Investigation of interacting multiple fatigue cracks propagation using two-dimensional boundary cracklet method

Abstract

Aircraft structures experience fatigue loading emanating from different sources e.g. variation of aerodynamic loads on wings and repetitive pressurizing and depressurizing the cabin of the aircraft etc. It is a well-known fact that fatigue loading is more responsible for the failure of aircraft structures as compared to static loading because a single surface crack can lead to a catastrophic failure due to fatigue loading. At the early stages of the life of aircraft, these surface cracks have no effect on the structural integrity of the aircraft, but with the passage of time, environmental effect, and nature of loading these cracks propagate and interact with each other. These cracks propagate, up to the point where the remaining cross-section of the component is not being capable of carrying the loads and the component will be subjected to sudden fracture. The failures due to fatigue usually start at small surface cracks which act as local stress raisers and propagate and interact with each other and turn into large damage-producing cracks. In practice, these micro surface cracks are always likely to be present in many aircraft structural components even the newly made components can have these cracks due to certain imperfections in machining processes during the manufacturing of aircraft. To produce a damage tolerance design and to meet the certain requirements of certifications applicable in the aerospace industry, it becomes very important to know the behaviour of aerospace structures in the presence of these inevitable surface cracks under fatigue loading. Thus, a fast and accurate method of predicting the behaviour of these cracks under fatigue loading plays a vital role. This fact forces engineers to develop new methods and models which can simulate the effects of existing cracks so that they can predict the remaining useful life of aircraft structure more accurately. Such methods and simulation techniques not only reduce the high cost of physical testing of the aerospace structures but also play a crucial role in producing a better design of these structures. For the analysis of planar cracks, different commercial tools are available, which are mostly based on the analytical formulations and different handbook solutions e.g. NASGRO and AFGROW. These software packages can simulate the fatigue crack growth (FCG) problems of predefined cracks under mode-I loading conditions only, but most of the real problems in the industry are under the influence of mix mode loading where crack tip grows under the effect of both mode-I and mode-II loading conditions. Therefore, these software packages cannot handle such complex problems of mix mode crack growth. Finite element methods are also being used from a long time for the study of FCG. These methods can simulate the interactions of cracks with reasonably good accuracy. But, due to the requirement of fine mesh at the crack tip, generation of a representation of the crack advancement and regeneration of FE mesh after each iteration of FCG, make these methods challenging to adopt. To overcome these difficulties of FEM, in 1999, a mesh-independent method called Extended-FEM (XFEM) with minimal re-meshing was developed and since then a continuous improvement has been seen in the implementation of these methods. However, the accuracy of these methods decreases as the complexity of the problem increases and still a lot of research efforts are underway to overcome this shortcoming. By considering the above-mentioned limitations of the conventional methods to analyse the FCG of problems involving multiple cracks under mixed-mode conditions, there is always room to develop such methods which can mitigate the deficiencies of these methods. Recently, in 2006, a fast and accurate semi-analytical method called Boundary Cracklet Method (BCM) is developed by Prof. Dr. A. K. Yavuz (co-advisor of this study) and Prof. Dr. S. L. Phoenix at Cornell University, to find the overall stress field and the stress intensity factor (SIF) for crack tips and crack singular wedges at the crack kinks. This method is based on the dislocation distribution approach which approximates the crack opening displacement profiles by using certain power series that satisfy the traction-free condition on crack faces. Unlike the conventional mesh dependent methods, where a very fine mesh is required to overcome the stress singularities around crack tips, BCM takes care of crack tip singularities by including wedge eigenvalues in power series and makes sure that all integrals necessary to calculate stress fields are in closed form to give fast solutions. The solution of these integrals is the most time-consuming part in other mesh-dependent methods such as FEMs and BEMs. Moreover, only a few numbers of allocation points are used around the crack tips to satisfy traction-free boundary conditions instead of using more elements. These factors make the algorithm of BCM more reliable and fast as compared to other methods and enable us to solve difficult fatigue crack growth problems. Therefore, the main objective of this thesis is to analyse the multiple cracks interaction under mix mode fatigue loading by using BCM in the two-dimensional domain and to show the accuracy and versatility of the method to different fatigue crack growth problems that are difficult to solve by using the conventional methods. Throughout the thesis, it has been proved