İki eksende daralan ankastre kirişlerin sonlu eleman yöntemi ile serbest titreşim analizi

Abstract

Kiriş problemleri günümüzde birçok alanda karşımıza çıkmaktadır. İnşaat mühendisliğinde binalar, köprüler vb. yapılarda çeşitli kesitlere sahip şekillerde kullanılırken, makina mühendisliğinde şaftlar, kaldıraç sistemleri gibi yapılarda, uçak mühendisliğinde ise helikopter palleri, kanat kirişleri vb. yapılarda kullanılabilmektedirler. Kirişlerin bu geniş kullanım alanları bazı sorunları da çözmemizi gerektirmektedir. Bunlardan en önemlilerinden biri de titreşim problemleridir. Kirişler farklı kesitlerde olabildikleri gibi daralan veya genişleyen profillere de sahip olabilmektedirler. Bu tezdeki amaç ise iki eksende de daralan veya genişleyen ankastre kirişlerin serbest titreşim durumlarının incelenmesidir. Kiriş teorileri bu tarz sistemlerin yapısal analizlerinde önemli bir rol oynamaktadır. Basit bir şekilde sistemlerin analizlerini gerçekleştirmemize olanak sağlamaktadır. Bu tezde kiriş teorileri, günümüzde pek çok araştırmanın da konusu olan sonlu eleman yöntemi ile kullanılmıştır. Her ne kadar sonlu eleman yöntemi hesapları karmaşık gözükse de günümüzde gelişen bilgisayar sistemleri ile oldukça kolay bir şekilde bu analizler gerçekleştirilebilmektedir. Bu tezde ise Euler-Bernoulli sonlu eleman kiriş teorisi kullanılmıştır. Bu teoride kayma kaynaklı etkiler göz önüne alınmamaktadır. Euler- Bernoulli kiriş teorisine göre kirişin tarafsız ekseni şekil değiştirme sonrası da kiriş eksenine dik olan doğrular ile dik açı yapmaktadır. Yani kesit düzleminde herhangi bir deformasyon meydana gelmemektedir. Bu tezdeki sonlu eleman çözümünde herbir elemanın iki düğüm noktasından oluştuğu ve bu noktaların da ikişer serbestlik dercesine sahip olduğu kabul edilmiştir. Bundan dolayı herbir eleman 4 serbestlik derecesine sahiptir. Bu teori ile ilgili formülasyonlar MATLAB programında kodlanmıştır ve verdiği sonuçlar incelendiğinde ise gerçeğe oldukça yakın olduğu görülmüştür. Daha sonra ABAQUS paket programı ile aynı kirişin bilgisayar ortamında analizi tekrar gerçekleştirilmiştir. MATLAB'deki koddan alınan sonuçlar literatür ile uyumluluğu açısından boyutsuz olarak da elde edilmiştir. Bu tez kapsamında kabul edilen kiriş ankastre olarak bir ucundan yataklanmış, izotropik, iki eksende daralan ve kesiti iki eksende de simetrik olan bir kiriştir. Aynı zamanda bu kiriş simetrik ve izotropik olarak kabul edilmektedir. Bundan dolayı iki düzlemdeki titreşim hareketi birbirini etkilememektedir. Giriş bölümünde kirişlerin kullanım alanları, tezin amacı, kullanılan yöntemler, yazılımlar ve yapılan kabullerden bahsedilmiştir. Çok sık kullanılan iki sonlu eleman metodu ile ilgili yüzeysel bilgiler de verilmiştir. Bu metodlar Euler-Bernoulli ve Timoshenko teorileridir. İki teorinin birbirinden en önemli farkları Euler-Bernoulli teorisinde kayma etkileri göz ardı edilirken Timoshenko teorisinde ise kayma etkileri göz önüne alınmaktadır. Daha sonra literatür araştıramasına yer verilmiştir. Daha sonra tezin konusu kapsamında olduğundan dolayı titreşim hakkında genel bir bilgilendirme yapılmıştır. Ardından titreşim sınıflandırılmıştır ve bu sınıflar hakkında da kısa bilgiler verilmiştir. Üçüncü bölümde ise sonlu eleman yöntemi ile alakalı bilgiler verilmiştir. Burada sonlu eleman yönteminin gelişen teknoloji ile işimizi nasıl kolaylaştırdığından ve kullanılan programdan bahsedilmiştir. Bu işlemler yapılırken en önemli noktalardan birinin de kullanılan teoriye uygun şekil fonksiyonlarının bulunması olduğu belirtilmiştir. Buradaki amaç ileride daha detaylı olarak kullanılacak sonlu eleman metodu hakkında fikir sahibi olunmasıdır. Sonraki bölümde kiriş teorileri hakkında daha detaylı bilgi verilmiştir. Burada ilk literatürdeki teorilerden bazıları belirtilmiştir. Bunlardan sıklıkla kullanılan Euler-Bernoulli ve Timoshenko teorileri hakkında detaylı açıklama yapılmıştır. Bu tez kapsamında da kullanılan Euler-Bernoulli teorisi detayları ile anlatılmış, formülasyonları gösterilmiştir. Daha sonra uygun şekil fonksiyonlarının hesaplanmasından sonra herbir elemana ait rijitlik ve kütle matrisleri bulunmuştur. Daha sonra bu matrisler uygun formatta birleştirilerek genelleştirilmiş rijitlik ve kütle matrisleri elde edilmiştir. Ardından ankastre kiriş sınır koşulları uygulanmış ve indirgenmiş rijitlik ve kütle matrisleri bulunmuştur. Bu matrisler uygun formüllerde yerlerine konularak sonuçlar literatür ile uyumlu olacak şekilde boyutsuz olarak elde edilmiştir. Daha sonra MATLAB programında yazılmış kod ile elde edilen sonuçları doğrulamak adına farklı daralma oranlarındaki kirişler Catia V5 programında modellenip, Hypermesh programında sonlu elemanlarına ayrılmıştır. Daha sonra da ABAQUS paket programı ile analizleri yapılıp MATLAB'de yazılan kod doğrulanmıştır. Son kısımda ise literatürdeki çalışmalara ek olarak kirişin boyunun doğal frekans üzerine etkisi incelenmiştir. Sonuçlar literatür ile karşılaştırıldığında ise yüzdesel olarak çok ufak sapmalar olduğu görülmüştür.