Kesirli Mertebeden Kontrolörler Ve Uygulamaları

Abstract

Bu çalışmada öncelikle literatürde sıklıkla kullanılan Riemann-Liouville ve Grünwald-Letnikov kesirli mertebeden türev ve integral tanımları verilmiştir. Bu türevlerin lineer olma ve Leibniz kuralı gibi bazı özellikleri ele alınmış ve kesirli mertebeden türevler ile tam sayılı mertebeden türevlerin ilişkilerine değinilmiştir. Ayrıca kesirli mertebeden türevlerin Laplace dönüşümlerini elde etme yöntemleri üzerinde durulmuş ve Riemann-Liouville kesirli mertebeden türev tanımının Laplace dönüşümünde ortaya çıkan sorunlar belirlenmiş ve bu sorunları gideren literatürde önerilmiş Caputo kesirli mertebeden türev tanımı verilmiştir. Daha sonra kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin dinamik sistemleri modellemede çok daha etkili olduğu gösterilmiştir. Ayrıca kesirli mertebeden türevlerin yaklaşıklık ifadelerinin sürekli ve ayrık zamanda elde edilmesine yönelik yöntemler verilmiş ve bu yöntemlerin özellikleri incelenmiştir. Son olarak da, bu tez çalışmasında kesirli mertebeden kontrolör tasarım yöntemlerine ve kesirli mertebeden kontrolörlerin geleneksel kontrolörler ile karşılaştırılmasına yer verilmiştir. Bu kapsamda, kesirli mertebeden PID tanıtılmış ve frekans tanım bölgesinde kesirli mertebeden PID tasarımı gerçekleştirilmiştir. Bir araç süspansiyon sisteminin ve ters sarkaç sisteminin kontrolü, kazanç ve mertebe katsayıları nümerik arama algoritmaları ile belirlenen kesirli mertebeden PID kontrolörleri ile gerçekleştirilmiştir. Ayrıca bir DC motorun yörünge izleme kontrolünün, kesirli mertebeden bir PD kontrolörü ile yapıldığı deneysel bir çalışma gerçekleştirilmiştir.

In this thesis firstly Riemann-Liouville and Grünwald-Letnikov fractional order derivative definitions which are frequently used in literature is given. After that fractional order derivatives’ some properties which are linearity and Leibniz rule are handled and the relationship between the fractional order derivatives and integer order derivatives is discussed. Furthermore, Laplace transforms of fractional order derivatives are obtained. Problems that may be occur in obtaining the Laplace transform of the Riemann Liouville fractional order derivatives are determined and Caputo fractional order derivative definition that solves these problems is given. After that it is shown that fractional order differential equations are more efficient than the integer order differential equations in system modelling. In addition to this continuous and discrete time approximation methods for the fractional order derivatives are given and the properties of these methods are investigated. Finally, in this thesis fractional order controller design techniques and a comparison between the performances of the traditional and fractional order controllers are given. Within this context, fractional order PID controllers are introduced and a fractional order PID controller is designed in frequency domain. Fractional order PID controllers; in which numerical search algorithms are used to find the gain, differentiation and integration orders coefficients are applied to control the vehicle suspension system and an inverted pendulum. Lastly, an experimental study is made by using a fractional order PD controller, in order to realize the reference tracking control of a DC motor.