Zaman Ölçeklemeli Sistemler

Abstract

Zaman ölçeklemesi kavramını Stefan Hilger, 1988 yılında doktora tezi olarak ortaya attı. Zaman ölçeklemesi basitçe, sürekli zaman ve ayrık zaman analizi tek bir çatı altında toplamaya çalışır. Tüm ayrık ve sürekli zaman analizi, zaman ölçeklemesinin özel birer halleri olarak karşımıza çıkmaktadır.\\ Zaman ölçeklemesi, reel sayıların bir alt kümesi olarak tanımlanır ve $\T$ ile gösterilir. Bu kümenin seçimi tamamen keyfidir. Zaman ölçeklemeli sistemler, örneğin $\T=\R$ seçildiğinde sürekli sistemlere, $\T=\Z$ seçildiğinde ise ayrık sistemlere dönüşür. Ayrıca bu küme, bazı sıralı diziler ile sürekli aralıkların birleşimi şeklinde de seçilebilir. Zaman ölçeklemesi analizi $\T$ nin seçiminden bağımsız olarak geliştirilmiştir.\\ Dinamik sistemleri ifade edebilmenin ilk adımı değişimi ifade edebilmektir. Klasik sürekli ve ayrık teorilerde bu değişim sırasıyla türev ve ileri fark olarak tanımlanmıştır. Zaman ölçeklemesinde de değişim, klasik teoridekilere çok benzer bir biçimde \textit{delta türev} adıyla tanımlanmıştır. Delta türevin özellikleri, klasik türevinkilere birçok açıdan benzerlik göstermektedir. Ayrıca yine $\T$ nin özel seçimlerine bağlı olarak delta türev, klasik türeve ve ileri farka dönüşmektedir.\\ Dinamik sistemleri değişim ile ifade ettikten sonra, bunların çözümlerini elde edebilmek için bir toplam tanımı gereklidir. Bu toplam sürekli sistemlerde integral, ayrık sistemlerde klasik toplam olarak tanımlanmıştır. Zaman ölçeklemesinde de benzer şekilde bir toplam tanımı antitürev adıyla verilmiştir. Bu antitürev, delta türevin tersidir ve dinamik denklemlerin çözümlerinde kullanılmaktadır. Yine benzer şekilde antitürevin özellikleri klasik integral ve toplam ile çok benzer özellikler gösterir, hatta özel zaman ölçeklemesi seçimleriyle onlara dönüşür.\\ Dinamik sistemlerin çözümleri için bir andaki değişimi, o anki değerine eşit olan fonksiyonlar çok önemlidir. Bu fonksiyonlar klasik teoride iyi bilinen, türevi kendisine eşit olan $e^t$ ve ileri farkı kendisine eşit olan $2^t$ fonksiyonlarıdır. Zaman ölçeklemesinde de benzer şekilde delta türevi kendisine eşit olan bir \textit{üstel fonksiyon} tanımlanmıştır. Bu üstel fonksiyonun özellikleri $e^t$ ve $2^t$ ile birçok benzerlik gösterir, dahası özel durumlarda bu fonksiyonlara dönüşür. Bahsedilen üstel fonksiyonun tanımı baz alınarak $\sin$, $\cos$, $\sinh$ ve $\cosh$ fonksiyonları da klasik teoridekine çok benzer şekilde tanımlanmıştır.\\ Zaman ölçeklemesinde dinamik sistemlerin çözümü de klasik teoridekine benzer şekildedir. Yani çözümler üstel fonksiyonların doğrusal kombinasyonları olarak karşımıza çıkar. Yine benzer şekilde bu çözümler matrislere de genişletilebilir. Nitekim zaman ölçeklemesi için, klasik teoride olduğu gibi bir durum geçiş matrisi tanımlanarak, birinci dereceden doğrusal sistem takımları bu durum geçiş matrisi yardımıyla çözülebilir. Bu durum geçiş matrisinin özellikleri incelendiğinde, klasik teorideki durum geçiş matrisi ile aynı özellikleri taşıdığı görülür. Ayrıca bu matris, yine özel zaman ölçeklemesi seçimleriyle sürekli ve ayrık durum geçiş matrislerine dönüşür.\\ Dinamik bir sistemin çıkışı, bu sistemin transfer fonksiyonu ile giriş fonksiyonu arasındaki konvolüsyon ile bulunur. Zaman ölçeklemesinde de benzer bir durum mevcuttur. Ancak zaman ölçeklemesinde zamanda kaydırma yapmak zordur. Dolayısıyla, literatürde zaman ölçeklemesi için birçok farklı konvolüsyon tanımı mevcuttur. Burada Martin Bohner in kitabındaki konvolüsyon tanımı baz alınmıştır. Her ne kadar bu tanım sadece belli fonksiyonları kapsasa da, bu kapsam dinamik sistemlerin analizi için yeterlidir.\\ Birçok fiziksel sistem sürekli zamanda modellenir. Ancak günümüzde kontrolörler ayrık zamanda çalıştıklarından bu sistemlerin ayrık modellerinin elde edilmesi gereklidir. Benzer şekilde sürekli sistemlerin zaman ölçeklemesi kontrolörü ile kontrol edilebilmesi için, bu sistemlerin zaman ölçeklemeli modelleri elde edilmelidir. Bu çalışmada bu modellerin nasıl elde edileceği literatürdeki kaynaklardan derlenip genişletilerek verilmiştir.\\ Dinamik sistemlerin analizinde Laplace ve $\mathcal{Z}$-dönüşümleri sıklıkla kullanılmaktadır. Zaman ölçeklemesi için de yine benzer şekilde her iki dönüşümü de kapsayan bir Laplace dönüşümü tanımlanmıştır. Zaman ölçeklemesinde, zamanda kaydırma yapmak zor olduğundan, konvolüsyonda olduğu gibi literatürde birçok farklı Laplace dönüşümü tanımı mevcuttur. Bu çalışmada yine Martin Bohner in kitabındaki tanım kullanılmış ve bu tanımın konvolüsyon teoremini sağladığına değinilmiştir.