Çift tümleyen analog filtrelerin akım taşıyıcılar ile tasarlanması

Abstract

Belli tipteki analog filtre fonksiyonlarının iki reel tüm-geçiren filtrenin toplamı veya farkı biçiminde ifade edilmesi ve bunun sonucunda oluşan modüler yapının da düşük yuvarlatma gürültüsü gücü ve düşük katsayı duyarlılığı gibi önemli avantajlar sağlaması, yeni bir konudur. Sahip oldukları özellikler ile literatürde çift tümleyen filtreler olarak tanımlanan analog filtre ikilileri, 1980 'li yıllarda, iki tüm-geçiren filtrenin toplamı ve farkı biçiminde ifade edilmiştir. Bu filtreler, birinin band durduran kısmının diğerinin band geçiren kısmına karşılık gelmesi veya tam tersi nedeniyle tümleyen ikili olarak tanımlanmıştır. Çift tümleyen filtreler, özellikle ses cihazları ile çeşitli işaret işleme sistemlerinde kullanılmaktadırlar. Bu konuda, ayrı bir tez konusu olarak incelenebilecek son gelişmeler, direkt olarak z-domeninde verilen yeter ve gerek koşulları sağlayan bir sınıfa ait sayısal filtre fonksiyonlarının da, iki reel tüm-geçiren filtrenin toplamı biçiminde gerçeklenebileceğinin gösterilmesidir. İstenilen koşullan sağlayan bu sayısal filtrelerin oluşturduğu sınıfın, çift tümleyen filtreler olarak tanımlanan analog filtrelerden "bilineer dönüşüm" yöntemiyle elde edilen sayısal filtrelerin oluşturduğu sınıftan daha geniş olduğu da belirlenmiştir. Bu tezde, iki reel tüm-geçiren filtrenin toplamı veya farkı ile ifade edilen analog filtre fonksiyonları incelenerek, reel tüm-geçiren filtrelerin bulunuşu verilmiştir. Ayrıca, reel tüm-geçiren filtreler ile çift tümleyen analog filtre ikililerine ilişkin işaret-akış grafları çıkarılmış ve bu filtreleri aktif bir devre elemanı ile simüle eden devreler tasarlanmıştır. Aktif devre elemanı olarak, daha esnek ve çok yönlü olması nedeniyle son yıllarda OPAMP 'lara olan üstünlükleri ile çeşitli uygulamalarda önemleri iyice vurgulanan ve CCII olarak simgelenen 4-uçlu ( üç kapılı) ikinci kuşak akım taşıyıcılar kullanılmıştır.

On the Design of CCII structurally Doubly Complementary Filters The certain types of analog filters satisfying simultaneously the all-pass complementary and the power complementary properties can be realized as a parallel connection of two real all-pass filters. This method has significant advantages, such as modular structure, low roundoff noise power and reasonably low coefficient sensitivity. The class of analog filters called Doubly Complementary Filters has the necessary and sufficient properties and can be implementable as a sum and difference of real all-pass filters. Doubly complementary filters are obtained in pairs and are a type of the class of crossover filter pair, which separate the input signal into two or more channels according to its frequency contents. These filters find applications in audio crossover systems and in various signal processing systems, where different frequency bands are to be processed separately. There are two types of doubly complementary filter pair ; the lowpass-highpass complementary filter pair and the bandpass- bandstop complementary filter pair. The first mentioned property of a doubly complementary filter pair, denoted, H(s) and G(s) respectively, is that, they be all-pass complementary, that is H(s) + G(s) = A(s) (1) where A(s) is an stable all-pass function of unity magnitude and is characterized in the s-domain by A(s) = ', where DA(s) is a Hurwitz Da(s) polynomial with real coefficients.The second property is that, they be power complementary, that is H(s)H(-s) + G(s)G(-s) = 1 (2) The numerators of doubly complementary pair, H(s) and G(s), satisfying the Equations (1) and (2) are even and odd polynomials, respectively. In addition, the denominators are the same and if the order of these denominators of the pair is odd, then it is obtained a lowpass-highpass filter pair or if the order is even, then it is obtained a bandpass-bandstop filter pair. Furthermore, using the lowpass-bandpass transformation, the bandpass-bandstop