Adaptive remeshing on two dimensional unstructured meshes

Abstract

Rüzgar tüneli deneyleri, hava araçlarının aerodinamik dizaynlarının belirlenmesinde önemli rol oynamaktadır. Rüzgar tünelinde denenen model üzerine gelen kuvvetler ölçülebilir, yüzeyinde belirli noktalarda basmç değerleri elde edilebilir ve akım görünürlüğü teknikleriyle model üzerindeki ve etrafındaki akış alanı incelenebilir. Bütün bu metotlar ile elde edilen sonuçlan değerlendirerek model yeniden dizayn edilebilir. Ancak rüzgâr tüneli deneyleri çok vakit alır ve masraflıdır. Bir uçağın dizaynında on binlerce saat rüzgâr tüneli deneyi yapıldığı göz önüne alınırsa, bu aşamanın maliyet ve zaman açısından önemi daha iyi anlaşılır. Yüksek hızlı bilgisayarların kullanımıyla akış problemlerinin sayısal çözümü mümkün hale gelmiştir. Bir problemin sayısal çözümü iki aşamada incelenebilir. Bunlar; çözüm yapılan alanda bir ağ oluşturulması ve bu ağ üzerinde sayısal metodun gerçekleştirilmesidir. Elde edilen çözümün doğruluğu kullanılan sayısal metoda ve kullanılan ağın probleme uygunluğuna bağlıdır. Kullanılan bilgisayarların hızında ve belleğindeki artışa paralel olarak sayısal çözüm metotlarının aerodinamik dizayna katkıları da artmıştır. Geliştirilen çözüm tekniklerinin basit şekillere uygulanması ile gerçeğe çok yakın sonuçların elde edilmesi, karmaşık geometriler, örneğin uçaklar, üzerindeki akış alanının sayısal metotlarla çözümüne olan ilgiyi arttırmıştır. Sayısal modellemeyle uğraşan analizcinin ilk aşamada karşılaşacağı problem çözüm alanını kaplayan uygun bir ağın oluşturulması olacaktır. Bundan sonra ise sayısal sonucun hatasını azaltmak için ağın, akışın değişen özelliklerine uygun bir şekilde, adaptasyonu gerekecektir. Karmaşık geometrik yapıya sahip bir modelin etrafında ağ oluşturmanın zorluğu model yüzeyinin tek bir koordinat sistemiyle tanımlanamamışından kaynaklanmaktadır. Dikdörtgensel bir alanda kartezyen koordinat sistemi kullanılarak kolayca yapısal bir ağ elde edilebilir veya bir kanat profili etrafında yine yapısal bir ağ geometrik transformasyonlar kullanılarak elde oluşturulabilir. Fakat karmaşık bir geometriye sahip bir model etrafında, örneğin tam bir uçak etrafında, yapısal bir ağ elde etmek bu kadar kolay olmayacaktır. Kanadın etrafında oluşturulan ağ gövdenin etrafında oluşturulana uymayacaktır. Böyle bir model etrafında ağ, akış alanını gruplara ayırarak elde edilebilir. Ağ üretimine alternatif bir yaklaşım ise yapısal ağdan vazgeçip tamamıyla yapısal olmayan bir ağ kullanmakta*. Ağ elemanım iki boyutlu problemlerde üçgen ve üç boyutlu problemlerde üçgen tabanlı prizma seçerek, ağ oluşturulması mümkün olabilacektir. Yapısal olmayan ağlar son yıllarda sıkça kullanılmaktadır. vnı Ağ hangi metotla yapılırsa yapılsın, düğüm noktalan akışın fiziksel durumuna bağlı olarak dağıtılmalıdır. Bu ise fiziksel özelliklerin değiştiği yere en yüksek doğrulukla çözüm verecek minimum sayıda nokta yerleştirilmesiyle olacaktır. Böyle bir ağ ya bir koordinat sisteminin tanımlanmasıyla yapısal olarak veya her bir düğüm noktasının komşu noktalarla tanımlanmasıyla yapısal olmayarak elde edilebilir. En yaygın metot olan yapısal ağ yönteminde, ilgilenilen alan genelde dikdörtgensel alanlara ayrıştırılır. Böylece sınırlarda bulunmayan her bir düğüm noktasının aynı sayıda komşu noktası olacaktır. İki boyutlu halde koordinat sisteminin eksenleri t, ve rj dikdörtgenlerin kenarlarına paralel olacak şekilde tanımlanabilir. Böyle bir koordinat sisteminde düğüm noktalarını Tj'nm sabit olduğu doğrultuda, £ arttığı yöne doğru artarak numaralandınrsak ve aynı şekilde rj yönünde de numaralandınrsak, her bir düğüm noktasının ve komşularının numarası belirlenecektir. Böylece yapısal bir ağ elde edilecektir. Genellikle bu tür ağlar çözüm alanının transformasyon teknikleriyle bir dikdörtgene dönüştürülmesi ve bu dikdörtgenin, dikdörtgen elemanlara