On the conic representation of some quartics

Abstract

Bu tez günümüzde matematiğin hızla gelişen bir konusu olan cebirsel geometri hakkında yazılmıştır. Daha doğrusu cebirsel geometri içinde bir çalışma sahası olan cebirsel eğrilerle ilgilidir. Cebirsel eğriler kuramının klasik anlamda sunulduğu iyi bir şekilde yazılmış birçok kitap vardır. Fakat cebirsel geometriyi yeni öğrenmeye başlayan birini konuya yönlendirmenin zor olduğu bilinmektedir. Klâsik kuramı anlatan kitapların öğrenciyi modern cebirsel geometriye yeterince hazırlayamadığını gören W. Fulton kuramı modern cebirsel geometrinin görüş açısından geliştiren bir kitap yazmıştır. Cebirsel eğrilerin temel kavram ve sonuçlan verilirken önemli ölçüde bu kitap izlenmiştir. Fakat burada verilenlerden cebirsel geometri hakkında az bir fikre sahip olunacağından kısaca cebirsel geometriden bahsedelim. Hartshorne cebirsel geometride yapılan işin polinom denklem sistemlerinin çözümlerini çalışmak olarak, yani cebirsel varyeteleri çalışmak olarak açıklanabileceğini söylemiştir. Konunun bütünü ile meşgul olabilen bir iki uzmanın mevcut olması ile oluşan cebirsel geometrinin tek parçalılık görüntüsü 1980'li yılların ortalarına kadar değişti ve konu birçok kısma ayrıldı: Eğriler ve Abelyen varyeteler, cebirsel yüzeyler ve Donaldson kuramı, yüksek boyutlarda sınıflandırma, K kuramı ve cebirsel saykıllar, kesişim kuramı ve sayma geometrisi, Hodge kuramı, p karakteristiği, aritmetik cebirsel geometri, singülarite kuramı, matematiksel fiziğin diferansiyel denklemleri, bağ kuramı, bilgisayar cebirinin uygulamaları, v.s.. M. Reid bu konuda yeterli (standart) bir bilgiye sahip olmak için tamamen cebirsel geometriye ayrılan 3 yıllık bir lisans eğitiminin gerektiğini söylemektedir. Bu yüzden konuyu sunuşumuz modern cebirsel geometrinin bakış açısın dan olmasına rağmen tezi okuyacak ve konuya yabancı olan biri için birçok teoremin ispatı verilmemiş, bunun yerine kaynak kitaplar gösterilmiş ve kafada oluşabilecek bazı soru işaretlerine cevap verebilecek çoklukta teorem yazılmış tır. vı Tez C.T.C. Wall'un " Is every quartic a conic of conies? " başlıklı makalesindeki bir sonuca yönelik olarak ve cebirsel eğriler konusundaki çok temel, konuya giriş niteliğindeki sonuçlan içerecek şekilde yazılmıştır. Bu makalenin seçilmesinin sebebi ayrıntılı olarak incelenen kısmının mümkün olduğu kadar az cebirsel geometri bilgisi gerektirmesi ve klâsik cebirsel eğriler kuramının sonuçlarının yeterli olmasıdır. C.T.C. Wall makalede başlığı oluşturan soruya cevap vermiştir. Daha açık olarak söyleyecek olursak, verilen üç değişkenli 4. dereceden homojen bir § polinomu için 4(Xı, X2, X2) = c(qı, q2, q3) olacak şekilde ikinci dereceden homojen c, qı, q2, q3 polinomları bulunabilir mi? sorusunu yanıtlamıştır. Bu sorunun cevabının polinomun belirttiği kuartik eğrinin katlı noktaları ile yakından ilişkili olduğunu tespit etmiştir. Tezin giriş niteliğindeki birinci bölümünde bazı cebirsel bilgiler verildikten sonra cebirsel küme kavramı, indirgenemez cebirsel küme kavramı (varyete) ve bunların özelikleri verilmiştir. Bir polinom kümesindeki bütün polinomları sıfır yapan noktalar kümesine cebirsel küme denir. Kendinden küçük iki öz cebirsel kümenin birleşimi şeklinde yazılamayan bir cebirsel kümeye indirgene mez cebirsel küme denir. Önemli savlardan Hilbert taban savı ve Hilbert sıfır savı verilmiştir. Bu savlar vasıtası ile üzerinde çalışılan cisimlerin cebirsel kapalı olması halinde ce birsel kümelerle idealler arasında bire-bir tekabül olduğu sonucuna varılmakta dır, indirgenemez cebirsel kümeler asal ideallere tekabül eder. Ayrıca cebirsel bir kümenin sonlu sayıda birbirinden farklı indirgenemez kümenin birleşimi olarak yazılabileceği bir savla ifade edilmiştir. Daha sonra afin ve projektif indirgenemez cebirsel kümeler anlatılmış tır, indirgenemez bir cebirsel kümenin koordinat halkası ve fonksiyon cismi, eğrilerin bir noktadaki özeliklerini incelemede önemli bir rolü olan indirgenemez bir kümenin bir noktasındaki yerel halka tamamlanmıştır. Bir tek mak- simal ideali olan halkaya yerel halka denir. Afin koordinat değişimi, diskret değer halkası ve bunun fonksiyon cismi üzerinde tanımladığı mertebe fonksiyonu kavramları açıklanmıştır. Diskret değer halkası bir tamlık bölgesidir. Diskret değer halkasının eğriler açısından önemi sıfırdan farklı her r elemanının indirgenemez bir t elemanı cinsinden tek türlü olarak r = utn, n > 0 (u tersi olan bir elemandır) şeklinde yazılabilmesidir. Dolayısı ile bunun bölüm cismi üzerinde bir mertebe vıı fonksiyonu tanımlıdır. K bir cisim olmak üzere aşağıdaki özelikleri sağlayan bir ip : K - ? Z U {00} fonksiyonuna K üzerinde bir mertebe fonksiyonu denir. i) ıp(&) = 00 < - > a = 0 ii) (p(ab) = y?