Önburulmalı fonksiyonel olarak derecelendirilmiş çubukların statik ve dinamik davranışlarının incelenmesi

Abstract

Önburulmalı yapılar, kapalı bir düzlemsel eğriye belirli bir referans ekseni boyunca derinlik kazandırılması esnasında, bu kapalı düzlemsel eğrinin referans ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen üç boyutlu yapılardır. Genel olarak makina mühendisliğindeki birçok uygulamada karşılaşılabilen bu yapılar, özellikle yüksek sıcaklık, nem ve sürtünme gibi zorlu ortamlarda işletilen turbomakinalarda, havacılık elemanlarında ve delme makinelerinde önburulmalı geometrilerinden dolayı ana sistem bileşeni olarak tercih edilmekte ve bu sebeple bu zorlu ortamların etkilerine doğrudan maruz kalabilmektedir. Bu zorlu ortam etkilerine direnç gösterirken aynı zamanda dayanımın da korunması ihtiyacı doğrultusunda, tabakalar arası gerilmelerin yüksek olduğu geleneksel kompozit malzemelerin aksine sürekli bir malzeme dağılımına sahip olmalarından dolayı ve süperalaşımlara kıyasla da daha düşük maliyetli olmaları sebebiyle, genel olarak özellikleri konuma bağlı olarak değişen malzemeler (homojen olmayan malzemeler) grubu, özel olarak da bu grubun bir alt kümesi olarak değerlendirilebilen fonksiyonel olarak derecelendirilmiş malzemeler, zorlu ortamlarda bulunan önburulmalı yapıların dayanımlarını korurken ortam etkilerine de direnç gösterebilmelerine olanak sağlayan etkili bir malzeme grubu olarak öne çıkmaktadır. Özellikleri konuma bağlı olarak değişen malzemelerden imal edilmiş bu önburulmalı yapılar genellikle, işlevleri nedeniyle, referans eksenini içeren boyutun (yani uzunluğun), derinlik kazandırılan kapalı düzlemsel eğrinin (yani kesitin) karakteristik boyutuna oranı yüksek bir değer sahip olacak şekilde tasarlanmaktadır. Bu sebeple, özellikle konuma bağlı malzeme özelliklerinin ifade edilebilmesi için detaylı bir model geliştirme süreci ve hassas bir analiz için fazla sayıda eleman kullanımına ihtiyaç duyan sonlu elemanlar yöntemi gibi bir yöntemden elde edilen üç boyutlu sayısal modellerin aksine, bir boyutlu mekanik modellerin geliştirilmesi bu yapıların mekanik davranışlarının analizinde daha verimli bir modelleme yaklaşımı olarak değerlendirilebilmektedir. Bir boyutlu modeller çerçevesinde bu yapılarda, geometrik olarak çift simetrik ve homojen malzemeye sahip bir kesit için bile önburulma sebebiyle eğilme davranışı üç boyutlu olarak meydana gelir ve eksenel uzama ile burulma arasında bağlaşıklık oluşur. Önburulmalı geometriden kaynaklanan bu iki karakteristik bağlaşıklığın, malzeme özelliklerinin konuma bağlı olarak değişmesinden nasıl ve ne ölçüde etkileneceği bu yapıların gelişmiş tasarımları için makina mühendisleri tarafından yanıtlanması gereken önemli sorulardandır. Bu bağlamda, bu çalışma kapsamında, konuma bağlı olarak değişen özelliklere sahip malzemeden imal edilen önburulmalı yapıların eğilme-eğilme bağlaşık statik, eğilme-eğilme bağlaşık dinamik ve uzama-burulma bağlaşık statik davranışları üzerinde, toplam önburulma açısı, malzeme dağılımı ve gözeneklilik gibi parametrelerin etkilerinin bir boyutlu mekanik modeller çerçevesinde incelenmesi amaçlanmıştır. Ayrıca, literatürde homojen malzemeden imal edilen önburulmalı yapıların uzama-burulma bağlaşık dinamik davranışını incelemeye yönelik geliştirilen bir boyutlu mekanik modelden hareketle bir sonlu eleman formülasyonu da geliştirilmiştir. Bu doğrultuda, ilk olarak eğilme-eğilme bağlaşık ve uzama-burulma bağlaşık davranışlar, bu noktaya kadar ki geçmiş çalışmalara da değinilerek, temel olarak açıklanmıştır. Ayrıca