type complementary pairs may be obtained. By the way, since the magnitude of all-pass filters, A(s) and B(s), is unity, from Equalities (1) and (2), it can be easily found H(s) + G(s) = A(s) H(s)-G(s) = B(s) K) where... Da(-s)... ^"aw (4a) 5W=frf (4b» Db{s) are stable all-pass functions. The denominators of two all-pass functions have no common factors and the n'th order denominator function of doubly complementary pair, D(s), is D(s) = Da(s)Db(s) (5) Solving for H(s) and G(s) results in H (s) =^[A(s) + B(s)] = S(s) (6.a) G(s) =^[A(s)-B(s)] = P(s) (6.b) By the way, A(s) is a na'th order all-pass function and B(s) is a nb'th real order all-pass function. So a lowpass-highpass complementary pair, denoted, H(s) and G(s) respectively, requires na-rib = ±\ (7. a) Vlland a bandpass-bandstop pair, denoted, P(s) and S(s) respectively, requires m-m = ±2 (7.b) It is clear that the denominators of the pair must be an odd integer, if a lowpass-highpass complementary pair is desired and the denominators of the pair must be an even integer, i.e. they must be n=2t, where t is an odd integer, if a bandpass-bandstop complementary pair is desired. One commonly used doubly complementary filters family that satisfies Equations (1) and (2) is the odd-order lowpass Butterworth, Chebyshev, inverse Chebyshev and Elliptic filters. The method of finding all-pass filters is same for both lowpass and bandstop filters and same for both highpass and bandpass filters. The all-pass filters can be easily found from the given transfer function H(s) or G(s), which belong to the doubly complementary filter family. Getting two real all-pass functions is as follows : Substituting Equation (4) into Equation (6), it is defined BO^^^-^'awi (8.a) D(s) 2Da[s)Db{$ k D[s) 2Da(s)Db[s) The analytic continuation of the loss function associated with H(s) or with G(s) is given by,*, = 1-C2(s) or, * =1-C2(s) (9) H(s)H(-s) v ; G(s)G(-s) w v ' where C(s) is the characteristic function, which attains the form M(s) C(s) = - )-(?, for lowpass and bandstop functions (1 0.a) N(s) N(s) C(s) = - V\. f°r highpass and bandpass functions (1 0.b) M[s) The zeros of D(s)*D(-s) are obtained by solving the Equation (9).It is found that the zeros of DA(s)" Equation DB (-s) are obtained by solving the C(5) = l (11) Similarly, the zeros of DA(-s)* DB (s) are obtained by solving the Equation C(s) = -l (12) Finally, by selecting the left-half plane roots of Equation (11) for DA(s) and the left-half plane roots of Equation (12) for DB(s), we obtain A(s) and B(s) real all-pass functions. The unknown complementary pair, which is complementary to the known function, is obtained from Equation (6.a) or (6.b) by using real all-pass functions. After finding the all-pass functions, it can be examined the signal-flow graphs and the simulation circuits of the modular structure and of the real all-pass filters with an active device. These graphs and simulation circuits have been given in the thesis and as the active element, the second generation current conveyor (CCII) has been used, because in recent years, there has been an increasing interest in the use of current conveyors as building blocks in analogue systems. The current conveyor concept has been introduced by Smith and Sedra in 1968. The circuit is a grounded three-port active device that can be described using standard notation by a matrix relation as follows: (13) where x,y are two input ports and z is the output port. The first generation (CCI) is obtained for a=1 and the second generation (CCII) for a=0. The sign of b=±1, determines the polarity of current transfer (x to z). So, with b positive, a noninverting current conveyor is obtained, denoted, CCI+ or CCII+, in which ix and i2 are of the same sign and the inverting current conveyor is obtained, denoted, CCI- or CCII-, in which ix and iz are of opposite sign. The published literature provides CCII realizations for almost all known active network building blocks. The