that the proposed scheme is a reliable and accurate method to simulate the fatigue crack propagation (FCP) involving multiple cracks in complex plate geometries under different conditions of fatigue loading. The accuracy of the method is established through the results presented by different researchers which were already available in the literature. Crack tip SIFs, fatigue crack propagation paths and the number of loading cycles required to produce a given crack length extension are used as a parameter for the comparison. A good agreement among the results of each mentioned parameter is achieved for every problem. Further, this proposed method is used to simulate the FCP in different plate geometries involving single as well as multiple cracks under different conditions of fatigue loading which are typical and difficult problems to solve in aerospace structural components. For this purpose, three different studies are conducted, and the findings of each study are published in different international prestigious forums. In the first study, fatigue crack growth in an infinite plate having two rivet holes separated at some distance and crack emanating from a certain location and orientation from one hole are analyzed under three different far-field fatigue loadings i.e. loading in X-direction, loading in Y- direction and shear loading. The maximum tangential stress (MTS) criterion is used to predict the trajectories of crack growth. Paris's Law along with the approach of equivalent stress intensity factor is used to compute the number of loading cycles to produce a required crack length. It is concluded that after some initial number of loading cycles, the fatigue crack growth path becomes perpendicular to the direction of applied loading in case of far-field applied tensile stress (whether in X or Y direction), and similarly, in the case of shear loading, cracks propagate perpendicular to the direction of maximum principal stress. Almost ten times fewer loading cycles are required to reach at a certain crack size under shear loading as compared to the normal applied stress, which shows that the rate of crack propagation is ten times higher under shear stress. Therefore, among the given three loading conditions, cycling shear stress is the worst one and needs more attention while designing the structures having rivet holes. In the second study, fatigue crack growth simulations of interacting multiple cracks in perforated plates with multiple holes are discussed. To show the versatility of the proposed method, emphasis is given to study such complicated problems which cannot be solved by conventional methods to analyse the FCG. Three different studies with multiple cases of initial cracks emanating from side edges, the center of the plate and the outer periphery of holes in the plate at different orientations are simulated. It has been concluded that the FCG of complicated problems e.g. plate with six holes having seven pre-cracks can be computed fast by the proposed scheme. The conventional methods of analysing FCG have limitations in solving such complex problems. Moreover, the effect of a newly added crack in the vicinity of already present crack is also analyzed and concluded that when two coplanar cracks approach each other, they exhibit an over-constraining phenomenon, which causes the near-tip stress field to be significantly higher than that near a single crack and hence ultimately increases the rate of crack growth. To show the efficiency of a computational method in fatigue problems a new and very useful parameter is also introduced: Yavuz's fatigue computational efficiency factor, YCF = µN/t, which is the number of computed million loading cycles per hour (CPU time). In the third study, FCG behaviour of symmetric cracks emanating at different locations at the outer periphery of the hole in an infinite plate with different orientations under in-phase tension-tension biaxial loading is presented. As the effects of initial crack orientation under uniaxial fatigue loading are well reported in the literature but the same under the effect of different conditions of biaxial loading has not been investigated. The rate of FCG is computed using Walker's equation, whereas the direction of propagation of crack tip is predicted using the minimum strain density (MSED) criterion. Our results show that BCM is equally effective in predicting the FCG behaviour under complex cases of fatigue loading. It is concluded that cracks tend to propagate perpendicular to the direction of dominant stress in the case of biaxial load where biaxiality ratio λ≠1 and there is no effect of location and orientation of initial crack on the crack trajectory. For equibiaxial loading where λ = 1, the crack tends to propagate diagonally, and its path depends upon the location and orientation of the initial pre-crack. As far as the number of loading cycles for a given crack extension are concerned, equal load cycles are computed for λ = 0, 0.5, 1 whereas it is concluded that for λ = 1.5, the rate of crack growth increases, and fewer loading cycles are required to produce the given crack length. It is also concluded that there is no change in crack trajectories under different stress ratios (R). For a given effective stress intensity factor (ΔKeff) the rate of crack propagation is increased with the increase in R, but for a given value of stress, the value of ΔKeff is lower for a higher R-value, which results in a higher number of required loading cycles to produce the same crack extension.

