Modelling and analyses of damped multi-layered structures

Abstract

Mechanical vibrations may cause several undesired effects on mechanical systems such as noise, durability problems, functional disorders, even fatal damages on the large structures. Therefore, academicians and R&D engineers have been putting great efforts for the investigation of structural vibrations and controlling (or limiting) vibration amplitudes. One of the widely used methods for reducing the vibrations is covering the mechanical system without modifying the original function of the structure. This can be done with layer damping treatments which are known as efficient, lightweight and low-cost. Besides, the mechanical structures can be directly built using the sandwich-type of panels containing damping layers. Although commonly used in automotive industry, aeronautics and aerospace applications, naval and offshore structures, the mechanical behaviour of these layered structures are not well-understood and eventually cannot be accurately modelled. Despite the existence of some finite element (FE) approaches suggested for modelling the multi-layered structures, the majority of these methods are based on undamped applications. Considering damping, in addition to the frequency-dependent material properties, increases the complexity of the problems. The suggested methods in commercial programmes are unwieldy, even for simple cases, the problem size may increase dramatically for composites having a few layers. Alternatively, theories using higher-order complex functions for modelling the deformation scheme along the composite thickness is also acknowledged. However, these approaches bring complexity for practical usage in finite elements. Therefore, there is a need for accurate, practical and cost-effective modelling approaches. Furthermore, a high precision procedure for identification of dynamic properties of commonly used and promising materials in multi-layered structures is also a requirement. This thesis aims to develop modelling methods and identify the elastic and damping properties of the multi-layered structures considered for damping treatments. New analytical, numerical and experimental studies have been performed in order to achieve these objectives. In the scope of this thesis, a comprehensive review for analytical and finite element modelling of the damped multi-layered structures is performed. A family of multi-layered solid elements (in 8-, 12-, and 20-noded configuration) is developed, implemented in in-house FE code and evaluated. Although the 12-node solid element is not widely used in practice as it does not satisfy the geometric isotropy, it has been deliberately involved in this research in order to have higher interpolation function along the thickness direction and decrease the computation time. The proposed solid elements are assessed using some numerical studies of multi-layered structures. Moreover, a new equivalent shell finite element (FE) for modelling damped multi‐layered structures is presented in this thesis. The method used for developing the new FE for such structures is based on the idea that the strain energy of the equivalent single‐layer FE must be equal to the sum of the strain energies of individual layers. The so‐called energy coefficients are defined for this purpose for the extensional, bending and shear deformations of the composite structure. These coefficients are then determined and used as correction multipliers during stacking the elemental matrices of individual layers. Several assumptions for strain and stress distributions are examined. Among those, the ones based on second‐order strain or stress distribution assumption through the composite thickness, are investigated for deriving the shear energy coefficients. The damping capability of the FE developed here arises from using complex Young's modulus to define the material properties of individual layers. The resulting equivalent single‐layer shell element with four nodes has six degrees‐of‐freedom per node. The accuracy, advantages and limitations of the composite FE developed in this work are investigated using experimental as well as theoretical results. In the light of the finding of these investigations, further enhancement in the formulation is made by also utilising a new shear correction factor for the individual layers in the equivalent shell element. Conclusive results for free‐ and constrained-layer structures confirm that the enhanced equivalent shell FE developed in this thesis can be used effectively for the prediction of the modal properties of damped multi‐layered structures. The importance of the shear deformation in the damped multi-layered structures are emphasised, and it is proved that the accurate modelling approach for such structures can only be provided by determining the appropriate shear stress behaviour through the composite thickness. An alternative composite shell FE formulation using existing shear correction factor formulations in the literature is performed. Accordingly, several shear correction formulations are inspected, and their applicability in the proposed FE is investigated. Using a single shear correction factor for the whole composite structure and employing individual shear correction factors for individual layers in the proposed formulation of the composite shell FE are assessed for frequency and loss factor predictions of multi-layered structures for practical applications. The resulting composite FE is validated using the results of the state-of-art 3D solid FEs. Beam, as well as, plate type of structures are analysed, and the results reveal that the proposed composite FE can predict the modal parameters of multi-layered structures with great accuracy. Oberst Beam Method is a commonly used experimental procedure for identification of the frequency-dependent properties of materials. The use of a non-contact electromagnetic excitation system is highly recommended in the literature using the Oberst Beam Method. However, it is not possible to test a specimen made of non-magnetic material using the Oberst beam test rig, comprising of an electromagnetic exciter, unless the specimen is modified using some magnetic particles or small discs made of a ferromagnetic material. Although doing so makes it possible to perform the test, this results in an undesirable modification to the test specimen, leading to unquantified levels of errors in the estimated material properties. An approach for eliminating the adverse effects of such mass modification to the test specimen, which also allows subsequent removal of the electromagnetic stiffening effects produced by the electromagnetic exciter, is introduced in the thesis. The proposed method is validated using both FE simulations and experimental data. Results confirm that the proposed method for the removal of the adverse effects of mass modification, combined with the subsequent removal of the electromagnetic stiffening effects, is very effective, making it possible to determine the material properties of non-magnetic materials with high accuracy.