\\ Dinamik sistemlerin analizinde sürekli zamanda $s$-düzlemi ve ayrık zamanda $z$-düzlemi olarak bilinen karmaşık düzlemler kullanılır. Zaman ölçeklemesinde de benzer şekilde \textit{Hilger karmaşık düzlemi} adıyla bilinen yeni bir karmaşık düzlem tanımlanmıştır. Ancak klasik teoridekinin aksine bu düzlem statik değil, aksine zamana bağlı olarak dinamiktir. Bu dinamiklik nedeniyle bu düzlemde farklı bir karmaşık sayı tanımı kullanılmaktadır.\\ Dinamik sistemler analiz edilirken belki de ilk önce incelenmesi gereken özelliği kararlılıktır. Birçok kararlılık tanımı ve kriteri bulunmasına rağmen doğrusal zamanla değişmeyen sistemlerin kararlılık analizi için karakteristik polinomun köklerinin yerleri, yani spektral özellikleri sıklıkla kullanılır. Sürekli doğrusal zamanla değişmeyen sistemlerde kutupların sol yarı düzlemde olması, ayrık doğrusal zamanla değişmeyen sistemlerde ise kutupların birim çember içinde olması kararlılık için gerek ve yeter koşullardır. Zaman ölçeklemesinde de kararlılık için kutupların bulunmasının gerek ve yeter koşul olduğu, Hilger karmaşık düzleminde tanımlı bir bölge, seçilen zaman ölçeklemesine bağlı olarak mevcuttur. Ancak bu bölgenin hesaplanması zordur. Ne var ki, Hilger çemberinin içinde kalan bölgenin her zaman bu bölgenin bir alt kümesi olduğu gösterilmiştir. Özetle zaman ölçeklemesinde sistem kutuplarının Hilger çemberi içinde bulunması sistemin kararlılığı için yeter koşuldur.\\ Dinamik sistemleri geçici hal yanıtları incelenirken aşım, yerleşme zamanı gibi bazı kriterler tanımlanmıştır. Bu kriterlerin hesaplanması için yine sistemin spektral özellikleri kullanılır. Bu çalışma kapsamında da zaman ölçeklemesindeki bir sistemin spektral özellikleri kullanılarak tanımlanan zaman kriterleri formülleri elde edilmiştir. Yine bu formüllerin özel zaman ölçeklemesi seçimiyle klasik formüllere dönüştüğü gösterilmiştir. Klasik ayrık sistemlerde bu kriterleri spektral özelliklerden yola çıkarak hesaplamak zordur. Ancak, zaman ölçeklemesinde bu çok daha kolaydır.\\ Kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirlik doğrusal sistemlerin incelenmesi için önemli kavramlardır. Zaman ölçeklemesinde de bu kavramlar klasik teoridekine benzer şekilde tanımlanmışlardır. Yine kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirlik için yeter ve gerek koşullar klasik teoridekine çok benzer biçimdedir. Bu çalışma kapsamında ise basitçe, eşzamanlı olmayan ayrık bir küme, \textit{ayrık zaman ölçeklemesi} adıyla tanımlanmış ve bu küme üzerinde tanımlanmış sistemler için kontrol edilebilirlik yeter ve gerek koşulları elde edilmiştir. Ayrıca, sürekli bir sistemin ayrık zaman ölçeklemeli modelinin de kontrol edilebilirliği için yeter ve gerek koşullar bulunmuştur.\\ Zaman ölçeklemesinde klasik teorinin aksine kontrol edilebilirlik ile kutup atama eşdeğer problemler değildir. Bu nedenle bu çalıma kapsamında \textit{atanabilirlik} adıyla yeni bir kavram tanıtılmış ve sistemlerin atanabilir olabilmeleri için yeter ve gerek koşullar bulunmuştur. Ayrıca, kontrol edilebilir sürekli bir sistemin ayrık zaman ölçeklemeli modelinin hangi koşullar altında atanabilir olduğu bulunmuş ve bu koşulların iyi bilinen Kalman-Ho-Narendra kriteriyle bağlantılı olduğu gösterilmiştir.\\ Klasik teoride çok bilinen bir kontrol yöntemi durum geri beslemesi ile kontroldür. Ancak, sürekli zamanla değişmeyen bir sistemin zaman ölçeklemeli modeli zamanla değişen bir sistem olarak karşımıza çıkar. Bu nedenle literatürde durum geri beslemesi ile kontrol kuralı sistem zamanla değişen olarak kabul edilerek geliştirilmiştir. Oysa bu çalışmada böyle bir sistemin ayrık zaman ölçeklemeli modeli, her $t\in\T$ anında zamanla değişmeyen bir sistem olarak kabul edilirek durum geri beslemesi kontrolü yapılmıştır.\\ Durum geri beslemesi altında kapalı çevrim sistem kazancı değiştiğinden zaman ölçeklemesinde referans takibi yapıldığında sistem yanıtında bozulmalar görülür. Ancak, bu çalışma kapsamında bu bozulmaları gidermek için referans kazancını değiştiren bir yöntem önerilmiştir. Ayrıca, önerilen durum geri beslemesi kontrolörü ve referans düzeltme kazancı ölü zamanlı sistemlere uygulanmıştır.\\ Özetle, bu çalışma kapsamında zaman ölçeklemeli sistemler tanıtılmış ve bu sistemlerin birçok özelliğine değinilmiştir. Ayrıca bu çalışmada ayrık zaman ölçeklemesi, atanabilirlik gibi yeni kavramlar tanımlanmış ve bunlarla ilgili özellikler elde edilmiştir. Yine bu kavramlarla ilgili halen açık olan problemler sunulmuştur. Son olarak zaman ölçeklemeli sistemler için hesaplama ve simülasyon yapabilmek amacıyla MATLAB ve Mathematica kütüphaneleri geliştirilmiş, ayrıca Simulink blokları oluşturulmuştur.

