Discrete vortex method simulation of karman street-edge interaction

Abstract

Akışkanlarla etkileşimde bulunan elastik yapılar çeşitli nedenlerden dolayı titreşirler. Eğer cisme yaklaşan akışkan, salınım halinde olan uyumlu, birbirine benzeyen kararsızlıklar (örneğin girdap tipi kararsızlıklar) veya türbülanslı bir özellik taşıyorsa, etkileşim sonucunda cisimler birbirini izleyen sınırlı veya sınırsız davranışlar gösterirler. Bu çeşit etkileşimler türbin ve helikopter palalarının ve kanatların hücum kenarlarında, yüksek binalar etrafında, petrol platformlarının ayaklarında, ısı değiştirici tüp demetlerinde vs. görülür. Akışkan cisim etkileşimi sonucu meydana gelen dinamik yüklenme ve gürültü, ileri derecede hasarlara neden olabilir. Bu etki leşimin kontrol altında tutulması aktif ve pasif kontrol yöntemleri olarak iki şekilde yapılabilir. Cismin belirli bir frekans ve genlikle sallanmaya zorlanması veya cisimden akışkana akışkan beslenmesi aktif kontrola örnek, iz bölgesinin akım altı bölgesine bir cisim koyarak kontrol edilmesi ise pasif kontrola örnek olarak gösterilebilir. Bu çalışmada yukarı akım bölgesinde küt bir cisimden kopan ve doğal kararsızlığı sonucu Karman Caddesini oluşturan girdapları taşıyan kayma tabakalı akımın aşağı akım bölgesinde bulunan bir cisimle etkileşiminin incelenmesi amaçlanmış ve bu yönde sayısal bir yöntem geliştirilmiştir. Zamana bağlı kayma tabakalı akımların simülasyonu için çeşitli sayısal metod-lar geliştirilmiştir. Bu metodlarla deneysel çalışmalardan daha ucuz ve etkin sonuç almak mümkün olabilmektedir. Ancak girdaphlığı yoğun, zamana bağlı kayma tabakalı akışlar için doğru ve pratik bir sayısal model henüz mevcut değildir. Navier-Stokes denklemlerinin çözümü için çeşitli sonlu farklar ve sonlu elemanlar metodu bulunsa da bunlar yüksek Reynolds sayılarında bilgisayar zamanı açısından pahalı olmak tadırlar. Diğer yandan girdap yöntemleri yüksek Reynolds sayılı, yoğun girdaplı ve zamana bağlı akışlarda alternatif teşkil etmektedir. Bu tezde çeşitli girdap yöntemleri arasından Ayrık Girdap Yöntemi (AGY) çözüm algoritması olarak kullanılmıştır. AGY, akım içinde belli izole bölgelerde sıkışmış girdaplılık alanlarının bulunduğu akımlar için kayma tabakasının potansiyel akış gösterimidir. Yüksek Reynolds sayılarında, küt cisimden kaynaklanan kayma tabakası oldukça ince olup girdaplılık bu kayma tabakasının kendi üzerine kıvrılmış bölgelerinde yoğunlaşmış durumda bulunur. AGY nin temeli küt cisimden kopan kayma tabakasının ayrık girdap tanecikleri ile modellenmesinden ibarettir. Her bir girdabın hızı, cismin etrafındaki potan siyel akımın üzerine diğer girdapların incelenen girdap üzerine etkisi de alınarak Biot Savart indükleme yasası uyarınca hesaplanır. Ayrık Girdap Yöntemi ilk defa Rosenhead [45] tarafından bir kayma tabakası ile ayrılmış ve birbirlerine zıt yönde paralel hızlara sahip bitişik iki akışın kararsızlığının incelenmesinde kullanıldı. Rosenhead kayma tabakasının zaman içinde kendi üzerine kıvrıldığım tespit etti. Daha sonradan değişik araştırmacılar bu problemi, kayma tabakasını modellemek için kullanılan girdap sayışım ve zaman adımını değiştirerek tekrar incelediler. AGY'nin iki boyutlu küt cisimlerin arkasındaki iz bölgesinin modellenmesinde kullanılması ilk defa Clements [107] tarafından yapıldı. Firar kenarı keskin köşelerden oluşan cisimlerin en büyük avantajı akımın cismin neresinden ayrılacağının önceden bilinmesidir. Eğri yüzeyli cisimlerde ise akımın nereden ayrılacağının saptanması çok zordur. Bunun için araştırıcılar çeşitli modeller geliştirmişlerdir. Sarpkaya[44] bu modelleri makalesinde özetlemiştir. Ard iz bölgesini oluşturan