İzotrop malzemeli helisel çubukların statik problemlerinin analitik çözümü

Abstract

Bu çalışmada, değişken kesitli, elastik, izotrop malzemeli çubukların genel statik problemleri eksen uzaması, kayma deformasyonu etkileri gözönüne alınarak incelenmiştir. Problem, altı adet diferansiyel denklem ile ifade edilmiş ve bu denklemlerin kesin çözümü, başlangıç değerleri yöntemiyle elde edilmiştir. Örnekler, sabit kesitli silindirik helisel çubuklar için çözülmüştür. Yapılan literatür araştırmasında, çalışmaların çoğunda yaklaşık yöntemlerle sonuca ulaşılmaya çalışıldığı görülmüştür.Birinci bölümde, çubuk teorisi ile ilgili genel bilgiler verilmiştir. Çalışmanın amacı belirtildikten sonra çubukların statik ve dinamik davranışları konusunda yapılan çalışmalar özetlenmiştir.İkinci bölümde, çubuğun statik davranışını veren genel diferansiyel denklemler verilmiş, ardından bu denklemler çubuk kesitinin asal eksenlerinin eksen eğrisinin normal ve binormal eksenleri ile çakışması durumu için özelleştirilmiştir. Daha sonra bu çalışmanın sayısal hesaplamalarında kullanılacak helis geometrisi incelenmiştir.Üçüncü bölümde, çubuğun statik davranışını ifade eden değişken katsayılı, homojen diferansiyel denklem takımının kesin çözümü, çubuk kesitinin çift simetrik olduğu, kesitin geometrik merkezi ile kayma merkezinin çakışmakta olduğu, normal ve binormal eksenleri kesitin asal eksenleri olduğu, çarpılma olmadığı, çubuğun elastik, homojen ve izotrop malzemeden yapıldığı varsayımıyla, başlangıç değerleri yöntemini kullanarak elde edilmiştir.Dördüncü bölümde, sabit kesitli silindirik helisel çubuklar için çeşitli örnekler çözülmüştür. Hesaplanan değerler, mevcut yayınlar ve sonlu eleman programlarından elde edilenlerle karşılaştırılmıştır.Yapılan çalışmada, değişken kesitli, elastik, izotrop malzemeli çubukların genel statik problemlerini ifade eden diferansiyel denklemlerin kesin çözümü eksen uzaması, kayma deformasyonu etkileri gözönüne alınarak, başlangıç değerleri yöntemiyle elde edilmiştir. İlgili çalışmalar incelenmiş ve sonuçlar karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma sonlu eleman programlarıyla da yapılmış olup uyumlu sonuçlar elde edilmiştir.

This study concerns with the static behaviour of a spatial bar, with variable cross section of an elastic and isotropic material, comprising the effects of axial and shear deformations. The problem is described by six differential equations and these equations are solved by using the method of initial values. Examples are given for cylindrical helical beams with constant cross section. In the literature, most of the studies solve these governing differential equations numerically. Also, a few of them neglect the axial and shear deformation effects. In this proposed method, the solutions are exact and axial and shear deformation effects are considered.In the first chapter, a general view of beam theory and the aim of the study are given. Relevant literature about static and dynamic behaviour of the beams are summarized.In the second chapter, six differential equations describing static behaviour of a spatial bar are given first, and then reduced assuming that the center of the cross section coincides with its shear center, and that the normal and binormal axes are principal axes of the cross section. At the end of the chapter, general geometry of a helix is reviewed.Third chapter deals with the exact solutions of the differential equations that describe the static behaviour of a spatial bar. Method of initial values is used and it is assumed that the centroid of the cross section coincides with its shear center, and that the normal and binormal axes are the principal axes. Warping is neglected; elastic, homogeneous and isotropic material is considered.In the last chapter, several examples are solved for cylindrical helical beams with constant cross section and compared to results from the relevant literature and finite element programs.Based on method of initial values, the differential equations describing static behaviour of a spatial bar are solved and compared to results from the relevant literature and finite element programs. The results are in close agreement with each other. It is assumed that center of the cross section coincides with its shear center, and that the normal and binormal axes are principal axes of the cross section.