2-boyutlu özbağlanımlı alanların kafes süzgeçleri ile modellenmesi

Abstract

İşaret işleme alanına son zamanlarda girmiş bir konu olan 2-Boyutlu (2-B) kafes süzgeç teorisi, 1-B kafes süzgeç modelleri ile paralellik kurularak geliştirilirler. 1-B durumda, süzgeç mertebesi bir derece artarken, süzgeç girişinde kullanılan veri desteğindeki örnek sayısı da bir tane arttığından, giriş verisi, elde edilen süzgeç katsayıları tarafından tam olarak modellenebilmektedir. Oysa, 2-B yapıda süzgeç mertebesindeki her bir artışa karşılık veri desteği 2-B olarak genişler. Dolayısıyla, her mertebesinde gerekli sayıda katsayı üretemeyen süzgeç yapılan, 2-B alanların modellenmesinde yetersiz kalırlar ve bilgi kaybına sebebiyet verirler. 2-B kafes süzgeç yapılarında, 2-B alanların doğalarına bağlı olarak biri ileri diğer üçü geri yönde olmak üzere dört doğrultuyu temsil eden süzgeçler mevcut tur. Bu süzgeçler, kafes süzgeç yapısının ortak ortamında doğrusal olarak birleştirilerek yansıma katsayıları adı verilen kafes süzgeç katsayıları elde edilirler. Geri yönde işleyen süzgeçlerin kullandığı alanların sayısı ise Kafes süzgeç katsayılarının adedini etkilerler. Veri desteğinin 2-B olarak artmasına karşın, geri yöndeki süzgeçlerde kullanılan alanların sayısı, bir müdahelede bulunulmaz ise doğrusal olarak artar. Bu noktadan yola çıkarak, 2-B alanların daha iyi modellenebilmesi için, geri yönde kullanılan alanların sayısının belli bir düzen dahilinde her bir kafes süzgeç mertebesi için artırılması gündeme gelmiştir. Bu tezde tanıtılan yeni geliştirilmiş 2-B kafes süzgeç yapısı (Further Improv ed Lattice Filter - FILF), bu yönde kendine has bazı değişiklikler ortaya koyarak, 3. dereceden özbağlanımlı (Autoregressive - AR) alanların da tam olarak modellenebilmesini hedeflemiştir. FILF süzgeç, giriş verisi olarak çeyrek-düzlem desteğe sahip AR alanları kullanmaktadır. Yani, süzgeç girişindeki 2-B veri düzlemi sadece bir çeyreğinde sıfırdan farklıdır ve sadece geçmişteki değerler kullanılarak üretilir. FILF süzgecinin her üç mertebesi ayrı ayrı ele alarak, bu mertebel erdeki geliştirme ve ilaveler ortaya konmuş ve hata alanlarının üretilmesi için kullanılan yapı anlatılmıştır. Ayrıca, 2-B transfer forksiyonları ile süzgeç katsayıları arasındaki ilişki ortaya çıkarılmıştır. Bu katsayılardan faydalanılarak 2. ve 3. derece den katsayı matrisinin elemanları hesaplanmıştır. Yeni süzgeç yapışma ait bilgisayar benzeşimi ve çeşitli örnekler için bulunan, teoriyi destekleyici sonuçlar da ayrıca sunulmuştur.