basic building blocks used in the simulation circuits in the thesis are finite gain amplifiers, summing point amplifiers and integrators. But for these circuits, it has been profit fromsignal flow graphs as mentioned before and for giving these signal-flow graphs, an another form of real all-pass functions was used. It is known that, the general form of the denominator of an all-pass function, for example for A(s), can be expressed in the form Da(s) = EvDa(s) + OdDA(s) (1 4) where Ev DA (s) denotes the even and Od DA (s) the odd part of DA (s). Then by invoking Equation (14) in Equation (4.a) and manipulating the result, one can obtain A(s) = K(l-^j^) (15) In this equation, Y(s) is a realizable admittance function and K=1, if the order of DA (s) is even, K=-1, if this order is odd. Since DA (s) is Hurwitz, then Y(s) is given by Y(s) = OdDA(s),n~ odd EvDa(s) v ',n = even OdDA(s) and can be expressed as continued fractions in capacitor values Y(s) = Cxs + - (1 7) C2S+ C35 + -.+CnS The simulation circuits and their signal-flow graphs have been shown in the thesis using the form given in Equation (15). Furthermore, these circuits were simulated using PSpice program. It was supposed that the second generation current conveyors were ideal. As a result, the theoretical background of analog filters being implementable as a sum of two all-pass functions with real coefficients and their simulation circuits with CCII's have been given.BÖLÜM 1 GİRİŞ Yeni bir konu olan belli tipten analog ve sayısal filtrelerin iki reel tüm-geçiren filtrenin toplamı veya farkı biçiminde ifade edilmesi sonucunda oluşan modüler yapı da, düşük yuvarlatma gürültüsü gücü (low roundoff noise power) ve oldukça düşük katsayı duyarlılığı (low cofficient sensitivity) gibi önemli avantajlara sahiptir. İlk kez, 1970 'li yıllarda, lattice yapısındaki dalga sayısal filtrelerin (wave digital lattice filters) literatürde yerini almasıyla, bu yapıya ilişkin incelemelere başlanmıştır. 1980'li yıllara gelindiğinde, analog çaprazlama (crossover) filtrelerin bir sınıfı olan çift tümleyen filtrelerin, sahip oldukları özellikler ile iki reel tüm-geçiren filtre yapısında ifade edilebileceği gösterilmiş ve temeli lattice yapısındaki dalga filtrelerinin prensibine dayandırılmıştır. Bu konudaki son gelişmeler, iki tüm-geçiren filtre toplamı veya farkı ile verilebilen çift tümleyen sayısal filtrelerin dışındaki filtrelerin, bu yapıyla ifade edilebilmeleri için sağlamaları gereken yeter ve gerek koşulların belirlenmesidir. Ayrıca, koşulları sağlayan sayısal filtrelerin oluşturduğu sınıfın, çift tümleyen analog filtrelerden "bilineer dönüşüm" yöntemiyle elde edilen Butterworth, Chebyshev, ters Chebyshev ve Eliptik filtrelerin oluşturduğu sınıftan daha geniş olduğu gösterilmiştir. Fakat bu tezin konusu, bahsedilen modüler yapıda gerçeklenebilen analog filtreler olduğundan sayısal filtreler üzerinde durulmamıştır.Tezde, iki reel tüm-geçiren filtre fonksiyonunun bulunması ile toplamları ve farklarıyla oluşturdukları modüler yapıdaki çift tümleyen filtre fonksiyonlarına ait niteliklerin belirlenmesi, ikinci bölümde incelenmiştir. Üçüncü bölümde, genel olarak akım taşıyıcılar ile dördüncü bölümde tasarlanan devrelerde aktif devre elemanı olarak kullanılan ikinci kuşak akım taşıyıcılardan bahsedilerek, temel devreleri tanıtılmıştır. Tezin dördüncü bölümünde, iki reel tüm-geçiren filtre fonksiyonunun ve oluşan modüler yapıdaki çift tümleyen filtrelerin işaret-akış grafları verilerek, bu filtreleri simüle eden ikinci kuşak akım taşıyıcılı devrelerin tasarımları yapılmıştır. Son bölüm olan beşinci bölümde ise, tez konusunun daha iyi anlaşılması amacıyla bir uygulama yapılmış, seçilen alçak geçiren-yüksek geçiren tipteki çift tümleyen analog filtre ikilisi için tüm-geçiren filtreler belirlenmiş, ikinci kuşak akım taşıyıcılı devre tasarımları verilmiş ve bu devrelerin akım taşıyıcılar ideal kabul edilerek PSpice programı ile genlik ve faz karakteristikleri çıkarılmıştır.