Groebner bases and toric varieties

Abstract

In this thesis, our aim is to understand two dierent constructions of a toricvariety: starting from a rational polyhedral cone and starting from a matrix,also connections between the Groebner bases and toric varieties. The detailedinformation can be found in [1] and [2].First, we start by a brief introduction and give some basic denitions that we willuse. In the third chapter, the Groebner bases that provides algorithmic solutionsto problems in Commutative Algebra and Algebraic Geometry are introduced.Also the Buchberger's Algorithm is examined that allow us to compute theGroebner basis.In the fourth chapter, a toric variety associated to a cone in n-dimensional spaceis constructed. In the fth chapter, we construct a toric variety from a given set ofconvex cones which is called a fan. We glue of the ane toric varieties associatedto the cones which have the common face.In the sixth chapter, a toric variety is constructed from a matrix and theconnections between the toric varieties and Groebner bases are examined.

Bu tezdeki amacımız, torsal varyetelerin rasyonel polihedral koniden başlayarak oluşturulan ve bir matristen başlayarak oluşturulan iki farklı inşasını ve Groebnerbazlar ile torsal varyeteler arasndaki ilişkiyi anlamaya çalışmaktır. Bu konu ile ilgili ayrıntılı bilgiler [1] ve [2] kitaplarında bulunabilir. llk olarak ksa bir girş ve kullanacağımız temel kavramların tanmlar ile başayacağız. Üçüncü bölümde, değişmeli cebir ve cebirsel geometride bazı problemlere çözüm sağlayan Groebner bazlar tanıtılacaktr. Ayrca verilen bir idealin Groebner bazını hesaplamamızı sağlayan Buchberger'in algoritması incelenecektir.Dördüncü bölümde, n-boyutlu bir uzayda verilen belirli özelliklere sahip birkoniye karşılık gelen an torsal varyete oluşturulacaktır. Beşinci bölümde, birden fazla konveks koninin birleşimi olan fandan torsal varyete oluşturulacaktır. Ortakyüzleri bulunan konilere karşılık gelen torsal varyeteleri yapıştıracağız.Altncı bölümde, bir matristen torsal varyetenin oluşturulması ve torsal varyetelerve Groebner bazlar arasndaki ilişki incelenecektir.