Mekanik sistemlerde oluşan titreşimler konfor, güvenli çalışma ve dayanıklılık üzerinde ciddi olumsuz etkilere neden olabilirler. İstenmeyen titreşimleri kontrol edebilmek için yapıların dinamiklerin davranışlarını anlamak çok önemlidir. Bu nedenle, yapısal titreşimleri araştırmak ve titreşim genliklerini azaltmak için birçok teorik ve deneysel çalışma yapılagelmiştir. Mühendislik yapılarına sönüm özelliği kazandıran yüzey tipi uygulamalar titreşim seviyelerinin düşürülmesi için oldukça pratik ve işlevsel bir çözümdür. Ayrıca, bu yapılar katmanlı tasarımlarının genellikle hafif, düşük maliyetli olması ve çevre dostu uygulamalara imkan vermesi sebebiyle de avantajlıdır. Sönümleme katmanlarına sahip kompozit yapılar, istenmeyen gürültü ve titreşimleri azaltmak için otomotiv endüstrisinde, havacılık ve uzay uygulamalarında, deniz taşıtlarında ve beyaz eşyalarda sıklıkla kullanılmaktadır. Birçok yenilikçi mühendislik uygulamasında, yük taşıyan direngen parçalar ya sönümleme malzemeleri ile kaplanır ya da doğrudan sönümleme özelliğine sahip sandviç paneller kullanılarak imal edilir. Ancak gereğinden fazla malzeme kullanımı yapının maliyetini ve ağırlığını artırabilir. Bu nedenle, farklı malzeme kombinasyonlarını içeren yapıların tasarımı, makul bir çaba ile faydaları maksimize etmek ve maliyeti en aza indirmek için optimize edilmelidir. Sonuç olarak, çok katmanlı yapıların dinamik davranışını modellemek ve kompozitlerin dinamik özelliklerini belirleyebilmek başarılı uygulamalar için hayati önem taşımaktadır. Sönümlü çok katmanlı yapıların dinamik davranışları, özellikle sönüm miktarı yüksek olduğunda oldukça karmaşıktır. Deneysel testler, yapıların en doğru dinamik tepkisini ortaya koymasına rağmen, her tasarımı prototipe dönüştürme ve test etme makul bir seçenek değildir. Literatürdeki mevcut analitik yöntemler gerçek mühendislik yapıları yerine yalnızca basit geometrilere uygulanabilir durumdadır. Bu nedenle, mekanik uyarımlara maruz kalan karmaşık geometrilerin dinamik davranışlarını tahmin etmek için uygun maliyetli bir sayısal modelleme yaklaşımı gereklidir. Uygun sayısal modellerle çok katmanlı yapılar henüz tasarım aşamasında güvenilir bir şekilde optimize edilebilir. Mevcut modelleme yaklaşımları genellikle sönümsüz veya hafif sönümlü çok katmanlı yapılar için geliştirilmiştir ve yüksek sönümlü durumlar için revize edilmeleri gerekmektedir. Pasif sönümleme uygulamalarında kullanılan malzemelerin mekanik özellikleri çoğunlukla frekansa ve sıcaklığa bağlı olduğundan, bu tür malzemeleri içeren yapıları modellemenin zorluğu sönümleme malzemelerinin doğrusal olmayan özelliklerinin dahil edilmesi ile daha karmaşık hale gelmektedir. Çok katmanlı yapıların modellenmesi için bazı sonlu eleman (SE) yaklaşımları literatürde mevcuttur, fakat bu yaklaşımların uygulamaları genellikle zahmetlidir. Bunların arasında, kompozit yapılardaki her katmanın üç boyutlu katı elemanlar kullanılarak modellenmesi en temel yaklaşımdır. Ancak bu uygulama, basit bir yapı için bile, problem boyutunu büyütmekte ve hesaplama maliyetini arttırmaktadır. Alternatif olarak, kompozit kalınlığı boyunca daha yüksek mertebeli karmaşık fonksiyonlar içeren eşdeğer tek katmanlı modelleme yaklaşımları geniş çapta incelenmektedir. Bununla birlikte, karmaşıklıkları ve daha fazla bilinmeyen içermeleri, bu formülasyonların sönümleme tahminleri