Katz Teoremi Üzerine

Abstract

Bu çalışmada, karakteristiği bir asal sayı olan sonlu bir cisim üzerindeki sonlu sayıda polinom göz önünde bulundurulmuştur. Bu polinomların ortak sıfır yerlerinin sayısı için bilinen en iyi üst sınırı veren, Nicholas M. Katz’ın bir teoremi ifade edilmiştir. Bu teoremin sayılar teorisi, cebir ve cebirsel geometri tekniklerinin kullanıldığı çeşitli ispatları incelenmiştir. İlk olarak tek polinom için, J. Ax tarafından verilmiş ispat ele alınmıştır. Daha sonra herhangi sonlu sayıdaki polinom için D. Wan ve X-D. Hou tarafından verilen ispatlar ayrıntılı olarak çalışılmıştır.In this study, an arbitrarily finite number of polynomials on a finite field with prime characteristic are considered. A theorem of Nicholas M. Katz, which gives the best known upper bound for the number of elements of the set of common zeroes of these polynomials, is stated. Various proofs of this theorem, which technics of number theory, algebra, and algebraic geometry are used, are examined. First of all, the proof for one polynomial case, given by J. Ax, and then for the general case, the proofs of D. Wan and X-D. Hou are studied in detail.