Uçak yapıları, kanatlar üzerine gelen aerodinamik yüklerin değişimi ve kabin basıncının değişimi gibi çeşitli nedenlerden dolayi yorulma yüklemesi etkisi altında kalır. Yorulma yüklemesinin, statik yüklemeye kıyasla uçak yapılarının hasar görmesinde daha fazla sorumlu olduğu iyi bilinen bir gerçektir; çünkü yorulma yüklemesinin meydana getireceği tek bir yüzey çatlağı kazaya neden olabilecek bir hasara neden olabilir. Uçağın ömrünün ilk aşamalarında, bu yüzey çatlaklarının uçağın yapısal bütünlüğü üzerinde hiçbir etkisi yoktur, ancak zamanın geçişi, çevresel etki ve bu çatlakların yükleme etkisiyle yayılması ve birbirleriyle etkileşime girmesi olasıdır. Bu çatlaklar, yapı bileşeninin kesitinin yükleri taşıyamayacağı noktaya kadar yayılır ve söz konusu bileşen ani kırılmaya maruz kalır. Yorulmadan kaynaklanan hasarlar genellikle yerel gerilme arttırıcılar olarak hareket eden, yayılan, birbirleriyle etkileşime giren ve büyük hasar meydana getiren çatlaklara dönüşen küçük yüzey çatlaklarıyla başlar. Uygulamada, bu mikro yüzey çatlaklarının her zaman birçok hava taşıtı yapısal bileşeninde mevcut olması muhtemeldir, hatta yeni imal edilen yapısal bileşenlerde bile, uçak üretimi sırasında işleme proseslerindeki bazı kusurlar nedeniyle bu çatlaklar olabilir. Bir hasar toleransı ile tasarlanan yapıyı imal etmek ve havacılık endüstrisinde geçerli olan sertifikaların belirli gereksinimlerini karşılamak için, yorulma yüklemesi altında bu kaçınılmaz yüzey çatlaklarının varlığında havacılık yapılarının davranışını bilmek çok önemli hale gelir. Bu nedenle, söz konusu çatlakların yorulma yüklemesi altındaki davranışını tahmin etmenin hızlı ve doğru bir yöntemi hayati bir rol oynar. Bu gerçek, mühendisleri, uçak yapısının kalan faydalı ömrünü daha doğru bir şekilde tahmin edebilmeleri için mevcut çatlakların etkilerini simüle edebilen yeni yöntemler ve modeller geliştirmeye zorlamaktadır. Bu tür yöntemler ve simülasyon teknikleri, yalnızca havacılık ve uzay yapılarının yüksek fiziksel test maliyetini düşürmekle kalmaz, aynı zamanda bu yapıların daha iyi tasarlanmasında çok önemli bir rol oynar. Düzlemsel çatlakların analizi için, çoğunlukla analitik formülasyonlara ve farklı el kitabı çözümlerine dayanan farklı ticari yazılımlar mevcuttur, örneğin NASGRO ve AFGROW. Bu yazılım paketleri, yalnızca mod-I yükleme koşulunda önceden tanımlanmış bir çatlak ilerlemesi (FCG) sorununu simüle edebilir, ancak endüstrideki gerçek sorunların çoğu, çatlak ucunun her ikisinin de etkisi altında ilerlediği karışım modu(mod-I ve mod-II yükleme koşulları) yüklemesinin etkisi altındadır. Bu nedenle, söz konusu yazılım paketleri, karışım modu çatlak ilerlemesi gibi karmaşık sorunları çözemez. FCG çalışması için uzun zamandan beri sonlu eleman yöntemleri de kullanılmaktadır. Söz konusu yöntemler, çatlakların etkileşimlerini oldukça iyi bir doğrulukla simüle edebilir. Ancak, çatlak ucunda daha fazla eleman gereksinimi nedeniyle, FCG'nin her yinelemesinden sonra FE ağının çatlak ilerlemesi ve rejenerasyonunun bir temsilinin oluşturulması, bu yöntemlerin benimsenmesini zorlaştırır. FEM'in bu zorluklarının üstesinden gelmek için, 1999'da, minimum yeniden ağ oluşturma ile Genişletilmiş-FEM (XFEM) adı verilen ağdan bağımsız bir yöntem geliştirilmiş ve o zamandan beri bu yöntemlerin uygulanmasında sürekli bir gelişme görülmüştür. Bununla birlikte, problemdeki karmaşıklık arttıkça bu yöntemlerin doğruluğu azalmaktadır ve söz konusu eksikliğin üstesinden gelmek için hala birçok araştırma çalışması devam etmektedir. Karışık mod koşulları altında çok sayıda çatlak içeren problemlerin FCG'sini analiz etmek için geleneksel yöntemlerin