için SE kodlarında pratik olarak uygulanmasında dezavantaj yaratabilir. Dahası, bu uygulamalarda hesaplama maliyeti hala yüksek olmaktadır. Bu nedenle, sönümlü çok katmanlı yapıların modellenmesi için gürbüz, kullanışlı ve daha uygun maliyetli eşdeğer tek katmanlı bir SE yaklaşımı gereklidir. Çok katmanlı yapıların elastik ve sönümleme özelliklerinin belirlenmesi, hem kompozitlerin dinamikler davranışlarını karakterize etmek hem de sonlu eleman modellerini doğrulamak için çok önemlidir. Hafif metallerin ve alaşımlarının yanı sıra biyo-elyaf, karbon ve cam elyaf gibi metalik olmayan mühendislik malzemelerinin ve bunların kompozitlerinin kullanımı, son birkaç on yılda yüksek teknolojik uygulamalarda sürekli olarak artmaktadır. Bu tür malzemelerin ve bunların kompozitlerinin özellikleri genellikle çekme, basma, eğilme veya darbe testleri ile elde edilmektedir. Ancak, frekansa bağlı mekanik özellikler yukarıda bahsedilen testlerle tahmin edilemez. Dinamik mekanik analiz, frekansa bağlı özellik tanımlaması için kullanılabilmesine rağmen, düşük frekanslı uyarma koşulları ve mekanik bağlantılardaki doğrusal olmayan etkiler pratik uygulamaları sınırlamaktadır. Öte yandan, frekansa bağlı malzeme özelliklerinin tayini için sıklıkla kullanılan standart Oberst Kiriş Yöntemi (OKY), test numunelerinde bazı modifikasyonlar yapılmadıkça manyetik olmayan yapılar için kullanılamaz. Bu modifikasyonlar, testlerin Oberst test donanımında yapılmasına izin verse de, numunedeki değişikliklerin neden olduğu olumsuz etkilerin seviyeleri belirsizdir. Bu olumsuz etkilerin miktarı daha hassas karakterizasyon testleri için belirlenmeli ve ölçümlerden bertaraf edilmelidir. Böylece, OKY, manyetik olmayan malzemeler ve kompozitleri dahil olmak üzere daha geniş bir malzeme yelpazesine uygulanacak şekilde geliştirilebilir. Bu tezin temel amacı, sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak sönümlü çok katmanlı yapılar için verimli modelleme teknikleri geliştirmektir, böylece bu tür yapılar özellikle titreşim sönümleme için optimize edilebilir. Bu tezin bir diğer amacı da, gürültü ve titreşim seviyelerini azaltmak veya kontrol etmek için çok katmanlı yapılarda yaygın olarak kullanılan ve gelecekte kullanılabilecek manyetik olmayan malzemelerin karakterizasyonu alanında katkı sağlamaktır. Tez kapsamında daha pratik ve düşük maliyetli SE modelleme yaklaşımları geliştirmek için öncelikle çok katmanlı katı elemanların uygulanabilirliği araştırılmıştır. Bu amaçla literatürdeki sonlu elemanlar incelenmiştir. Daha sonra bir dizi çok katmanlı (8, 12 ve 20 düğüm noktalı) katı eleman formülasyonu önerilmiş ve SE kodunda uygulanmıştır. Burada, geometrik olarak izotropik olmadığı için yaygın olarak kullanılmayan 12 düğüm noktalı katı eleman konfigürasyonu, hesaplama süresini azaltırken kalınlık yönü boyunca daha yüksek mertebeden bir interpolasyon fonksiyonuna sahip olmak amacıyla formülasyonlara dahil edilmiştir. Sunulan 12 düğüm noktalı eleman, 20 düğüm noktalı elemana benzer sonuçlar vermesine ve hesaplama süresinde bir miktar tasarruf sağlamasına rağmen, bu iyileştirmenin pratik uygulamalar için yetersiz olduğu sonucuna varılmıştır. Sunulan sonuçlar ayrıca, çok katmanlı bir yapı katı elemanlar kullanılarak modellenecekse, her katman için kalınlık yönü boyunca en az bir elemanın kullanılması gerektiğini ortaya koymaktadır. Ne