Isı Transferi Probleminin Grafik Çözümü

Abstract

Zamana bağlı çok boyutlu ısı aktarımı probleminin geniş uygulama alanları bulunmakta olup, kaynaklarda söz konusu problemin analitik ve sayısal çözüm yöntemlerine erişilebilmektedir. Bununla birlikte, çözüm yöntemlerinin uygulanması için türevli denklemler ve sayısal yöntemler ile ilgili temel bilgilerin çok iyi bilinmesi gerekmektedir. Bu konulara lisans seviyesinde yeterince yoğunlaşılamadığından dolayı, genelde ara çözüm olarak basit eşitliklerin kullanılması ya da grafik okuma (Heisler grafikleri) ile zamana bağlı ısı aktarımı problemlerinin çözümü yapılmaktadır. Bu çalışmada zamana bağlı ısı aktarımı probleminin çözümü, değişkenlerine ayırma yöntemi ile farklı geometrilerde ve boyutlarda irdelenmiştir. Söz konusu yöntem, dört temel geometri (levha, yarı sonsuz levha, silindir, küre) için kullanılmış, üç tip sınır koşulu için yüksek hassasiyetle sonuçlar üreten fonksiyonlar sayısal analiz programında kodlanmıştır. Literatürde takip edilen ısı aktarımı dersi kitaplarında önerilen ?grafik çözüm? (Heisler ve Gröber grafikleri) tartışılarak, hataya açık noktaların altı çizilmiştir. Literatürde sunulan çözüm yöntemlerine alternatif olabilecek yöntemler veya uygulamaların geliştirilmesi hedeflenmiştir. Bu amaçla, sayısal analiz programı (MATLAB) içerisinde tanımlanan, fonksiyonlar kullanılarak 1947 yılında Heisler tarafından seri açılımının sadece ilk terimi alınarak hesaplanmış olan Heisler grafiklerini daha doğru bir şekilde, yüksek hassasiyetle tekrar oluşturacak programlar geliştirilmiştir. Yapılan çalışmaya ek olarak, geliştirilen fonksiyonlarla hesaplanan sonuçların, literatürde yaygın kullanılan ders kitaplarında bulunan örnek soru çözümlerinin sonuçları ile bir karşılaştırılması verilmiştir. Bu karşılaştırmalarda, grafik okuma yöntemi ile yapılan çözümlerde %20'lere varan hatalar yapıldığı görülmüştür. Literatürde, analitik hesaplamaları daha kolay bir şekilde yapmayı hedefleyen çalışmalar taranmış ve daha doğru sonuçlar veren bir eğri yaklaştırılması üzerinde çalışılmıştır. olacak bir hassasiyetle eğri yaklaştırılması yapılmış, her bir geometri için katsayılar hesaplanmıştır. Sayısal analiz programında geliştirilen bu fonksiyonlara erişimi ve bu fonksiyonların kullanımını arttırmak için, Web arayüzü tasarlanmıştır. PHP 5.1 destekli, Apache 2.2 HTTPD sunucusu üzerinde MATLAB Web Server çalıştırarak hesaplar çevrimiçi ulaşılabilir hale getirilmiştir. Heisler grafiklerinden direkt okuma yapabilecek bir Web sayfası da hazırlanmış, grafik okumalarında yapılan hataları gösterebilmek için, grafikten okunan değerlerin gerçek değerlerle karşılaştırılması yapılmıştır. Aynı karşılaştırmada yaklaştırılan eğrinin sonuçları da verilmiş, önerilmiş olan, kolay hesaplanabilir eğrinin sonuçlarının doğruluğu kullanıcıya sunulmuştur.

Time-dependent multi dimensional heat transfer problem has many applications in almost every science. In literature, both analytical and numerical solutions to the problem can be found. Moreover, in order to apply these solution methods, fundamentals of differential equations and numerical methods must be well known. These topics are not covered deep enough in undergraduate level of education, so that, alternative solutions such as reading values from charts (Heisler charts) are introduced to achieve the solutions of the time-dependent heat transfer problems. In this study, solution to the problem of transient heat transfer is explicated. Solutions of the heat transfer equation are analyzed with respect to different geometries. Separation of variables method out of other methods for solving heat transfer problem is developed for four main geometries (slab, semi-infinite slab, cylinder, and sphere) and for three of the boundary conditions; functions are coded in numerical analysis tool which will solve problems with high precision. Commonness of the usage of the Heisler and Gröber charts in the literature is mentioned. Main problems in using graphic solution which are being followed by almost every textbook of heat transfer are discussed and error causing points are highlighted. Alternative methods or applications to the ones in the literature are being researched by this study. Functions which analytically solve heat equation are developed in numerical analysis tool (MATLAB). Furthermore, programs that will more accurately regenerate the charts of Heisler, with high-precision, which was drawn in 1947 with only one-term of the series expansion, were developed. In addition to the study, comparison of the results of the functions developed in numerical analysis tool and the results of the examples of the common textbooks of heat transfer in literature is given. In this comparison it was seen that solutions with chart reading have errors up to 20%. Studies intending to overcome the difficulties of the calculating analytical solutions of the heat equation are scanned in the literature and a curve fitting for a better representative function is searched. Curves for all three of the geometries are fit with R2, which is no less than 0.9998. In order to improve the access to the functions which are developed in numerical analysis tool and to increase the usage, a small web site is coded. By running MATLAB Web Server on an Apache 2.1 HTTPD server with PHP 5.1, results of this study are made available online. A Web module for reading accurate data from Heisler charts were coded and values extracted by that tool are compared to the real values in order to express the errors made during chart reading. On the same comparison, results of the fitted curve is given, so that, user could interactively see and check the accuracy of the fit.