Spectral properties of asymptotically compact operator sequences

Abstract

A set of linear operators on a normed linear space is called collectively compact if the union of the images of the unit ball has compact closure. The concept of collectively compact sets on normed linear spaces was introduced by Anselone and Moore. A necessary and sufficient condition for a set to be collectively compact established by J.A. Higgins shows that, in a sense, collectively compact sets can be characterized in terms of diagonal sequences. We reprove it in a different and a shorter way without using the diagonalization.A sequence {Tn} of bounded linear operators on a Banach space is called asymptotically compact if for any bounded sequence {xn} in X, every subsequence of {Tnxn} has a convergent subsequence. Every collectively compact sequence is asymptotically compact but the converse is not true general; however, if each operator is compact in any asymptotically compact sequence, then this sequence is collectively compact. In this work, we mainly study on spectral properties of asymptotically compact operator sequences. The results are closely parallel to the more completely studied case with {Tn} collectively compact sequence of linear bounded operators. We prove that for bounded linear operators T and Tn, n=1,2,..., such that Tn?T strongly, {Tn-T} asymptotically compact, if f(T) is defined by the operational calculus, then f(Tn) is eventually defined, f(Tn) ? f(T) strongly, and{f(Tn) -f(T)} is asymptotically compact. Also, we generalize the upper semi-continuity of the spectrum function for asymptotically compact operator sequences under the union of disjoint open sets.

Bu tez çalışmasında asimptotik kompakt operatör dizilerinin spektral özellikleri araştırılmıştır. Bu tez çalışmasının temel amaçlarından biri, asimptotik kompakt operatör dizileri için spektrum fonksiyonunun, iki ayrık açık kümenin birleşimi altında üst yarı sürekli olduğuna genelleştirilmesidir. Ayrıca tez çalışmasının son bölümünde, sınırlı lineer T ve Tn, n=1,2,?, operatörleri için Tn?T (noktasal), {Tn-T} asimptotik kompakt, f(T) fonksiyonu tanımlı iken f(Tn) fonksiyonu tanımlanmış,f(Tn)? f(T) noktasal yakınsaklığı gösterilmiş ve {f(Tn) -f(T)} nin asimptotik kompakt olduğu ispatlanmıştır. Tez çalışmasının son bölümünde yer alan bu bulgular için gerekli olan tanım ve teoremler ilk bölümlerde verilmiştir.Tezimiz dört bölümden oluşmaktadır ve ilk bölümde tezimizin temelini oluşturan lineer sınırlı operatörlerin birlikte kompakt kümelerin gelişimi hakkında kısaca bilgi verilmiştir. Tezimizin ikinci bölümünde, lineer sınırlı operatörlerin birlikte kompakt kümeleri hakkında temel tanım ve teoremler verilmiştir. Birim yuvardan alınan her {xn} dizisi için, {Knxn} d-kompakt, yani {Knxn} in her alt dizisinin yakınsak bir alt dizisi varsa,{Kn}dizisinin asimptotik kompakt olarak adlandırıldığı söylenmiştir. Bu durumda zayıf tekil çekirdekler asimptotik kompakt operatör yaklaşımları sonucunu doğurmuştur İkinci bölümde, öncelikle Banach uzay özelliklerinin verilmesiyle birlikte kompakt kümelerin bazı genel özellikleri üzerinde çalışılmıştır. Üçüncü bölümde, sınırlı liner operatör dizilerinin farklı pek çok yakınsaklık tanımları verilmiştir. Son bölüm olan dördüncü bölümde, Bu bölümde asimptotik kompakt operatör dizilerinin temel tanım ve özelliklerine detaylı olarak yer verilmiştir. Ayrıca bu bölümde, asimptotik kompakt dizilerin spektral analizi üzerinde çalışılmış ve yeni sonuçlar elde edilmiştir. Bu bulgulara ek olarak asimptotik kompakt operatör dizileri içinspektrum fonksiyonunun, iki ayrık açık kümenin birleşimi altında üst yarı sürekli olduğuna genelleştirilmiştir.