yazık ki bu durum birçok uygulamada aşırı maliyetlere yol açtığından pratik değildir. Daha sonra, daha hesaplı bir modelleme yaklaşımı olan eşdeğer kabuk sonlu eleman geliştirmek için enerji bazlı bir SE türetme yaklaşımı ortaya konmuştur. Çok katmanlı yapının eşdeğer direngenlik matrisini elde etmek için tek tek ele alınan katmanların, deformasyon sırasında kompozit içerisindeki şekil değiştirme enerjilerini dikkate alan, düzeltilmiş karmaşık diregenlik matrislerini birleştirmeye dayalı formülasyonlar sunulmuştur. Bahsi geçen enerji bazlı düzeltmeler, çok katmanlı konfigürasyondaki her katmanın uzama, eğilme ve kayma deformasyonları dikkate alınarak her katman için elde edilen "Enerji Katsayıları" tanımlanarak yapılmıştır. Eğilme Enerjisi Katsayıları (EEK'ler), Birinci Mertebeden Kayma Deformasyon Teorisi'ne (BKDT) dayanan kiriş eğilme teorisi kullanılarak analitik olarak elde edilmiştir. Ayrıca, Kayma Enerjisi Katsayıları'nın (KEK) hesaplanması için ikinci dereceden bir kayma gerinim dağılımı varsayımı kullanılmıştır. Eşdeğer kabuk SE, tek tek katmanların kütle ve direngenlik matrisleri ile EEK ve KEK'ler kullanılarak formüle edilmektedir. Kompozit SE'ye sönüm özelliği, her katman için karmaşık Young modülü yaklaşımı kullanılarak kazandırılmıştır. Sunulan kompozit SE serbest katmanlı yapılar için literatürdeki deneysel sonuçların yanı sıra referans kabuk SE'lere sahip modeller kullanılarak doğrulanmıştır. Sonuçlar, ikinci dereceden gerinim yaklaşımına dayanan eşdeğer SE'nin serbest katmanlı yapıların doğal frekans ve sönüm değerlerini yüksek doğrulukla tahmin edebileceğini göstermektedir. Ek olarak, sunulan kompozit SE'nin simetrik kısıtlı katmanlı yapıları modellemedeki performansı 3B katı elemanları içeren pahalı modeller ile yapılan analizlerle karşılaştırılarak değerlendirilmiştir. Neticede, ikinci dereceden gerinim yaklaşımına dayanan kompozit SE'nin kısıtlı tabaka sönümlü yapıların dinamik modellemesi için yetersiz olduğu sonucuna varılmıştır. Bu tezdeki gözlemler ve literatürdeki bulgular ışığında, ikinci dereceden gerinim varsayımına kıyasla gerçek fiziksel davranışın daha iyi yansıtılması için kompozit kalınlık boyunca sürekli bir gerilme dağılımı gerekliliği mevcuttur. Buna göre, önerilen kompozit SE yaklaşımının doğruluğunu iyileştirmek için, katmanlar arası kalınlık doğrultusunda gerilme sürekliliğini karşılayan çeşitli yaklaşımlar KEK'lerin hesaplanması için incelenmiştir. Bunlar arasından ikinci dereceden gerilme varsayımının simetrik olmayan kompozitler de dahil olmak üzere çok katmanlı yapıların modellenmesinde en pratik ve başarılı yaklaşım olacağı görüşüne varılmıştır. Buna göre geliştirilen algoritma SE koduna yerleştirilmiştir. Gerçekleştirilen SE analizlerinin sonuçları, dış katmanların kalınlığına yakın kalınlıkta merkez katmanlara sahip kısıtlı tabakalı yapılar için ikinci dereceden gerilme varsayımının, gerinime dayalı yaklaşıma göre daha iyi performans gösterdiğini doğrulamaktadır. Bununla birlikte, önemli ölçüde daha yumuşak (daha az direngen) veya nispeten ince merkez katmanlarına sahip kısıtlı katmanlı yapılar için bazı sınırlamalar da gözlemlenmiştir. Sınırlamaları en aza indirmek ve eşdeğer kabuk SE yaklaşımını geliştirmek için katman özelliklerinin ve kompozitin toplam kalınlığının bir fonksiyonu olarak yeni bir kompozit SE kayma düzeltme faktörü önerilmiştir. Simetrik