ayrılmasıyla elde edilir. Akışkan akışı ile ilgili bütün sayısal çözüm metotları bu tür ağlar üzerinde uygulanabilirler. Bu tür çözümlerle uğraşan analizciye yapısal ağ kullanmanın verdiği en büyük avantaj, bir çok metot arasından kendisine uygun birisini seçebilmesidir. Yapısal ağ kullanmanın sakıncası ise her geometri için uygun bir ağ oluşturmanın mümkün olmayışıdır. Bu sakınca çözüm alanım yapısal ağ oluşturulabilecek alt gruplara ayırarak giderilebilse de sonuçta kötü kaliteli elemanlar oluşabilecek ve zaman kaybı olacaktır. Bütün bu sakıncalar göz önüne alınarak yapısal ağa alternatif olarak yapısal olmayan ağların kullanımı yaygınlaşmıştır. Bu ağ yapısının önemli bir özelliği her bir düğüm noktası etrafındaki komşu noktaların sayısının eşit olması gerekliliği bulunmayışıdır. Bu metotta dörtgen elemanlar kullanılabilir fakat yaygın olarak üçgen elemanlar kullanılmaktadır. Ağın yapısal bir düzeni bulunmadığından her bir elemanın hangi köşesinde kaç numaralı düğüm noktasının bulunduğu listelenmelidir. Bu yöntemle elde edilen bir ağ bir koordinat sistemiyle tanımlanamayacağından yapısal ağlara uygulanabilen bütün çözüm teknikleri (koordinat sistemine bağımlı olanlar) bu ağlar üzerinde kullanılamayacaktır. Yapısal olmayan ağlatın en büyük avantajı karmaşık geometriler için uygun olmasıdır. Ayrıca bu ağlar üzerinde adaptasyon işlemi yapısal olanlara nazaran daha etkin bir şekilde yapılabilmektedir. Yapısal olmayan ağlan kullanmanın dezavantajlan ise kullanılan çözüm yöntemlerinin sınırlı olması, bilgisayarda fazla bellek kullanılması ve çözüm süresinin uzaması olarak sıralanabilir. Yukanda belirtilen avantajlan göz önüne alınarak ve son yıllarda sıkça kullanıldığından dolayı bu çalışmada yapısal olmayan ağlar kullanılmıştır. İlk önce bazı yapısal olmayan ağ üretim teknikleri anlatılmış daha sonrada adaptasyon tekniği verilmiştir. Yapısal olmayan ağ üretimi için ilerleyen cephe yöntemi kullanılmıştır. İşleme bütün sınır çizgilerinin tanımlanmasıyla başlanır. Düğüm noktalan sınırlara yerleştirilir ve ardışık noktalar düz çizgilerle birleştirilir. Daha sonraki aşamalarda bu ıx çizgiler oluşturulacak üçgenlerin kenarları olacaktır. Bu nedenle sınırlara konan noktaların arası istenen ağ aralığı kadar olmalıdır. Sınır çizgilerine düğüm noktalan yerleştirildikten sonra üçgen elemanlar oluşturulabilir. Üçgen elemanlarla doldurulacak olan ve sınır çizgileriyle tanımlanacak olan bu bölgeye cephe denilmektedir. Cephe sürekli olarak değişen bir geometriden ibarettir ve herhangi bir anda üçgen oluşturmaya müsait bütün kenarları içermektedir. Yeni bir üçgen oluşturmak için cepheden mevcut bir kenar seçilir ve üçgen eleman oluşturulur. Bu ya cephede mevcut olan diğer kenarları kullanarak veya yeni kenarlar üretilerek gerçekleştirilir. Yeni eleman oluşturulduktan sonra cephenin yapısı değişecektir ve bu işlem cephe boşalana kadar yani cephe içinde sadece üç kenar kalana kadar devam edecektir. Aşağıda bu işlem adım adım verilmiştir. i - sınırların tanımlanması ii - noktaların yerleştirilmesi ve başlangıç cephesinin oluşturulması iii - cepheden bir kenar seçilmesi iv - eleman kalite kriteri a - yeni bir nokta oluşturulması b - varolan bir noktanın kullanılması v - bu noktayı kullanarak yeni bir elemanın oluşturulması vi - cephe yapısının değişmesi vii - eğer cephe boş değilse iii'ye gidilmesi, boş ise işleme son verilmesi Bu metotla istenen ebatlarda elemanların oluşturulabilmesi için bazı geometrik parametreler kullanılmalıdır. Bunlar birbirine dik iki doğrultu ve bu doğrultulardaki kenar uzunluklarıdır (iki nokta arasındaki aralık). Böylece bir noktada iki doğrultudaki aralık değerleri eşitse oluşturulan üçgen eşkenar olacaktır. Bu parametreler akış alanındaki her düğüm noktası için aynı olmayacaktır. Akımın ani olarak değiştiği yerlerde aralık değerleri küçük, yani noktalar birbirine daha yakın, diğer yerlerde ise