yukarıda bahsedilen sınırlamaları dikkate alındığında, bu yöntemlerin eksikliklerini azaltabilecek yöntemleri geliştirmek için her zaman bir çalışma alanı vardır. Son zamanlarda, 2006 yılında, Cornell Üniversitesi'nde Prof. Dr. Abdulkadir Yavuz (bu tezin eş danışmanı) ve Prof. Dr. S. L Phoenix tarafından, çatlak uçları için genel gerilme alanı, gerilme yoğunluğu faktörü (SIF) ve çatlak kıvrımlarında tekil kamaları hesaplamak için, Boundary Cracklet Method (BCM) adı verilen hızlı ve guvenilir bir yarı analitik yöntem geliştirilmiştir. Bu yöntem, çatlak yüzeylerindeki çekmesiz durumu sağlayan belirli üstel fonksiyon serilerini kullanarak çatlak açılım yer değiştirme profillerine yaklaşan dislokasyon yayılımı yaklaşımına dayanmaktadır. Çatlak uçları etrafındaki gerilme tekilliklerinin üstesinden gelmek için çok ince bir ağın gerekli olduğu geleneksel ağa bağlı yöntemlerin aksine, BCM, üstel fonksiyon serilerine kama özdeğerlerini dahil ederek çatlak ucu tekilliklerini giderir ve gerilim alanlarını hesaplamak için gerekli tüm integrallerin içinde olmasını ve hızlı çözüm vermek için kapalı formda bir çözüm sağlar. Bu integrallerin çözümü, FEM'ler ve BEM'ler gibi diğer ağa bağlı yöntemlerde en çok zaman alan kısımdır. Ayrıca, daha fazla eleman kullanmak yerine serbest sınır koşullarını sağlamak için çatlak uçlarının çevresinde yalnızca birkaç tahsis noktası kullanılır. Bu faktörler, BCM algoritmasını diğer yöntemlere göre daha güvenilir ve hızlı hale getirir ve zorlu yorulma çatlak ilerleme problemlerini çözmemizi sağlar. Bu nedenle, bu tezin temel amacı, BCM'yi iki boyutlu alanda kullanarak karışım modlu yorulma yüklemesi altında çoklu çatlak etkileşimini analiz etmek ve yöntemin doğruluğu ve çok yönlülüğünü, geleneksel yöntemleri kullanarak çözülmesi zor olan farklı yorulma çatlak ilerleme problemlerinde göstermektir. Bu çalışmada, iki boyutlu alanda BCM kullanılarak karışım modlu yorulma yüklemesi altında çoklu çatlak etkileşimini analiz eden yeni bir yöntem sunulmuştur. Tez boyunca, önerilen yöntemin, farklı yorulma yüklemesi koşulları altında karmaşık plak geometrilerinde çoklu çatlakları içeren yorulma çatlak ilerlemesini (FCP) simüle etmek için güvenilir ve doğru bir yöntem olduğu kanıtlanmıştır. Yöntemin doğruluğu, literatürde halihazırda mevcut olan farklı araştırmacılar tarafından sunulan sonuçlarla karşılaştırılarak belirlenmiştir. Karşılaştırma için bir parametre olarak çatlak ucu SIF'leri, yorulma çatlak yayılma yolları ve belirli bir çatlak uzunluğunda ileretmek için gerekli yükleme çevrimlerinin sayısı kullanılmıştır. Her bir problem için bahsedilen her bir parametrenin sonuçları arasında iyi bir uyum sağlanmıştır. Ayrıca önerilen yöntem, havacılık ve uzay yapısal bileşenlerinde çözülmesi tipik ve zor problemler olan farklı yorulma yüklemesi koşulları altında tekli ve çoklu çatlakları içeren farklı plak geometrilerinde FCP'yi simüle etmek için kullanılır. Bu amaçla üç farklı çalışma yapılmıştır ve her bir çalışmanın bulguları farklı uluslararası prestijli dergilerde yayınlanmıştır. İlk çalışmada, bir mesafeden ayrılmış iki perçin deliğine sahip sonsuz bir plakdaki yorulma çatlağı ilerlemesi ve bir delikten belirli bir yerden kaynaklanan çatlak ve yönelim, üç farklı uzak alan yorulma yüklemesi, yani X yönünde yükleme, Y'de yükleme, basma ve kesme yükü. Çatlak büyümesinin yörüngelerini tahmin etmek için maksimum teğetsel gerilme (MTS) kriteri kullanılmıştır. Paris yasası ve eşdeğer gerilme yoğunluğu faktörü yaklaşımı, gerekli çatlak ilerleme uzunluğunu meydana getirmek için yükleme çevrimlerinin sayısını hesaplamak için kullanılmıştır. İlk birkaç yükleme çevriminden sonra, yorulma