Yerel olmayan elastisite denklemlerinin simetri grupları

Abstract

Bu çalışmada amaç, integro-diferansiyel denklem sistemlerine ait Lie nokta simetri gruplarının oluşturulması ve bu simetri gruplarına bağlı olarak bir sınıflandırmaya gidilmesidir. Bir problemin kabul ettiği Lie grupları bakımından sınıflandırılması büyük önem taşımaktadır. Özellikle son yirmi yıl içinde denklem ya da denklem sistemlerine ait Lie simetrilerinin araştırma teknikleri önemli ölçüde geliştirilmiştir. Bununla birlikte integro-diferansiyel denklem sistemleri için genel bir yöntem verilememektedir. Fakat yerel olmayan elastisite ya da visko elastisite problemleri gibi mekanikte karşılaşılan pek çok problemin matematiksel formülasyonu integro diferansiyel denklem yapısaldadırlar. Visko-elastisiteye ait denklemler S.V. Meleshko tarafından incelenmiş ve probleme ait bir sınıflandırmaya gidilmiştir. A.V.Bobylev, S.I. Senashov, V.B. Taranov, V.N.Chetverikov ve A.G. Kudryavtsev integro-diferansiyel denklemler içeren problemler üzerinde çalışmalarda bulunmuş diğer matematikçilerdir. Birinci bölümde Lie gruplarının temel özellikleri hakkında genel bir değerlendirmede bulunulmuş ve integro-diferansiyel denklemlerin simetri grupları hakkında açıklayıcı bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, Navier denklemlerine ait Lie grupları belirlenmiş ve Lie gruplarının sınır değer problemlerine bir uygulanması olarak denkleme ait simetriler kullanılarak Boussinesq probleminin çözümü elde edilmiştir. Bilindiği gibi lineer homogen izotrop bir ortamda elasto-statik Navier denklemleri aşağıdaki formda verilebilir: (X, + n.)grad divw+uAH+p/>=p« (1) Burada X,\ı Lam6 sabitlerini, u yer değiştirme vektörünü, p yoğunluğu ve/> kütle kuvvetlerini göstermektedir. (r,(p,z) silindirik koordinatlarda eksenel simetrik bir problem için denklem sistemi eksene paralel ve eksene dik u,w ile gösterilen bileşenlerden oluşan bir denklem sistemine indirgenir. Eğer sonsuz küçük üreticiye ait ifadenin ikinci uzanımı Navier denkleminin homogen olan kısmına uygulanırsa denkleme ait belirleyici denklemlere ulaşılır ve bu denklemlerin çözülmesi ile denkleme ait aşağıdaki simetri grubunun sonsuz küçük üreticilerine ulaşılır: Xx=rdr+zdz, X2=udu+wdw (2) Homogen olmayan denklem sistemi için aşağıdaki şekilde tanımlanan sadece tek bir sonsuz küçük üretici söz konusudur. X = XX-X2 (3) Yukarıda elde edilen simetri grupları kullanılarak Boussinesq problemine ait çözüme ulaşılır: Mx(r2+z2J +Arz(r2+Kz2\l + ^- / 2, v 2\ -M=- " 2V ^ r\»M=A(>% s,t) + 2Vf{r,s,t)}lrds -oo-oo 00 00 (p, (h) = (X + 2ıı)f(x, y, t) + 2\xe{x, y,t)+ j j K(x, y, r, s\{X + 2u)/(r, s, t) + 2ue(r, s, t)}tnts -00-00 00 00 l,(p2,K(x,y,r,s) problemin verileridir. Başlangıç fonksiyonları kullanılarak ve belirleyici denklemler çözülerek ele alınan problem için bir grup sınıflandırması aşağıdaki gibi teşkil edilir: Tablo 2 Simetri Grubu Sınıflandırması burada *ı=ö" Y2=%x{y)dv, Y3=%2(x)dw, X4=8x+dy, Xs=xdx+y8y+tdt Y6=-^tdt+x3(x,y)de+x4(x,y)df+^vdv+^-wdw+(ylk + Sl)dk+(ylm + Pl)dn + (y}h + Hl)dh 77 = -!±td, +(%ı(x,y)-y2e)de +kA{xty)-yj)bf +^-vdv +^-wdw+S,dk + Hxdh+Pxdm Ys=~ (y3 - Y4 K + - (y3 + Y4 )vö, + - (y4 + Y3 V^w + (x3 (*. y) + Y4e& + (X4(x,y)+y4f)df+{y3k + Sl)dk+.(y3m + Pl^m+(y3h + Hl)dh Y9 = vdv +wdw +ede +fdf +kdk +hdh +mdm cp| (m) = 8: + Kİn(y,m + p} ) k * 0, q>2 (m) = e + exp(y2m) y2 * 0 (Pı(m) = a + (/?! +my3)Y3/74 Y4*0 dır ve y,,y2,y3,y4,5'1,//'1,P],51,E,a keyfi sabitlerdir.

In this study, the aim is to investigate the Lie point symmetries of integro-differential equations and get a classification. The classification of a problem with respect to Lie symmetries it accepts for different data is very important. The research techniques of Lie symmetries of an equation or a system of equations were improved in last twenty years. However the general methods cannot be given for a system of integro- differential equations. Nevertheless some mathematical formulations in mechanics produce integro- differential equations such as problems of visco-elasticity and nonlocal mechanics. The equations of visco-elasticity are handled and their classification with respect to Lie symmetries are done by S. V. Meleshko. A. V. Bobylev, S. I. Senashov, V. B Taranov,V. N. Chetverikov, A. G. Kudryavtsev are some other mathematicians who have studied problems with integro-differential equations. In part 1, we introduce the general properties of Lie groups and give information about the calculation of the Lie point symmetries of system of integro-differential equations. In part 2, Lie groups of Navier equations are determined and the solution of Boussinesq problem is obtained by using its symmetries as an application of Lie groups to the boundary value problems. As is known the Navier equations for the elasto-statics of linear homogeneous isotropic media is given in the form: (A, + u)grad divM+uA«+p/>=p« (1) where X,\i are Lame constants, u is displacement vector, p is mass density and/; is body force for unit mass. For an axially symmetric problem in cylindrical coordinate system (r, y>t)+e(x>y>t))+ J JK(x,y,r,s)ıı{f(r,s,t)+e(r,s,t))drds -00-00 (11) where v,w,e,f,m,k,h are dependent variables, x,y are independent variables, t is the time variable and q>x,