Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemlerin Çözümü İçin Pertürbatif Painleve Yöntemi

Abstract

Painlevé analizinin temel amacı, serbest değişkenin kompleks düzleminde, genel çözümün sahip olduğu tekillikleri (kutuplar, cebirsel ve logaritmik dallanma noktaları ve esas tekillikler) bulmak, cinslerini belirlemek ve çözümün hangi şartlar altında meromorfik olduğunu bulmaktır. Tekillik manifoldu belli bir kısmi diferensiyel denklemi sağladığında, sonsuz seri kesilebilir ve eldeki lineer olmayan KDD (Kısmi Diferansiyel Denklem)’nin sonlu seri şeklinde bir çözümü bulunabilir. Fuchs analizinde lineerleştirilmiş denklemin tekil denklemin düzgün tekil noktası, lineer olmayan denklemin hareketli tekil noktasıdır. Fuchs – Painlevé testinde (pertürbatif Painlevé Testi), verilen lineer olmayan denklem küçük bir parametresine göre biçimsel olarak pertürbasyon serisine açılır. Birinci basamaktan kesersek, Fuchs – Painlevé testini elde ederiz. Her indiste ve her pertürbasyon mertebesinde yeni uygunluk koşulları ortaya çıkabilir. Böylece, bir denklemin P.Ö’ ye (Painlevé Özelliği) sahip olması için daha başka gerek koşullar elde edilir.

The basic aim of Painlevé Analysis is to identify and characterize the nature of the singularities (Poles, branch points, both algebric and logaritmic types, and essential singularities) admitted by the general solution in the compex plane of the independent variable, and to find conditions under which the solution is meromorphic. The infinite extension can be truncated, provided the singularity manifold satisfies a nonlinear PDE (Partial Differential Equation). The Painlevé analysis reduces to a Function analysis about a regular singularity for which the nonlinear equation is movable. In Fuchs-Painlevé (Perturbative Painleve test) we consider a perturbation extension (in a formal “small” parameter for the given nonlinear equation. Truncation at first order recovers the Fuchs-Rainlevé test. At each index and each perturbation order, new compatibilitiy conditions can arise, thus giving the possibility of further necessary conditions for an equation to have the PP (Painlevé Property).