Time scales is introduced by Stefan Hilger in his PhD thesis in 1988. Time scales theory simply tries to unify continuous and discrete analysis. In this theory, classical continuous and discrete analysis are just two special cases of time scales.\\ Time scales is defined as a subset of real numbers and is shown as $\T$. The choice of time scales is arbitrary. Time scales systems become continuous systems with the choice of $\T=\R$ and become discrete systems with the choice of $\T=\Z$. Also, time scales could be chosen as unions of some ordered sequences and continuous intervals. Time scales analysis is developed as regardless of the choice of the time scales.\\ It is required to express change in order to express dynamical equations. In classical continuous and discrete theories the change is defined with derivative and forward difference respectively. Similarly, in time scales theory, change is defined as \textit{delta derivative}. The properties of delta derivative is very similar to classical derivative. Also, delta derivative becomes classical derivative or forward difference with the special choices of $\T$.\\ In order to solve dynamic equations, there should be a sum definition. This sum is known as integral for continuous systems and classical sum for discrete systems. Similarly, in time scales theory, there is a sum definition called as antiderivative. Antiderivative is used to solve dynamic equations in time scales. The properties of antiderivative is very similar with the properties of integral and sum. Also, antiderivative becomes integral and sum for the special choices of time scales.\\ A function, whose change at a point equals to its value at that point is essential for solving dynamical equations. These well-known functions are $e^t$, whose derivative is equals to itself and $2^t$, whose forward difference is equals to itself. Similarly, an \textit{exponential function}, whose delta derivative equals to itself, is defined in time scales. This exponential function has very similar properties with $e^t$ and $2^t$, which becomes these functions for special choices of time scales. Also, $\sin$, $\cos$, $\sinh$ and $\cosh$ functions are defined with the definition of the exponential function, in a very similar way with the classical definitions.\\ The solutions of dynamical equations in time scales are very similar to those in classical theory. These solutions are linear combinations of the exponential function. Similarly, those solutions could be generalized to matrices. Similar to classical theory, a state transition matrix is defined for time scales in order to solve first order linear dynamic equation sets. This state transition matrix has the same properties as classical state transition matrix. Also it becomes continuous and discrete state transition matrices by special selections of time scales.\\ The output of a dynamical system is calculated as the convolution of input function and the transfer function of the system, which is the similar case for time scales. But it is not always possible to shift time in time scales. Therefore, there is more than one convolution definitions for time scales in the literature. In this work, the definition in Martin Bohner s book is used. Although this definition covers only a few functions, it is enough for analysis of dynamical systems on time scales.\\ Most physical systems are modeled in continuous time. But for designing discrete controllers, the discrete model of a continuous system should be obtained. Similarly, to design time scales controllers, time scales model of a continuous system should be obtained. This conversation formula can be found in the literature, but the formula is obtained in details in this work.\\ Laplace transform and $\mathcal{Z}$-transform are widely used in the analysis of dynamical systems. A transformation, which covers both Laplace and $\mathcal{Z}$-transforms, is defined on time scales. Since it is not always possible to shift time on time scales, there are a variety of Laplace transform definitions on time scales. In this work, the definition in Martin Bohner s book is used. Also, it is shown that, this Laplace transform definition satisfies convolution theorem with the convolution definition mentioned above.