The modelling methods of the 2-Dimensional Autoregressive error fields are built on the fundemantels of the 1-D Lattice Filter theory. 2-D Lattice filter theory is a new research area in signal processing. A basic approach to the model ling of 2-D fields by the reflection coefficients was made by Marzetta [2-4J. There have been different kind of 2-D lattice filters in the lierature. 3-para- meter lattice filter developed by Parker and Kayran is one of the basic structure in this field [5J. They have introduced the concept of four prediction error fields (one forward and three backward error fields) which are combined into a quarter plane 2-D lattice filter structure used for spectral estimation. In this newly developed 2-D Lattice filter structure, as the lattice filter stages increase, it is intended to increase also the number of reflection coefficients, para- lelly. Therefore, four new coefficients are introduced to the filter structure at each new stage in order to obtain enough number of independent parameters. Three-parameter Lattice filter developed by Parker and Kayran has identi cal successive stages. Once it is formed at the first stage, the structure repeats itself at every coming stage without having any improvement. Though, in this newly developed filter, the first stage has a similar structure but, at the second stage the proposed further improvements are presented and by developing the same way, the last form is obtained at the third stage. Doing this, third order AR fields can be modelled exactly. Three different stages of this new structure are introduced hereafter. First stage: 2-D quarter plane lattice filters are formed by linearly combining the four initial prediction error fields. The input data field below is used to determine y01»i2) = y(l,l) y(l,2)... y(l,N) y(2,l) y(2,2)... y(2,N) y(M,l)y(M,2)...y(M,N) (1) where ij=l, 2,.... M, i2=l, 2,..., N these error fields (One forward and three backward prediction error fields). These four initial prediction error fields are below. ^nd, the input/ou stage is given as follows. (2) And, the input/output relationship with matrix equation for the first fol" VII(3) It is seen that the first order error fields are obtained by the linear combina tion of the^ initial (0-th order) error fields and the so-called reflection coefficients (kf* and kf ). We can write equation (3) in a simplier way: K« = 1 -kfJ -kf> 1 K(,) = ^23 fed) b-d) K2 K3 t(l) t(l) *"3 *-2 (4a).(D/ »0).(Dr e^i^) = [ e^.i,) e^OW ] e(21)(i1,i2)=[ e^i^) egfo.ia) ]T e(10)(i1>i2)=[ eggd^) eÇgCİ!-l,İ2) 3 ^20)(i1,i2)=[ c??(ir142-l) egj(ilfi2-l) ] (4b) (4c) (4d) (4e) and, then v(l) iXD *1 K23 v(l) v-d) j^3 Kj eı0)(iı,i2) *e(20)(ipİ2) J (5) These error fields of the first stage can be expressed in a way as follows. 1) 2) 3) 4) e(D _ e00 - e(D = e10 e(D = e(1) = e01 o(0) t.Cnn " Ki.e ^00 -k(1) e(0) + Kj.e00 + i,(i) JO) _K2 x00 (1) JO) 1.'"10 k(l) JO) k2.en i J») CO) JO) i.c10 - k3.en k(l) JO) k3.e01 (D JO) -oi V k(1) e(0) + K3,e10 +, JO), (1) JO) i.Cjj - k.j.e01 r(i) (0) r(i) (0) r(i) (0) - (0) K3 *c00 * *2,c10 " Kl,ell + 1-Cfl '01 (6a) (6b) (6c) (6d) A kind of notation has been used in these equations. By now, the follo wing symbolic abbreviations will be used for any expression of the n-th order error fields. VIIIeoo ~ eoo^i»V ' eio _eio^1r1'V ' en -en^1r1'12"1'' ' eoı ^m»^ L) P(n)2_ Jn)2f. -v (n)2 (n)2,.... _(n)2_ (n)2,-,. n (n) (n),..,*. eoo _ eoo Vi'V / e\o = e\0' (ı-ı-l,^) ' en - en V\ 1»12"1-' ' eoı eoı ^l»^ ^ The generation of the prediction error fields for the first stage is illustrated in FIGURE 2.1 on the page 28. It can be easily noted that the diagram is in fact similar the one Parker and Kayran have used at the first order of the 3-parameter model structure. 3-parameter model uses that identical structure at every stage by utilizing the error fields just generated at the previous stage. For the FILF filter, 6-parameter lattice filter structure is used for generating the error fields 1 1 oj. In order to calculate the lattice parameter reflection coefficients and then the coefficient matrices at each stage, the expected mean squared value of the prediction error fields is minimized with respect to the reflection coefficients. For the first order r 2 Q(1)=H Li=l.^Oi-ye^CW Q(1)=E| 11 i i=0j=0 J (7) v - &[ e00 + e10 + cn + e01 J and, E[.J denotes the expected value over the fields of dimension (M-n)(N-n). The result of minimization of Q w with respect of reflection coefficients k <1;, k £> andk %'is summurized in the following equation. (8) ud) _ f ud) uü) vd) ]' *123-L 1 2 K3 J (9) Lattice coefficients of the first order in matrix equation (9) can be obtained by calculating the equation below. t(I)_p(0)-' (0> Kjjj- B-123. 1 123 (9a) IXwhere R^ündr^ are correlation matrix and vector for the first order filter, respectively. Following the same way, coefficient tildes are calculated by the equations below: For the second stage, the input/output relationship is given as follows: Where, (12) e(2)(il5i2) = [ e(020)(i1,i2) egjCij.ia) ].(2)/ »(2),,(2)/ e^.i,) = [ e\7(ipi2) e^i^) ] e(,1)(iri2) = [ cg(ii.i2) e?o}Oi-U2)]T ei1)(i,,i2) = [ effCvUa-l) câ>(ilfi2-l)]' id)/ "OV;,0 V ei;(ii42)=[ e^(irl,i2) eV0J(ilfİ2) ] id)/ »(D,.OV e2i;(ipi2)=[ e\Y(ij,i2-l) e^(irl,i2-l) ] £0)/ - r.