(a) + (p(b) iii) <p(& +="" b)="" style="margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; color: rgb(34, 34, 34); font-family: Verdana, Arial, sans-serif; font-size: 10px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial;">min{y>(a), ^>(b)} Polinomların homojenleştirilmesi ve formların homojenliğinin bozulması (dehomojenizasyonu) gösterilmiş ve bir formun çarpanlara ayrılması İle o formun homojenliğinin bozulması ile elde edilen polinomun çarpanlara ayrılmasının bir çarpan dışında aynı şey olduğu ve üzerinde çalışılan cismin cebirsel kapalı olması halinde iki değişkenli bir formun lineer çarpanlara ayrılabileceği belirtilmiştir. Daha sonra projektif uzay ve projektif cebirsel kümeler anlatılmıştır. Projektif cebirsel kümelerde de afin cebirsel kümelerdekine benzer özelikler olduğu ve indirgenemez projektif cebirsel kümelerde bir nokta hakkındaki soruların ilgili afin yerel halka kullanılarak cevaplanabileceği belirtilmiştir. Afin ve projektif indirgenemez cebirsel kümeler arasındaki ilişkiler ifade edilmiştir. ikinci bölümde afin ve projektif düzlem eğriler hakkında bilgi verilmiştir. Önce afin bir eğrinin katlı noktaları, basit noktaları, bu noktalardaki teğetleri anlatılmıştır, indirgenemez bir eğrinin basit bir noktasındaki yerel halkanın diskret değer halkası olduğu, bu noktadan geçen ve teğet olmayan bir doğrunun bu halka için bir parametre olduğu bir savla belirtilmiştir. indirgenemez bir eğrinin bir noktasının katilliğinin eğrinin yerel halkasının maksimal ideali ile ifade edilebileceği, dolayısı ile katilliğin sadece yerel halkaya bağlı olduğu yine bir başka savla verilmiştir. Daha sonra iki eğrinin kesişme sayısı ve yedi özeliği ifade edilmiştir. Kesişme sayısı I(P, F D G) ile gösterilmiş ve k üzerinde çalışılan cisim, Op(A2) P noktasındaki yerel halka olmak üzere I(P, F n G) = dimk(0P(A2)/(F, G)) olarak verilmiştir. Afin eğrilerle ilgili verilen bilgilerden faydalanılarak projektif eğrilerin katillik, teğetler, kesişme sayısı gibi birçok kavramı tamamlanmıştır. Hangi durumda katlı noktaların sayısının sonlu olduğu ve katlıkla derece arasındaki ilişkiyi gösteren eşitsizlikler belirtilmiştir. Önemli savlardan olan Bezout savı ve bunun sonuçlan verilmiştir. Noether'in esas savı ifade edilmiş bunun vııı yardımıyla non-singüler bir kübik üzerindeki grup yapısından bahsedilmiştir. Noether savı katılmalılık özeliğini göstermek için kullanılır, indirgenemez bir kübiğin basit noktalan aynı şekilde tanımlanan bir işlemle grup oluşturur. Özellikle konik ve kübiklerle ilgili bilgiler verilmiştir. Bu bilgiler bir sonraki bölüm için önem taşımaktadır. Sivri nokta, büküm noktası gibi bazı özel noktalar tanımlanmıştır, indirgenemez bir kübiğin projektif olarak denk yazılışları verilmiştir. Bu yazılışlar şunlardır: Y2Z = X3 Y2Z = X2(X + Z) Y2Z = X(X - Z)(X + Z) Bu kübikler üçüncü bölümde örneklerde kullanılmıştır. Bir kavram birden fazla isimle tanınabilir veya değişik biçimlerde ifade edilebilir. Bu yüzden böyle bir kavramın değişik isimleri ve ifadeleri de belirtilmiştir. </p(&>

This work is based on the article of Wall. It is about algebraic curves which is a subject of algebraic geometry. Algebraic geometry is an important branch of mathematics nowadays. In the article, Wall answered the question "Is every quartic a conic of conies? " which was asked by Ulf Persson. In the thesis we only consider the case (*) when a quartic consists of an irreducible cubic and a line (excluding the cuspidal cubic and the cuspidal tangent). The case when a quartic consists of two conies is trivial. Some of the basic concepts and results of algebraic geometry are given in Chapter I as well as the material of Chapter II, and Fulton's Algebraic Curves was followed mostly, Lang's Introduction to Algebraic Geometry rarely. Chapter II was so designed to contain some of the basic concepts and results on affine and projective plane curves. For this Fulton's Algebraic Curves and Walker's Algebraic Curves, and the course, which was held at Istanbul University, notes of algebraic geometry are used. Especially the results on cubics are important for Chapter III. In Chapter III the case (*) is studied in detail and three examples are given for the three irreducible cubics of different types. An irreducible cubic is either cuspidal or nodal or non-singular. The existence of a conic which has six intersections with the cubic at the cusp or at the node or at a sextatic point gives the solution. Finally, in the part of results and discussion, some information is given about the other cases which require much more theory than the case we study here requires