İkinci Tür Lineer Volterra İntegral Denklem Sistemlerinin Monte Carlo Metoduyla Sayısal Çözümleri

Abstract

Birçok karmaşık problemin çözümünde Monte Carlo yönteminin adı geçmektedir. Monte Carlo yönteminin üç temel yaklaşımı mevcuttur. Bunlar önem örneklemesi, varyans azaltmada beklenen değerlerin kullanılması ve kontrol değişkeni yöntemleridir. Önem örneklemesi yönteminde seçilecek olan önem fonksiyonu ile varyans azalacaktır. Varyans azaltmada beklenen değerlerin kullanılması metodunda marjinal dağılım kullanımı ile varyans en aza indirgenebilir. Kontrol değişkeni yöntemi ise, örneklemede, bağdaştırılan noktaların kullanımını bütün noktalara tercih ederek varyansı azaltmayı sağlar. İkinci tür lineer Volterra integral denklem sistemlerinin çözümleri birkaç değişkene bağlıysa veya başka integral denklemler ile birleştirilmiş ise bu tür denklemlerin çözümünü bulmak genelde güçtür. Bu çalışmada, Monte Carlo yönteminde oluşturulan iterasyon tekniği ile integralin verildiği aralıkta üretilen sayılar yardımı ile bu integraleri yaklaşık olarak çözülmüştür. Aralıktaki bir değer ile iterasyona başlanır. Fonksiyon sabit kabul edilip integralin dışına alınır. AX=B şeklinde bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistemi çözerek aralıkta aldığımız ilk değer için sistemin çözümüne ulaşılır. İkinci adımda aralıkta üretilen ikinci bir değer için fonksiyon basamak fonksiyonu kabul edilir. Fonksiyon için bilinmeyen değeri integralin dışına çıkartır birinci adımda bulunan sonuçlar kullanılarak yeni bir AX=B denklem sistemi elde edilir. Sistem çözülerek yeni bir çözüme ulaşılır. Tekrar birinci adıma dönülür. İterasyon istediğimiz kadar devam eder. Böylece ikinci tür lineer Volterra integral denklem sisteminin yaklaşık olarak çözümünü elde ederiz.

The name of Monte Carlo method is mentioned in the solution of many complex problems. Three major classes of technique are used to reduce the variance in Monte Carlo. These methods are importance sampling, the use of expected values to reduce variance and control variate. In the method of importance sampling, the variance determines to selected importance function. However we select a good importance function, the variance will reduce. The method of the use of expected values to reduce variance reduces to variance with the use of marginal distribution. Control variate method serve to reduce the variance by the use of correlated points in sampling rather than sampling all points. It is very difficult to find a useful solution of the system of linear Volterra integral equation if the solution depends on several variables or if the equations coupled with other integral equations. In this study, it is possible to solve this integral approximately with generated iteration technique. We start iteration with any value the interval. We assume that the function is a constant then it can be put outside the integral. Thus AX=B obtained in the form of an equation system. By solving this system it is reached the system reached for the first value in the range. In the second iteration, the functions are assumed a stepwise function for secondary value. We obtain a new system by using the finding solution of the first step. A new solution is reached by solving this system. The first step is back again. Iteration continues as far as we want. Thus we obtain the approximate solution of the system of linear Volterra integral equations of the second kind using Monte Carlo method.