girdap bölgelerinin cisimden kaynaklanma mekanizması Kutta şartı ile sağlanmaktadır. Bu tezde cisimden kaynaklanan kayma tabakasını modelleyen girdapların çevrileri nv - n Vs İAÎ formülü kullanılarak hesaplanmaktadır. Burada us alt/üst ayrılma noktasının biraz altında/üstündeki bir noktada hesaplanan hız değeridir. At ise programda kullanılan boyutsuz zaman adımı olup, bütün hesaplamalarda At = 0.1 olarak alınmıştır. Her bir girdabın çevrisi zaman içinde sabit kalmaktadır. Bazı çalışmalarda viskozite etkisini modellemek üzere çevri zaman içinde azaltılmaktadır. Bu çalışmada Kelvin yasasını ihlal eden bu çeşit bir model kullanılmamıştır. Tezde yapılan bütün çalışmalarda akış başlangıçta girdapsız olup impülsif olarak başlatılmaktadır. Ayrık Girdap Yönteminde başlangıçtan itibaren akışa kısa bir süre asimetri uygulandıktan sonra asimetri kaldırılır ve akışın serbest olarak gelişmesine izin verilir. Akım daha sonradan kendini toplayarak von Karman caddesi oluşturur. Çok ileri zaman adımlarındaki akımın başlangıçtaki asimetrinin uygulanma şeklinden bağımsız olduğu saptanmıştır. Akım alam içindeki bir cismin akım alanına etkisi, viskoz ve viskoz olmayan akım modellerine göre farklı olmaktadır. Bu çalışmada aşağı akım bölgesinde bulunan cisim sınır tabakasının kararlı ve pasif olduğu varsayılmıştır. Bizim problemimizde potansiyel akış modeli uygulandığı için sınır şartı olarak normal hızın sıfır olma şartı kullanılmaktadır. Bu şartın sağlanması değişik şekillerde yapılabilir. Cisim yüzeyi panellere ayrılıp kontrol noktalarında normal hız sıfır yapılabilir veya cisim daire veya yarı sonsuz düzleme dönüştürülüp her bir girdabın imajı gözönüne alınabilir, ikinci yöntem daha iyi sonuç verdiği için tezde bu yöntem kullanılmıştır. Firar kenarı-hücum kenarı kombinezonu olan bölgemizde potansiyel akım, dönüşmüş düzlemde uniform akım ile duble'nin meydana getirdiği akışa karşı gelir. Fiziksel düzlemdeki akımın içindeki bir noktanın hızı, o noktanın hesaplama düz- lemindeki (dönüşmüş düzlem) karşılığı olan noktadaki hızı bir jakobyene ( J = -.) bölerek bulunabilir. Sonuç olarak fiziksel düzlemdeki bir noktanın hızı dzk _ dW_ _ I n J_yv Tum i_sp _£um_ dt ~ dzk ~ | (Afc)2 2x£k \k - Xum 27r^Afc - K m=l i N r i N r t_V^ i im V^ lm 2-k £-f Xk - Xım 2n ^ Afc - Xım m^k m=l m=l. dzjfc irfc g"(Afe) denklemi ile bulunabilir. Burada parantezin içindeki birinci terim uniform akıma, ikinci terim dubleye, diğer terimler ise akım alanı içindeki diğer girdapların, hızı hesaplanan girdap üzerine etkisine karşı gelir. Parantezin dışındaki terim ise Routh kuralından kaynaklanan terimdir. Eğer akım içinde hızı hesaplanan nokta, bir girdabın bulunduğu nokta ise, hesaplama düzleminden fiziksel düzleme dönüşüm yaparken, fiziksel düzlemde girdaptan kaynaklanan kompleks potansiyelin, diğer düzlemde aynı şiddetteki girdaptan kaynaklanan kompleks potansiyel ile aynı olması için (Konfor- mal dönüşümün bir özelliği) Routh düzeltmesinin yapılması gerekir [107]. Ek-A'da Routh düzeltme teriminin çıkartılması verilmiştir. Akım alanı içindeki girdapların hızlan bulunduktan sonra, bunlar fiziksel düzlemde ilerletilirler. Bunun için N tane birinci dereceden diferansiyel denklemin çözülmesi gerekmektedir. Bu denklemler aşağıdaki gibidir. dx\ - =ttı(a:ı,jh,---,Xjv,îw), d%\, v - =v1(x1,y1,---,xN,yN), dxff = fiN{xı,y1,---,XN,yN), (2),dt dm dt = vn(xi, yi,---, *n, vn), Başlangıç şartları: x;(0) = xs lfc(°) =ys i = !,-.., N (3) XX Burada xa,ya üst/alt ayrılma noktalarının koordinatlarıdır. Diferansiyel denklemlerin integrasyonu tezde aşağıdaki gibi birinci dereceden Euler integrasyonu ile yapılmıştır. xi(t + 6t) = Xi + Ui(t) St + O (8t2).. Vi(t + 6t) =yi + Vi(t)6t + 0(St2) t=l,...,JV U ilgilendiğimiz akım alam iki cisim arasındaki bir bölgede olduğu için, bu bölgedeki bir girdap, cisimler içinde karşılıklı olarak sonsuz imaj oluşmasına neden olur. Bu durumda hesaplarımızı bu bölgede doğrudan yapamıyacağımız açıktır. Ba cismin arasındaki bölge sonsuz düz duvarın üst yarısına ve cisimlerin sınırları da bu ' bölgenin sınırına (düz duvar) resmedilecek şekilde bir dönüşüm bulunabilir. Bu tezde Schwarz-Christoffel (S-C) yöntemi kullanılarak dönüşüm gerçekleştirilmiştir. Daha sonra ( 4 ) denklemi kullanılarak girdaplar ilerletilmiştir. Schwarz-Christoffel dönüşümünde Z düzleminde bulunan bir çokgenin içi (R bölgesi) A-dönüşmüş düzleminin üst yarısına, sınırları da A-düzleminin reel ek senine dönüştürülür (Şekil 3.9). Bu dönüşüm aşağıdaki formül ile verilir. § = *n(A-«r (5) î'=1 Burada d{ 'ler fiziksel düzlemde bulunan köşe noktalarının, dönüşmüş düzlemin reel eksenindeki izdüşümleridir, a* 'ler ise çokgenin iç açılandır. Bazı özel durumlar dışında en fazla üç a,- keyfi olarak seçilebilir. Yani köşe noktası (Sonsuzdakiler de dahil) 3 'ten fazla olan çokgenler için analitik dönüşüm bulunması çok zordur ve hemen hemen imkansızdır. Özel olarak fiziksel kısıtlamalardan dolayı, 3'ten faz la köşe noktasına sahip bölgelerin SC yardımı ile analitik dönüşümüne ait örnekler Milne ve Thompson 'un [123] kitabında bulunabilir. Bu tezde incelenen iki cisim geometrilerinde, köşe noktaları, küt ve sivri hücum kenarı için 6, eliptik hücum kenarı için 18 tanedir. Bu durumda Schwarz- Christoffel dönüşümü sayısal olarak yapılmak zorundadır. Çalışmamızda Davis[132] tarafından önerilen sayısal integrasyon tekniği kullanılmıştır. Bu sayısal integrasyon aşağıdaki gibidir. N ı+l = zm + -^11 J=l.*m+l + Afi (A - a,) ofj+l a/ + l m+l (6) Yakandaki integrasyonda K ve Oj'lerin değerleri başlangıçta bilinmemektedir. Bunların bulunması integrasyon işleminin bir parçasıdır. Bunun için K ve a3- sabitlerine keyfi başlangıç değerleri verilip, yukarıdaki denklemde yerine konularak hatalı z değerleri bulunur. Hesaplanan (hatalı) z değerleri ile gerçek (doğru) z değerleri ölçeklenerek yeni K ve a.j sabitleri bulunur. Bu işlem yakınsama elde edilinceye kadar devam ettirilir. Bu dönüşüme ek olarak fiziksel düzlemdeki bir noktanın dönüşüm düzlemindeki karşılığını bulmak için "Sayısal ters bulma algoritması" geliştirilmiştir. Modelin viskoz olmamasından dolayı girdaplar birbirlerine veya cisim yüzeyine çok yaklaşabilirler. Her iki durumda da çok büyük hız indüklemesi mey dana gelir. Cisme girdapların fazla yaklaşmaması için cisimleri çepe çevre saran 0.05s kalınlığındaki hayali bir sınır tanımlanmıştır. Bu sınırdan içeri giren girdaplar yokedilirler. Diğer taraftan, girdapların birbirine çok yaklaşmaması için kritik girdap yarıçapı tanımlanmış ve birbirlerine çok yaklaşmaları durumunda girdapların katı cisim hareketi yaptığı farzedilmiştir. Bu durumda kompleks hız aşağıdaki gibi hesaplanır. rr T \z Zo\ Bu denklemde Bu denklemde k indisli hız terimleri girdaplı akıma karşı gelen hızlan terimi ise zamana bağlı basınç terimini göstermektedir. Tezde kullanılan ana program ve grid üretme programı FORTRAN dilinde yazılmış olup, PC-486 ve IBM 4381 de çalıştırılmıştır. PC-486 da hücum kenarı küt ve sivri cisimler için 500 adım 7 saatte, eliptik hücum kenarı için 16 saatte sonuç alınmıştır. Gridler bütün konfigürasyonlar için bir kere üretildikten sonra ana programda dosyadan okutulmuştur. Program kesildiği yerden çalışacak şekilde tasarlanmıştır. Veri sonuçlarının incelenmesi için BASIC dilinde programlar yapılmış Hızlı Fourier Dönüşüm sonuçları ise MATLAB paket programı kullanılarak