çatlağı ilerleme yolunun, uzak alana uygulanan çekme gerilmesi (X veya Y yönünde) durumunda ve benzer şekilde kesme yükü, çatlaklar durumunda uygulanan yükleme yönüne dik hale geldiği, yani maksimum temel gerilme yönüne dik olarak yayıldığı sonucuna varılmıştır. Uygulanan normal gerilme ile karşılaştırıldığında, kesme yükü altında belirli bir çatlak boyutuna ulaşmak için neredeyse on kat daha az yükleme döngüsü gerekmekte, bu da kayma gerilmesi altında çatlak yayılma hızının on kat daha yüksek olduğunu göstermektedir. Bu nedenle, verilen üç yükleme koşulu arasında, çevrimsel kayma gerilmesi en kötüsüdür ve perçin delikli yapıları tasarlarken daha fazla dikkat gerektirir. İkinci çalışmada, çoklu delikli perfore plaklarda çoklu çatlakların etkileştiği yorulma çatlağı ilerleme simülasyonu tartışılmıştır. Önerilen yöntemin çok yönlülüğünü göstermek amacıyla, FCG'yi analiz etmek için geleneksel yöntemlerle çözülemeyen bu tür karmaşık sorunların incelenmesine önem verilmektedir. Yan kenarlardan, plağın merkezinden ve plakdaki deliklerin dış çevresinden farklı yönelimlerde ortaya çıkan birden fazla ilk çatlak durumuyla üç farklı problem simüle edilmiştir. Karmaşık sorunların FCG'si örneğin yedi ön çatlağa sahip altı delikli plak, önerilen yöntem kullanılarak hızlı bir şekilde hesaplanmıştır. Geleneksel FCG analiz yöntemlerinin bu tür karmaşık problemleri çözmede sınırlamaları vardır. Ayrıca, halihazırda mevcut çatlağın yakınında yeni eklenen çatlağın etkisi de analiz edilmiş ve iki düzlemsel çatlak birbirine yaklaştığında aşırı sınırlayıcı bir fenomen sergiledikleri sonucuna varılmıştır. Yorulma problemlerinde bir hesaplama yönteminin verimliliğini göstermek için yeni ve çok kullanışlı bir parametre de sunulmuştur: "Yavuz" yorulma hesaplama verimliliği faktörü, YCF = µN / t, saat başına hesaplanan milyon yükleme çevrimi sayısıdır (CPU zamanı). Üçüncü çalışmada, faz içi gerilme-gerilme çift eksenli yükleme altında farklı yönelimlere sahip sonsuz bir plakda deliğin dış çevresinde farklı yerlerde ortaya çıkan simetrik çatlakların FCG davranışı sunulmuştur. Tek eksenli yorulma yüklemesi altında ilk çatlak oryantasyonunun etkileri literatürde iyi bilindiğinden, farklı çift eksenli yükleme koşullarının etkisi altında aynı durum araştırılmamıştır. FCG oranı, Walker denklemi kullanılarak hesaplanırken, çatlak ucunun yayılma yönü minimum gerinim yoğunluğu (MSED) kriteri kullanılarak tahmin edilmiştir. Sonuçlarımız, BCM'nin karmaşık yorulma yüklemesi durumlarında FCG davranışını tahmin etmede eşit derecede etkili olduğunu göstermektedir. Çatlakların, çift eksenlilik oranının λ ≠ 1 olduğu ve çatlak yörüngesi üzerindeki ilk çatlağın konumu ve oryantasyonunun hiçbir etkisinin olmadığı çift eksenli yük durumunda, baskın gerilme yönüne dik yayılma eğiliminde olduğu sonucuna varılmıştır. Eş eksenli yükleme için λ = 1 olduğunda, çatlak çapraz olarak yayılma eğilimindedir ve yolu, ilk çatlağın konumuna ve yönüne bağlıdır. Belirli bir çatlak uzaması için yükleme çevrimi sayısı söz konusu olduğunda, eşit yük çevrimleri λ = 0, 0.5, 1 için hesaplanırken, λ = 1.5 için çatlak ilerleme hızının arttığı ve verilen çatlak uzunluğunu meydana getirmek için daha az yükleme çevrimi gerektiği sonucuna varılmıştır. Ayrıca, farklı gerilme oranları (R) altında çatlak yörüngelerinde hiçbir değişiklik olmadığı sonucuna varılmıştır. Belirli bir etkili gerilme yoğunluğu faktörü (ΔKeff) için çatlak yayılma hızı R'deki artışla artar, ancak belirli bir gerilme değeri için ΔKeff değeri daha yüksek bir R değeri için daha düşüktür ve bu da aynı çatlak uzunluğunu meydana getirmek için daha yüksek çevrim sayısında yükleme ile sonuçlanır.