme problemi karmaşık değerli bir problem olduğundan ADMM algoritmasının karmaşık sayılar için olan versiyonu eklenmiştir. Çözülmek istenen problem, ADMM için uygun forma getirilmiştir. ADMM aloritmasının yakınsama özellikleri incelenerek bir durma kriteri verilmiştir. Numerik çalışmalar CST simulasyon ile farklı şekildeki dielectric cisimler kullanılarak ve Fresnel deneysel verisi kullanılarak yapılmıştır. Bu çalışmalarda, klasik bir regularizaston tekniği olan kesik tekil değer ayrıştırması(truncated singular value decompositon) ile seyrek regularizasyon tekniği olan $l_1$ regularizasyon problemenin ADMM ile çözümü karşılaştırılmıştır. Farklı gürültü değerleri eklenerek, verici ve alıcı anten sayıları azaltılıp daha az ölçüm verisi kullanarak karşılaştırmalar yapılmıştır. Bunların sonucunda, bizim önerdiğimiz yöntem ile elde edilen sonuçlar, gürültüye ve ölçüm verisinin azaltılmasına rağmen doğruluğunu büyük oranda korumuştur. TSVD ile elde edilen sonuçlarda ise gürültüsüz ve çok antenli sonuçlarda doğruluk payı yüksek görüntüler elde edilirken, gürültülü ve anten sayısının azaltılması durumlarında elde edilen görüntüler bozulmuştur. Önerdiğimiz yönteme kıyasla çok zayıf kalmıştır. Cisimler daha küçük bir alanda görüntülenmeye çalışıldığında, seyreklik seviyesi piksel bazında düşecektir. Bunlar seyrek olmayan görüntüler olarak kabul edilebilir. Normalde böyle durumlarda seyrekleştime için farklı yöntemler kullanılır. Bizim çalışmamızda bu seyrek olmayan görüntüler, seyrekleştirme için bir yöntem kullanmadan, başarılı bir şekilde elde edilebilmiştir. Ayrıca ADMM algoritması ile sadece bir kaç iterasyon ile başarılı görüntüler elde etmek mümkün olmuştur. Normalde, optimizasyon temelli çözümlerin daha yavaş olması beklenirken ADMM algoritmasının hızlı yapısı sayesinde TSVD algoritmasından daha verimli çalışmıştır. Çoklu frekansların kullanılabildiği ve tüm saçılan alan verisini içeren formülasyonumuzda büyük ölçekli matrisler oluşmakta olup, hem elde edilen görüntünün seyrekliği problemin çözümünü hızlandırmış, hem de ADMM algoritmasının yapısı bu büyük matrislere rağmen verimli bir çözümü mümkün kılmıştır.