alınmıştır. Metodun başardı olup olmadığını kontrol etmek için iz bölgesinde ikinci bir cismin bulunmadığı serbest kayma tabakalı akım hali incelenmiştir. Strouhai sayısı deneysel çalışmalarla uyum içinde olarak 0.21 bulunmuştur. Karman girdap caddesinin hücum kenarına çarpması kenar civarında girdap deformasyonuna neden ol maktadır. Girdap caddesi eliptik hücum kenarı etkileşimi sonucunda cisme gelen girdap kümeleri iki parçaya ayrılmaktadır. Farklı işaretli girdap kümeleri birleşip ikinci cismin yüzeyi üzerinde taşınmaktadır. Bu çalışmada girdap-keskin hücum kenarı etkileşimlerini simüle etmek için "ikincil girdap" oluşumu modeli ortaya konmuştur. Girdap kenara yaklaştıkça etkileşim sonucunda akım ayrılmakta ve kenarın uç noktasında girdabın yönüne ters yönde i- kinci bir girdap oluşmaktadır. ikinci cismin yüzeyi üzerindeki basınç alam entegre edilmiş ve Karman caddesi- kenar etkileşimi sonucunda oluşan zamana bağlı yüklenmeler hesaplanmıştır. Yüklenmenin işaretinin gelen girdabın yönüne bağlı olduğu görülmüştür.

The goal of the present investigation is to characterize, for the first time, the intantaneous flow field Karman street-leading edge interactions, including unsteady edge surface pressure distributions. Discrete Vortex Method (DVM) Computational Fluid Dynamics (CFD) system was adapted and supported by a numerical Schwarz Christoffel transformation. Results were presented for different leading edge geome tries including the elliptical edge configuration which was used as a basis to discuss the effectiveness and accuracy of the algorithm. A viscous flow past a sharp leading edge results in unsteady vortex shedding. The vorticity field composes the well known Karman Vortex Street. Alternating row vortices have a characteristic frequency of shedding. In agreement with the experimental test data, the nondimensional frequency of shedding was found to be 0.15 in this work. The accuracy of the method was tested by calculating the mean and fluctuating velocity field on a fixed grid system superposed onto the flow. Both the crossstream profiles and the peak values confirm laboratory observation. Impingement of the Karman Street upon a leading edge causes vorticity field deformation in the neighborhood of the edge. This deformation occurs under the strain field effect of the edges. Vortex-street elliptical edge interaction causes splitting of the incident row vorticity field into two portions. The split vorticity field of alternating sign then merges and convects over the edge surface. Unsteady pressure fields exhibit three distinct regions of special character. Disturbance induced pressure fields were found to be suction type regardless of the sense of rotation of the vortex structures. The present investigation introduces a new model of vortex-sharp edge in teractions including secondary vortex formation. As the vortex approches the edge, due to high induced cross flow magnitudes near the tip, flow separates and a new vor tex forms with opposite sense of rotation. The complex nature of secondary vortex shedding was modelled as a truelly self generating phenomena. The transient nature of the induced pressure field near the tip confirm the secondary vortex formation near the tip. Integration of the surface pressure field over the leading edge surface of every instant of Karman street-edge interaction yields instantaneous loading on the edge. It is observed that the direction of the induced force is a direct function of the approaching vorticity field. Thus, clockwise rotating upper row vortex induces force in the direction of rotation and vice versa for the lower row vortex edge interaction.