İki Boyutlu Yalpa Hareketindeki Hidrodinamik Katsayıların İnterpolasyonlu Parçacık Hidrodinamiği Yöntemi İle Hesaplanması

Abstract

Su yüzeyinde salınım yapan cisimlerde meydana gelen hidrodinamik kuvvetlerin ve momentlerin tahmini için birçok analitik, deneysel ve sayısal çalışma yapılmaktadır. Bu çalışmada, sayısal yöntemlerden biri olan İnterpolasyonlu Parçacık Hidrodinamiği (Smoothed Particle Hydrodynamics) kullanılarak zorlanmış yalpa hareketi yapan ikiboyutlu dikdörtgen kesitli bir cisme etkiyen moment, ek su kütle atalet momenti ve sönüm moment katsayıları, cisim çevresinde oluşan girdaplılık ve cismin hareketi nedeni ile serbest su yüzeyinde oluşan dalgalar incelenmiş ve elde edilen sonuçların literatürde yer alan diğer sonuçlarla ile mukayesesi yapılmıştır. Ayrıca tez kapsamında elde edilen sonuçlar çeşitli duyarlılık analizlerine tabi tutularak oluşturulmuş olan İnterpolasyonlu Parçacık Hidrodinamiği (İPH) sayısal çözüm algoritmasının gürbüz (robust) olup olmadığı araştırılmıştır. İPH yönteminin uygulamasında değişik algoritmalar kullanılmakta olup, bu çalışma çerçevesinde geliştirilmiş bilgisayar programı temelde, Yapay Viskozite Terimi’ni (Artificial Viscosity Term) içeren Euler Hareket Denklemi ve Süreklilik Denklemini, Zayıf Olarak Sıkıştırılabilir İPH Yaklaşımı (WCSPH) yardımı ile çözmektedir. İPH yöntemi ilk olarak 1970’li yılların sonlarında astrofizik problemlerinin çözümünde eş zamanlı olarak Monaghan ve Gingold (1977) ve Lucy (1977)tarafından kullanılmaya başlanmış, daha sonra akışkan ve katı cisim problemlerine uygulanmıştır. Bu yöntem, 1990’lı yıllardan sonra su altı patlaması, şok, bio-mekanik, çarpışma, çeşitli akışkan ve katı mekaniği problemlerinde kullanılmış olup günümüzde halen geliştirilmeye devam edilmektedir. İPH yöntemi, çözüm bölgesini oluşturan parçacıklarda yoğunluk, basınç, hız vb. kinematik ya da dinamik büyüklüklerinin zaman içerisindeki değişiminin takip edildiği Lagrange temelli bir yöntem olup ağsız yöntemlerden bir tanesidir. İPH formülasyonu kullanılarak oluşturulacak bir sayısal çözüm prosedüründe iki adet temel adım vardır. Bu adımlardan birincisi çekirdek/ağırlık yaklaşımı, ikincisi ise parçacık yaklaşımıdır. Bahsedilen yaklaşımlar birer cümle ile şu şekilde özetlenebilir. • Çekirdek yaklaşımı; herhangi bir kinematik ya da dinamik büyüklüğün, çözüm bölgesi içerisinde dağıtılmış parçacıklara bir ağırlık fonksiyonu ile atanması, • Parçacık yaklaşımı; çekirdek yaklaşımı yapılarak integral haline dönüştürülen fonksiyonun parçacıklara ayrıklaştırılarak bir toplam ile gösterilmesi, Çekirdek/ağırlık yaklaşımı ve parçacık yaklaşımı uygulanmış olan Süreklilik ve Euler denklemlerine WCSPH yaklaşımı yapılmıştır. İPH sayısal yöntemi ile geliştirilmiş algoritma ile kararlı çözüme ulaşabilmek ve sistemin sayısal stabilitesini arttırmak için Euler hareket denklemi içerisindeki basınç terimlerine yapay viskozite terimi eklenmiştir. Yapay viskozite teriminin doğrudan momentum korunumu denklemine eklenmesinin sebebi akışkana belli bir mertebede difüzyon eklenerek sayısal çözümün kararlılığının arttırılmasının sağlanmasıdır. Bu terim ilk olarak sonlu farklar algoritmaları için Von Neumann ve Richtmyer (1950) tarafından kullanılmaya başlanmış olup birçok İPH çalışmasında da kapsamlı olarak kullanılmıştır (Delorme ve diğ., 2005). Eklenen bu yapay viskozite değerinin sayısal kararlılığı sağlarken çözüm üzerindeki etkilerinin en aza indirilecek şekilde optimize edilmesi gerekmektedir. Ayrıca dikkat edilmesi gereken başka bir husus da parçacık çözünürlüğünün arttırılması ile (örneğin interpolasyon uzunluğunun (h) sıfıra yakınsaması ile) yapay viskozite terimi sıfıra yakınsar ve böylece hareketi temsil eden denklem sistemi Euler denklemlerine indirgenmiş olur (Antuono ve diğ., 2011).WCSPH yaklaşımını ise akışkanı oluşturan parçacıkların yoğunluk değerinin başlangıçtaki durumlarından %1 sapmasına müsaade eden ve parçacıkların basınç değerlerinin yoğunluk değerlerinden faydalanılarak çözüldüğü bir hal denklemini içeren yaklaşım olarak özetleyebiliriz. Tez kapsamında ayrıca literatürde sıklıkla kullanılan Yoğunluk Düzeltmesi (Shephard Filtering), Birleşik Serbest Su Yüzeyi Yapay Parçacık Ötelemesi (VXSPH) ve Parçacık Paketleme Algoritması (Particle Packing Algorithm) sayısal düzeltme algoritmaları kullanılmıştır. Yoğunluk Düzeltmesi WCSPH kullanımında basınç değerlerinin değişimini düzenleyen ve