buna nazaran daha büyük olacaktır. Akış alam üzerinde bu parametrelerin kontrolü ise iki yöntemle yapılabilmektedir. Bunlardan birincisi kontrol ağı kullanmaktır. Kontrol ağı üçgen elemanlardan oluşur ve düğüm noktalarındaki aralık değerleri, yeni oluşturulacak olan ağın aralık değerlerinin hesaplanmasında kullanılacaktır. Kontrol ağı yeni oluşturulacak ağı tamamıyla kaplamalıdır ve sahip olacağı üçgen sayısı yeni oluşturulacak ağın üçgen sayısından çok daha az olur. Her ne kadar az elemandan oluşsa da kontrol ağım oluşturmak zaman alan bir iş olacaktır. Oluşturulacak ağın daha iyi kontrolü ancak kontrol ağındaki nokta sayısının arttırılmasıyla olacaktır, bu ise daha çok zaman isteyecektir. Ayrıca bu metot akışın özelHklerinin ani olarak değiştiği yerlerde (şok dalgası, sınır tabaka) nokta aralıklarının belirlenmesinde yeterli olmayabilecektir. Bu nedenle daha kolay ve etkili olan bir yöntem geliştirilmiştir. Bu metotta nokta aralıklarının kontrolü çözüm alanına konan kaynaklarla sağlanmaktadır. Bir noktadaki aralık değeri, o noktanın kaynağa olan uzaklığına bağlı olarak hesaplanmaktadır. Üç çeşit kaynak olabilmektedir; nokta, çizgi, üçgen. Çizgi ve üçgen kaynak ların her bir ucunda bir nokta kaynak bulunmaktadır. Bir nokta kaynağının beş parametresi vardır. Bunlar; kaynağın akış alanındaki konum koordinatları, kaynak dairesinin içindeki sabit olan aralık değeri, kaynak dairesinin yarıçapı ve kaynak fonksiyonunun sabiti. Eğer bir noktanın yeri kaynak dairesinin içinde ise o noktanın aralık değeri kaynağın aralık değerine eşit olacaktır. Eğer nokta kaynak dairesinin dışmda ise o noktadaki aralık kaynak fonksiyonuna ve sabitine göre hesaplanacaktır. Ağ aralıklarının sonucun doğruluğu üzerindeki etkisi büyük olacağından, akış alanı içindeki aralık değeri büyük önem taşımaktadır. Aralık ne kadar küçük olursa yani düğüm noktalan birbirine ne kadar yakın olursa sonucun hatası o derece az olacaktır. Diğer taraftan kullanılan bilgisayarın hızı ve belleği kullanılan nokta sayısını sınırlamaktadır. Bu nedenle noktaların akışın ani olarak değiştiği diğer yerlere nazaran daha sık olması gerekmektedir. Fakat bu bölgeler genelde çözüm yapmadan bilinememektedir. Dolayısıyla düğüm noktalarının sayılarım hataların büyük olduğu bölgelerde arttırmak gerekecektir. Bu gereklilik çözücünün ve ağ üreticinin beraber çalıştığı ağ adaptasyonu metodunu gündeme getirmiştir. Adaptasyonda ilk aşama ağın sıklaştırılacağı veya seyreltileceği yerlerin tespit edilmesi olacaktır. Bundan sonra ise yeni ağ elde edilebilecektir. Bu çalışmada ilk aşamayı gerçekleştiren ve ağ üreten program için bir kontrol ağı oluşturan bir program geliştirilmiştir. Program her bir düğüm noktası için bir 'gösterge' değeri hesaplar. Bir noktadaki göstergenin değeri o noktanın akış alanındaki yerine göre değişmektedir. Akış alanında akışkanın fiziksel özelliklerinin ani olarak değiştiği yerler, şok dalgalan ve durma noktalandır. Bu bölgeleri tespit etmek için akışkanın özelliklerinin değişimi incelenmiştir. Bunun için akışkanın özelliklerini içeren bir değişken Q, tanımlanmıştır. Q=a. p+ b.p+ c. u+ d. v+ e.M Burada p,p,u,v,M sırasıyla yoğunluk, basmç,yatay ve düşey hızlar ile mach sayısıdır. a,b,c,d,e ise bunlara karşılık gelen ağırlık faktörleridir. Göstergenin hesabı için çeşitli kriterler göz önünde bulundurulmuştur. Bunlar; \u.VQ\, \VQ\ ve \v.