İki Boyutlu Kartezyen Topolojisi Kullanılarak Chebyshev Ön Koşullu Conjugate Gradıent Yönteminin Paralelleştirilmesi

Abstract

Bu çalışma, lineer denklem sistemlerinin katsayılar matrisinin yaklaşık tersini almakta kullanılan Chebyshev ön koşullayıcısının CG yöntemi ile beraber paralel ortamda uygulanması ile elde edilen sonuçlarını sunmaktadır. Ön koşullayıcı, matris değerli Chebyshev polinomlarının lineer kombinasyonundan elde edilmektedir. Paralel hesaplama açısından doğrudan çözüm yöntemlerinin ve LU tipinde ön koşullayıcılar kullanan yinelemeli yöntemlerin paralelleştirilmesinde ciddi sınırlamalar bulunurken Chebyshev ön koşullayıcı paralel işleme oldukça yatkındır. Önerilen yöntem teorik olarak tanıtılırken, yapılan çeşitli testlerin sonuçları yöntemin performans ve ölçeklenilebilirlik açısından verimliliğini betimlemek için verilmektedir. Algoritma seviyesinden koda dönüştürülen yöntem paralel programlamada kullanılan ileri programlama teknikleri aracılığı ile optimize edilerek UYBHM üzerinde testleri gerçekleştirilmektedir. Elde edilen sonuçlar, çizelge ve şekillerle gerekli yorum ve karşılaştırmalar da eklenerek sunulmaktadır.

This work presents the results of an implementation of CGM (Conjugate Gradient Method) in a parallel environment with a preconditioner that is an approximate inverse of coefficient matrix of linear equations to be solved. Preconditioner is obtained from a linear combination of matrix-valued Chebyshev polynomials. On the parallel computation aspect, there are serious limitations in parallelizing the direct solution methods and iterative methods that use LU type preconditioners while Chebyshev preconditioner is considerably amenable to parallel processing. The proposed method is introduced theoretically while several test results are given in order to show the effectiveness and scalability of Chebyshev preconditioner. Advanced programming techniques in parallel environment are stated as depending on programming interface and implementation is tested on UYBHM (National Center For High Performance Computing) while optimizing the algorithm. As a conclusion, all test results are presented in corresponding tables and figures by adding comments and comparisons.