\\ There are complex planes defined for analysis of dynamical systems which are called as $s$-plane and $z$-plane for continuous and discrete systems respectively. Similarly, a new complex plane is defined on time scales called as \textit{Hilger s complex plane}. As opposite to the classical theory, this plane is not static, but is dynamically changing with respect to time. There is also a new complex number definition is used, called as \textit{Hilger s complex numbers}, due to this dynamic nature.\\ Stability is one of the most important properties of dynamical systems. There is a large variety of stability definitions and criteria. The place of the roots of the characteristic polynomial of the system, so-called spectral characteristics of the system, is used widely to determine the stability linear time invariant systems. It is well-known that the roots of the characteristic polynomial should stay inside the left half plane for continuous linear time invariant systems and inside the unit circle for discrete linear time invariant systems for necessity and sufficiency of stability. Similarly, roots of the characteristic polynomial of a time scales system should stay inside a stability region defined in Hilger s complex plane, for necessity and sufficiency of stability on time scales. This stability region could be different with the selection of time scales and its calculation could be difficult. However, it is shown that Hilger s circle is always a subset of such stability region. In summary, the roots of the characteristic polynomial should stay inside the Hilger s circle for sufficiency of stability.\\ Some time domain characteristics are defined for analysis of the transient response of dynamical systems, such as overshoot and settling time. These characteristics can be calculated by the spectral characteristics of dynamical systems. In this work, time domain characteristics formulas are obtained using spectral characteristics of a second order system on time scales. Also, it is shown that these formulas become as classical time domain characteristics formulas for special cases of time scales. It is very difficult to calculate time domain characteristics with spectral characteristics of a discrete system, but it is much easier on time scales.\\ Controllability and observability have a great importance for linear dynamical systems. The definitions and criteria for controllability and observability on time scales are very similar to those in classical theory. A nonuniform discrete set is defined as \textit{discrete time scales} in this work. Also, the necessary and sufficient conditions for controllability on discrete time scales are obtained. In addition, the necessary and sufficient conditions for controllability of a time scales model of a continuous system are obtained as well.\\ On the contrary of classical theory, controllability and pole assignment are not equivalent problems on time scales. Therefore, a new definition called \textit{assignability} is introduced in this work and the necessary and sufficient conditions for assignability of a system are obtained. Also, the necessary and sufficient conditions for assignability of a time scales model of a controllable continuous system is obtained and it is shown that this criteria is in a relation with the well-known Kalman-Ho-Narendra criteria.\\ State feedback control is a well-known control technique in classical theory. But, when we obtain time scales model of a continuous time system, this model appears to be time varying. Therefore, state feedback control rule is developed assuming that the system is time varying on time scales in the literature. However, in this work the state feedback controller is developed assuming that for each and every $t\in\T$, the system is time invariant.\\ The closed loop system gain changes in the presence of state feedback controller. Because of this, the transient response of the closed loop system could be different than expected on time scales when the system follows a reference signal. However, a method that changes reference signal gain, is proposed in this work. Also, this proposed state feedback controller and reference gain is applied to systems with dead time.\\ In summary, dynamical systems on time scales are introduced and many properties of these systems are given in detail in this work. Also, some new terms such as discrete time scales and assignability, is defined, and the properties of these definitions are obtained. In addition to that, some new open problems on time scales are introduced. Last of all, MATLAB and Mathematica libraries, and also Simulink blocks for time scales are developed for obtaining the results given in this work.