malzeme özellikleri konuma bağlı olarak değişen önburulmalı çubukların uzama-burulma davranışlarının incelenebilmesi için öncelikle genel olarak malzeme özellikleri konuma bağlı olarak değişen önburulmasız çubukların burulmasına dair önbilgiye ihtiyaç duyulmaktadır. Bu bağlamda, malzeme özellikleri konuma bağlı olarak değişen önburulmasız çubukların burulmasına dair çalışmalar da özetlenmiştir. Ardından malzeme özelliklerinin kesit üzerinde değişmesi durumunda üç boyutlu eğilme davranışını, uzama-burulma bağlaşık davranışından ayırmak için kullanılması gereken malzeme dağılım profilinin niteliğinin belirlenmesini amaçlayan bir araştırma yapılmıştır. Yapılan incelemeler sonucunda, kesit kalınlığı boyunca kesit orta düzlemine göre simetrik malzeme dağılımına sahip önburulmalı çubuklarda, eğilme davranışı ile uzama-burulma bağlaşık davranışının birbirinden ayrı olarak incelenebileceği tespit edilmiştir. Eğilme-eğilme bağlaşık statik davranışa dair incelemeler özelinde, malzeme özelliklerinin kesit kalınlığı doğrultusunda simetrik ve üstel olarak değiştiği varsayılmıştır. Ayrıca kesitin gözenek içerdiği varsayılarak, bu gözenekliliğin kesit üzerinde homojen olarak ve kesit kalınlığı doğrultusunda simetrik olarak değiştiği iki ayrı senaryo ele alınmıştır. Bu kabuller altında, birinci mertebe kayma şekil değişimi varsayımı yapılarak önburulmalı çubuğun yönetici denklemleri ilk olarak sabit koordinat sistemine göre; sonrasında da eğri eksenli koordinat sistemine göre, minimum toplam potansiyel enerji prensibi kullanılarak elde edilmiştir. Her iki durumda da yönetici denklemler, birinci mertebeden diferansiyel denklem sistemi olarak ifade edilmiştir ve başlangıç değerleri yöntemi kullanılarak çözülmüştür. Bu bağlamda, sabit koordinat sistemine göre geliştirilen formülasyonda katsayılar matrisinin elemanlarının konuma bağlı olarak değişen nitelikte olması sebebiyle, asal matris Volterra'nın çarpımsal integrali kullanılarak yaklaşık olarak hesaplanmıştır. Öte yandan, eğri eksenli koordinat sistemine göre geliştirilen formülasyonda ise katsayılar matrisinin sabitlerden oluşması sebebiyle asal matris, matris eksponansiyeli kullanılarak kesin analitik olarak hesaplanmıştır. Kesin analitik çözümü elde etmeye olarak veren ikinci formülasyon sayesinde, uzay-sabit düşey uç kuvveti ve cisim-sabit üniform yayılı kuvvet yükleme senaryoları için tarafsız eksenin ötelenmesine ait kesin analitik ifadeler sunulmuştur. Ayrıca bir boyutlu mekanik model yaklaşımının uygulanabilirlik sınırları tespit edilerek, her iki formülasyon yaklaşımından elde edilen sonuçların birbiriyle olan uyumu ve sonlu eleman analizinden elde edilen sonuçlarla tutarlılığı gösterilmiştir. Son olarak ise toplam önburulma açısının, hacim oranı indisinin, gözeneklilik oranının ve gözeneklilik dağılımının uç tarafsız eksen ötelenmeleri üzerindeki etkileri irdelenmiştir. Eğilme-eğilme bağlaşık dinamik davranışa dair incelemeler özelinde, önburumalı çubuğun malzeme özelliklerinin çubuk ekseni doğrultusunda eksponansiyel olarak değiştiği varsayılmıştır. Birinci mertebe kayma şekil değişimi varsayımı yapılarak önburulmalı çubuğun serbest titreşimlerine ait yönetici denklemler, sabit koordinat sistemine göre Hamilton prensibi kullanılarak formüle edilmiştir ve birinci mertebeden diferansiyel denklem sistemi olarak ifade edilmiştir. Burada, hem sabit koordinat sistemine göre formülasyon neticesinde önburulmadan dolayı hem de çubuğun malzeme özelliklerinin çubuk ekseninin bir fonksiyonu olarak değişmesinden dolayı, katsayılar matrisi konuma bağlı olarak değişmektedir. Bu