ve simetrik olmayan kısıtlı katmanlı yapılar ile gerçekleştirilen sayısal analizler, önerilen yeni kayma faktörünü kullanan geliştirilmiş kompozit SE'nin pratik uygulamalarda çok katmanlı sönümlü yapıları modellemek için sağlam ve güçlü bir araç olduğunu doğrulamıştır. Beklendiği gibi eşdeğer kabuk SE kullanımı, 3B katı elemanlar kullanarak yapılan analizlere nazaran çok büyük miktarda hesaplama zamanı kazandırmaktadır. Aşırı maliyetler nedeniyle üç boyutlu katı elemanlar kullanılarak modellenemeyen ve analiz edilemeyen çeşitli problemlerin çözümlerinin, önerilen eşdeğer kompozit kabuk elemanı kullanılarak gerçekleştirilebileceğine inanılmaktadır. Ayrıca tez kapsamında, literatürdeki mevcut kayma düzeltme faktörlerini kullanan alternatif bir kompozit kabuk SE formülasyonu sunulmuştur. Yeni kompozit kabuk SE, eğilme davranışı için önceki gibi EEK'leri kullanmaktadır. Yeni yaklaşımda, çok katmanlı yapılar için literatürdeki mevcut kayma düzeltme faktörleri kompozit kayma direngenliği matrisini elde etmek için kullanılabilmektedir. Bu amaçla, literatürdeki çeşitli kayma düzeltme formülasyonları değerlendirilmiş ve bunların önerilen yaklaşımda uygulanabilirliği değerlendirilmiştir. Bulgular, tüm kompozit yapı için tek bir kayma düzeltme faktörü kullanmanın doğru sönümleme özellikleri sağlayamadığını ortaya koymuştur. Bununla birlikte, kompozit kabuk SE'nin önerilen formülasyonunda, ayrı ayrı katmanlar için ayrı kayma düzeltme faktörlerinin kullanılmasının, pratik uygulamalarda çok katmanlı yapı için doğru frekans ve sönüm tahminlerine imkan verdiği gösterilmiştir. Ayrıca, bu yaklaşımın örülen eleman ağı yoğunluğuna daha az duyarlı olduğu düşünülmektedir. Ferromanyetik malzemelerden yapılan numuneler, elektromanyetik bir uyarıcı ile Oberst test donanımı kullanılarak güvenle uyarılabilir ve test edilebilir. Bununla birlikte, bu yaygın olarak kullanılan test teçhizatı ile manyetik olmayan malzemelerin test edilmesi, test numunesinin ucuna bazı manyetik parçacıklar veya ferromanyetik diskler takılmadıkça mümkün değildir. Tez kapsamında bu modifikasyonların testler üzerindeki etkileri incelenmiştir. Yapılan disk modifikasyonunun, sisteme elektromanyetik bir direngenleştirme etkisi ile birlikte istenmeyen ilave ek kütle etkisi doğurduğu ve bu durumun da elde edilen malzeme özelliklerinin doğruluğunu önemli ölçüde azalttığı saptanmıştır. Modifiye edilmemiş sisteme göre, birleşik etkiler ilksel titreşim kipleri için direngenlik etkisi baskın daha sonraki titreşim kipleri için kütle etkisi baskın olabilir. Bu durumlar sırasıyla doğal frekans artışına veya azalmasına yol açmaktadır. Uç kütle modifikasyonunun test örneğine olan olumsuz etkilerini ortadan kaldırmak için tez kapsamında yeni bir yöntem önerilmiştir, bu yöntem daha sonra elektromanyetik uyarıcı tarafından üretilen elektromanyetik direngenleştirme etkilerinin kaldırılmasına da izin vermektedir. Önerilen yöntem, sayısal ve deneysel çalışmalar kullanılarak doğrulanmıştır. Önerilen prosedürün çok yararlı olduğu ve manyetik olmayan malzemelerin elastiklik modüllerinin ve kompozitlerin eşdeğer elastik özelliklerinin yüksek doğrulukla belirlenmesine imkan verdiği görülmüştür. Deneysel sonuçlar ayrıca manyetik direngenliğin ve kütle modifikasyonunun test numunelerinin sönüm özellikleri üzerinde ihmal edilebilir etkilere sahip olduğunu ortaya koymaktadır.