âv/Sy\ dir. Sonuncu kriter akışın toplam hızının çok düşük olduğu ve düşey hızın ani olarak değiştiği yerlerde kullanılmıştır (kanat profilinin hücum kenan). Bütün noktalar için gösterge değerleri hesaplanıp listelendiği zaman, bunların 0 ile 20,40 gibi iki sayı arasında değiştiği görülmüştür. Yeni aralık değeri eskisinin gösterge değerine bölünmesiyle elde edildiğinden gösterge değerlerinin kontrolü gerekmektedir. Bu nedenle gösterge değerleri ölçeklenmeli ve daha küçük bir sayı aralığına sıkıştınlmahdır. Bu çalışmada her problem için gösterge değerlerinin ölçeklendiği sınırlar dışandan programa verilmiştir. Çünkü her problemin akış özellikleri ve ağ yapısı aynı olmamaktadır, örnek olarak bir problemde gösterge değerleri 0.5 ile 2 arasına xı sıkıştırılmıştır. Gerçek gösterge değerleri bu aralığa bir transformasyon fonksiyonuyla yerleştirilmiştir. Fonksiyonun şekli yeni ağın kalitesini önemli ölçüde etkileyecektir. Bu şekilde her bir düğüm noktasının yeni gösterge değeri elde edildikten sonra eski ağın aralık değerleri kullanılarak yeni ağ elde edilir. Bunun ilk önce eski ağın aralık değerlerinin hesaplanması gerekmektedir. Bir düğüm noktasındaki aralık değeri o düğüm noktasında kesişen eleman kenarlarının uzunluklarının ortalaması olarak alınmıştır. Bu aralık değerlerinin gösterge değerlerine bölünmesiyle kontrol ağı elde edilmiş olur. Bu kontrol ağı kullanılarak da yeni ağ oluşturulur. Elde edilen ağ akışa daha uygun hale gelmiş yani adapte edilmiştir. Yapılan uygulamalarda adaptasyonun bir defada değil de birkaç aşamada yapılması halinde sonuçta elde edilen ağın daha uygun olduğu gözlenmiştir. Bu çalışmada adaptasyon tekniği dört problem üzerinde denenmiştir. Her bir durum için 3 veya 5 adaptasyon yapılmıştır. Gerek göstergenin hesaplanmasında gerekse ölçeklendirilmesinde farklı kriterler kullanılmıştır. Çünkü bir probleme uygun olan değişken değerlerinin diğerlerine uygun olmadığı gözlenmiştir. Bu çalışmada iki boyutlu yapısal olmayan ağlar üzerinde uygulanabilen bir adaptasyon tekniği geliştirilmiştir, ilk başta akış alam ile ilgili verileri içeren dosyalar hazırlandıktan ve bir başlangıç ağı hazırlandıktan sonra istenen sayıda adaptasyon kolay bir şekilde yapılabilmektedir.

The field of computational fluid dynamics (CFD) is concerned with the solution of non-linear partial differential equations by numerical means. The numerical solution of these governing partial differential equations has two steps: (1) Grid generation and (2) Numerical integration. The accuracy of a numerical solution depends on both the solution technique and the grid. Highly accurate solutions of flow fields can be obtained by increasing the number of grid points, however this results in long computation time. A highly accurate and efficient solution can be obtained, in principle, by increasing the number of grid points only at the non-smooth flow features. However, certain features of the solution, for example the location of the shock waves, are in general unknown at the time the grid is generated and before the solution is obtained. In these regions the solution will be varying rapidly, but the grid points will not be particularly close together and so the solution error will be large. There is therefore a requirement for grid generation techniques to be capable of increasing the number of points to adequately resolve the features of the flowfield. This has led to the area of adaptive grid generation in which the grid generator and flow solver interact. The first operation in adaptation is to locate all regions which require mesh refinement. This procedure returns an indicator for each grid point, which is termed 'sensor', whose value varies according to the position of the grid point. The method used to calculate the indicator is based on detecting features of the flowfield. These features have been detected using several different physical criterias. The second operation in adaptation is to generate the new grid. When the new grid is generated there is a need to transfer information from the old grid to the new grid. This is the process of interpolation from one grid to another. In this study a grid adaptation procedure and two computer codes for adaptation and interpolation have been developed. The procedure has been applied to some examples and it has been found that different methods give the best result for different cases.