sebeple çözüm, harmonik diferansiyel kuadratür yöntemi kullanılarak sayısal olarak elde edilmiştir. Bir boyutlu mekanik modelden elde edilen sonuçların, sonlu eleman analizinden elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmasının ve bir boyutlu mekanik modelin uygulanabilirlik sınırlarının belirlenmesinin ardından, ilk dört eğilme-eğilme bağlaşık moduna dair mod şekilleri sunulmuştur. Ardından, malzeme parametresinin ilk dört eğilme-eğilme bağlaşık doğal frekansı üzerindeki etkisi incelenmiştir. Uzama-burulma bağlaşık statik davranışa dair incelemeler özelinde, malzeme özelliklerinin önburulmalı çubuk kesiti üzerinde kalınlık doğrultusunda simetrik ve parabolik olarak değiştiği varsayılmıştır. Poisson oranı sabit olarak alınmıştır. Uzama-burulma bağlaşıklığını modellemek için ise Saint-Venant burulma kabulü çerçevesinde çarpılma fonksiyonu temelli bir boyutlu mekanik model kullanılmıştır. Diferansiyel denklemler minimum toplam potansiyel enerji prensibi kullanılarak elde edilmiştir. Çarpılma-kaynaklı rijitlik katsayıları, çarpılma fonksiyonu yerine Prandtl gerilme fonksiyonu kullanılarak ifade edilmiştir. Böylece çarpılma-kaynaklı rijitlik katsayılarını hesaplamak için, malzeme özelliklerinin kalınlık boyunca değişmesi durumunda çözülmesi daha zor olan Neumann tipi sınır değer problemi yerine, Dirichlet tipi sınır değer probleminin kullanılması sağlanmıştır. Çarpılma-kaynaklı rijitlik katsayılarının hesaplanmasından sorumlu bilgisayar kodunun sınanması amacıyla gerçekleştirilen bir dizi doğrulama çalışmasının ardından, çalışma kapsamında kullanılan yaklaşım, literatürdeki çoklu malzemeli membran analojisi ile karşılaştırılmıştır. Ardından, uç çekme kuvveti ve uç burulma momenti yükleme senaryoları için, bir boyutlu mekanik modelin, uygulanabilirlik sınırları içerisinde, sonlu eleman analizinden elde edilen sonuçlarla uyumlu olan sonuçlar verdiği gösterilmiştir. Son olarak, toplam önburulma açısının ve malzeme parametresinin, uç burulma açısı ve uç tarafsız eksen ötelenmesi üzerindeki etkisi sırasıyla bu iki yükleme senaryosu için araştırılmıştır. Uzama-burulma bağlaşık dinamik davranış özelinde, literatürde homojen malzemeden imal edilen önburulmalı çubuklar için geliştirilen uniform olmayan burulma kabulü temelli bir boyutlu mekanik modeli temel alarak bir boyutlu bir sonlu eleman modeli geliştirilmiştir. İnterpolasyon fonksiyonlarına yönelik kısa bir değerlendirmeden sonra, geliştirilen sonlu eleman modeline dair yakınsama çalışması farklı geometrik parametrelere sahip önburulmalı çubuklar için yapılmıştır. Ardından, geliştirilen sonlu eleman modelinden elde edilen ilk dört uzama-burulma bağlaşık moduna ait doğal frekanslar, üç boyutlu sonlu eleman modelinden elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır ve ilgili mod şekilleri sunulmuştur. Yukarıda özetlenen incelemeler doğrultusunda, özellikleri konuma bağlı olarak değişen malzemeden imal edilmiş ve gerekli uygulanabilirlik sınırları içerisinde tasarlanmış önburulmalı yapıların, eğilme-eğilme bağlaşık statik, eğilme-eğilme bağlaşık dinamik ve uzama-burulma bağlaşık statik davranışları üzerinde, toplam önburulma açısı, malzeme dağılımı ve gözeneklilik gibi parametrelerin etkilerinin, bir boyutlu mekanik modeller kullanılarak incelenebileceği belirtilmiştir. Ayrıca, literatürde daha önceden sunulmuş olan bir boyutlu mekanik modelden hareketle, homojen malzemeden imal edilmiş önburulmalı yapıların uzama-burulma bağlaşık dinamik davranışının bir boyutlu sonlu eleman formülasyonu kullanılarak incelenebileceği belirtilmiştir.