problem bölgesindeki sayısal gürültünün (numerical noise) azaltılması maksadıyla Süreklilik denkleminden elde edilen yoğunluk değerlerinin parçacıklar arasında ağırlıklandırılmış interpolasyon kullanılarak düzenlenmesi olarak ifade edilebilir ve literatürde WCSPH yaklaşımını kullanan bir çok araştırmacı tarafından (Colagrossi ve Landrini, 2003, Dalrymple ve Rogers, 2006 ve Özbulut ve diğ., 2014) kullanılmıştır. VXSPH çözüm algoritması, XSPH Hız Varyantı (Monaghan, 1994) ve Yapay Parçacık Ötelemesi (Shadloo ve diğ., 2011)’nin ortak uygulamasını içeren hibrit bir yöntem olup su yüzeyinde parçacıkların hız ve konumlarının düzenlenmesine, su altında ise parçacıkların kümelenmesinin engellenmesine etki etmektedir. Ayrıca problem sınırlarının eğik olduğu durumlarda ise sayısal algoritma içinde parçacıkların çözüm bölgesine daha homojen dağıtılmasına yarayan Colagrossi ve diğ. (2012), tarafından geliştirilen Parçacık Paketleme Algoritması (Particle Packing Algorithm) kullanılmıştır. Çalışma kapsamında geliştirilmiş olan algoritmanın doğrulanmasına yönelik beş değişik test uygulanmış olup her bir doğrulama kapsamında probleme ilişkin farklı parametrelerin değiştirildiği uygulamalara da yer verilmiştir. Birinci doğrulamada cismin hareketsiz olduğu durumda basınç değerlerinin gözlemlenmesi için yapılmıştır. Birinci doğrulamada dik havuz sınırlarına sahip ve eğik havuz sınırlarına sahip iki farklı havuz geometrisi kullanılmış ve havuz içerisindeki basınç değişiminin başlangıç şartı olarak verilen hidrostatik basınçlardan sapması zaman içerisinde incelenmiştir. Yine bu doğrulamada eğik havuz sınırlarında uygulanan PPA algoritmasının beklenildiği gibi çalışıp çalışmadığı da test edilmiştir. İkinci doğrulama, cisim hareketli ve hareketsiz haldeyken elde edilen moment değerlerinin sınanmasına yönelik yapılmıştır. Cisim hareketli haldeyken elde edilen moment değerleri literatürde yer alan deneysel ve sayısal yöntemler ile mukayese edilmiştir. Yine bu doğrulama kapsamında cismin hareketli olduğu durumda cismin açısı ve cisme etkiyen moment değerlerinin arasında bir faz farkının oluşup oluşmadığı da incelenmiştir. Üçüncü doğrulama, değişik açısal frekans ve yalpa genliklerinde hareket eden cisimden elde edilen ek su kütle atalet momenti ve sönüm moment katsayılarının, literatürdeki deneysel ve sayısal sonuçlar ile karşılaştırılması şeklinde yapılmıştır. Dördüncü doğrulamada cismin hareketi nedeni ile cismin çevresinde oluşan girdapların adet ile mevkilerinin ve cismin çevresindeki akışkan hızlarının literatürde yer alan diğer çalışmalar ile karşılaştırılması yapılmıştır. Beşinci ve son doğrulama kapsamında ise cismin hareketi nedeni ile serbest su yüzeyinde oluşan dalgalar incelenmiştir. Doğrulama faaliyetlerinden sonra, geliştirilmiş olan algoritmanın gürbüz (robust) olup olmadığının kontrolü için parçacıklar arası mesafe (dx), zaman adımı (dt) ve problem geometrisinin değişiminin sonuçlara etkisi araştırılmıştır. Her üç duyarlılık analizinde de mukayese kriteri olarak boyutsuz ek su kütle atalet momenti (a66) ve boyutsuz sönüm moment katsayısı (b66) seçilmiştir. Oluşturulmuş olan İPH algoritması farklı doğrulama ve duyarlılık analizleri ile çeşitli denemelere tabi tutulmuştur. Gerçekleştirilen bütün denemelerde literatürde yer alan deneysel çalışmalara tatmin edici doğruluklarla cevap veren algoritma, literatürde bulunan deneysel veriler baz alındığında literatürdeki diğer bir sayısal yöntem olan FSRVM’ye göre daha yakın sonuçlar verdiği gözlemlenmiştir. Başarılı sonuçlar alınmasına rağmen geliştirilen İPH algoritmasının çözüm süresi bir hayli uzun olup kısaltılmasına ihtiyaç duyulmaktadır. Daha önce farklı problemlerin çözüm/doğrulaması için kullanılmış olan İPH yönteminin su içinde yalpa hareketi yapan 2 boyutlu bir cisme uygulanmasına yönelik herhangi bir çalışmaya literatür taraması esnasında rastlanmamıştır. Dolayısı ile tez kapsamında İPH yöntemi kullanılarak iki boyutlu yüzen cisimlerin yalpa hareketine ilişkin elde edilecek sonuçların literatüre bir katkı sağlayacağı düşünülmektedir. Tez kapsamında irdelenmiş olan yalpa hareketi yapan cisme etkiyen moment, yalpa hareketindeki ek su kütle atalet momenti, sönüm moment katsayısı ve serbest su yüzeyinde meydana gelen dalgalar literatüre nicel olarak katkı sağlanmaktadır. Ayrıca yine tez kapsamında incelenmiş olan girdaplılık ve cisim çevresindeki parçacıklarda meydana gelen hız vektörleri literatüre nitel olarak katkı sağlamaktadır.

Many different analytical, experimental and numerical works have been done for the prediction of hydrodynamic forces and moments exerted on the oscillating body on the water surface. In this thesis, added mass of inertia and damping moment coefficient, vorticity around the body and surface waves generated due to roll motion of the body are investigated for 2-D rectangular bodies which are subjected to forced roll motion by means of Smoothed Particle Hydrodynamics Method (SPH) which is one of the meshless numerical methods. Obtained results have been compared with those of the numerical and experimental studies, by taking a rectangular cross-section into account. Moreover, sensitivity analysis have been performed to determine whether obtained results and generated SPH algorithm is robust or not. Various different numerical algorithms are still in development in order to tackle the problems of SPH method by researchers and engineers. Fundamentally, Continuity Equation and Euler’s Equation of motion including Artificial Viscosity Terms are used as governing equations within the frame of Weakly Compressible SPH (WCSPH) approximation scheme. SPH method was first simultaneously introduced by Monaghan and Gingold (1977) and Lucy (1977)to find a numerical solution to the astrophysical problems. Then the method is applied to the fluid and solid mechanics problems. In 1990’s SPH’s usage is extended to the underwater explosion, shock, bio-mechanical, crash and variety of fluid and solid mechanics problems. Nowadays, different algorithms to find a sound and effective solution to the different kind of problems are still investigated. SPH method is one of meshless methods which has a Lagrangian nature. Concisely in SPH method, problem domain is discretized to the particles which represent fluid and fluid kinematic and dynamic properties such as velocity, force and etc. Mentioned properties can be taken from each particle throughout in analysis time. There shall be two indispensable steps in SPH numerical solution algorithm. First step is named as integral respresentation or kernel approximation. The second one is the particle approximation. • First step, the kernel approximation, is based on an interpolation process where the values of any field variable (such as velocity, pressure etc.) are calculated by using the integral representation of SPH approach. Kernel function, smoothing kernel function or smoothing kernel plays important role in the application of kernel approximation and it is explained in detail in this study. • Second step, particle approximation provides the discretization of these integral equations by using the relation through a summation procedure over all the particles in the problem domain. With the application of the kernel and particle approximations to the Continuity and Euler’s Equation; WCSPH approximation is utilized. Artificial viscosity term is added to the pressure terms inside the Euler’s Equation to obtain better stability for the generated İPH algorithm. With the addition of artificial viscosity term to the Euler’s momentum equation, slight diffusion that contributes the numerical stability is acquired. This term is firstly used by Von Neumann and Richtmeyer (1950) in FDM analysis and then it is used in many SPH algoritms (Delorme et. al., 2005). Optimization of the artificial viscosity term is required.Artificial viscosity effects in results has to be taken into account while acquiring numerical stability. With the decrease of smoothing length artificial viscosity effects converges to zero and used governing equation for the momentum degraded to Euler’s equation (Antuono et. al., 2011). WCSPH assumes that the fluid is incompressible, however it allows %1 variation from the intial value of the density distribution and it employs Equation of State (EOS) to couple density and pressure values of particles. After application of SPH discretization, Density Correction (Shephard filtering), Velocity Updated XSPH (VXSPH) and Particle Packing Algorithms (PPA) are employed. As the pressure is coupled with density in WCSPH approximation, precise calculation of density has utmost importance. When one uses the density evolution following from directly the continuity equation, the pressure field may fluctuate rapidly. Therefore, SPH computations which use WCSPH method usually employ density correction as introduced by Colagrossi and Landrini (2003), Dalrymple and Rogers (2006) and Özbulut et. al. (2014). It is also called as Shephard filtering. VXSPH is developed by Özbulut (2013) and it is a hybrid combination of Monaghan’s (1994) Velocity Variant Algorithm (XSPH) and Shadloo et. al.’s (2011) Artificial Particle Displacement (APD) algorithms. In VXSPH, particle velocities and positions are updated on water surface by using XSPH algorithm to have better prediction and particle positions are shifted for the rest of the particles by using APD algorithm to obstruct particle accumulation. Additionally, Colagrossi et. al.’s (2012) Particle Packing Algorithm (PPA), which assures more homogenous particle distribution, is employed when the problem domain have oblique boundaries. Five different validations are executed to test the SPH algorithm presently developed. In the first case of validation, pressure values of the particles are observed for a satisfactory time interval while the body is at rest. Moreover in the first validation case two different tank geometries (one has vertical/horizontal boundaries and another one has oblique/horizontal boundaries) are tested. At the beginging hydrostatic pressure conditions are assigned to the fluid particles and variation of pressure values are observed. PPA algorithm success is sought for the tank which have oblique boundaries. In the second validation, moments are investigated in both when body is stable and it is harmonically oscillating. Obtained moment when the body is subjected to the harmonical oscillation is compared with that of experimental and numerical studies in the literature. Additionally, another test is executed for the oscillating with a harmonic charasteristics. Roll angle and moment obtained are taken into account and phase difference between these two parameters is also investigated. In the third validation, added mass of inertia and damping coefficients of the body are investigated for different angular frequencies and various roll amplitudes. Roll motion added mass of inertia and damping coefficient are compared with those of experimental and numerical studies in the literature. In the fourth validation, the number and location of the vortexes that occur around the body because of the motion of the body and the fluid particle velocities around the body are compared with the other studies in the literature. Fifth and the last; validation covers the analysis of the free waves that occur on free surface that is caused by the motion of the body. Validation activities are followed by the analysis of the impacts of the differences of the distance between the particles (dx), time step (dt) and problem geometry over the results to control whether the developed algorithm is robust. Nondimensional added mass of inertia (a66) and nondimensional damping moment coefficient (b66) are selected as the comparison criteria in all three sensitivity analyses. Through multiple validation and sensitivity analysis, the generated SPH algorithm is put to various tests. The algorithm, responded in satisfactory level of correctness to the experimental studies in the literature in all the tests implemented, and it is observed to yield more promising results to FSRVM which is another numerical method in the literature when the experimental data in the literature is taken as a basis. Even though successful results are obtained, the developed SPH Algorithm has a long computational time which needs to be shortened. During the literature review usage of IPH method, which was previously used for solution/verification of various problems, to the two dimensional body which is subjected to roll motion on the surface is not obtained. Therefore results that are achieved in the thesis through using IPH method to the two dimensional rolling body on the free surface are determined to contribute to the literature. Results that are examined in the scope of thesis regarding moment that is exerted on the rolling body, added mass of inertia moment, damping moment coefficient for the rolling body and surface waves generated due to roll motion of the body, contribute to the literature quantitatively. In addition vorticity and velocity vectors occur on the particles around the body that are examined in the scope of thesis contribute literature in a qualitative way.