Non-relativistic gravity in three-dimensions

Abstract

In this thesis, we examined the non-relativistic three-dimensional $\mathcal{N}=2$ supergravity theories. These gravity theories are based on a symmetry algebra in which Lie algebra admits non-degenerate, invariant, and symmetric Killing form. We considered a supersymmetric extension of non-relativistic symmetry algebras from which we constructed Chern-Simons actions, and as a result, we have obtained their gauge transformations and field equations, and the matter couplings. In addition, we developed a framework to construct Lie algebra expansion to obtain extended Schrödinger algebra for the first time in the literature, and this result will be used for our future plan for constructing matter multiplets that transform under supersymmetric extended Schrödinger symmetries. The first chapter of the thesis presents a sufficient groundwork for the following sections. Our purpose is to elaborate on Newton-Cartan geometry, Newton-Cartan gravity, three-dimensional Einstein gravity, Chern-Simons formalism, and finally basics of spinors in three dimensions. Having collected these tools, we apply the corresponding formalism into three-dimensional non-relativistic symmetries. With the term non-relativistic symmetry we imply that all the algebras that we will consider next sections are an extension of Galilei algebra, since we designate the symmetry algebras as non-relativistic. In Ch. 2, we establish the supersymmetric extension of the extended Newton-Hooke, Lifshitz and Schrödinger algebras and construct the corresponding Chern-Simons supergravity models. The extended Newton-Hooke superalgebra admits two distinct non-degenerate invariant bi-linear forms that gives rise to two different supergravity models with the same equations of motion. These two models are particularly different in terms of the parity of the bosonic actions. In particular, we showed that there is an exotic non-relativistic model such that parity-even field equations arise from a parity-odd Lagrangian. We then showed that it is possible to improve the extended Bargmann superalgebra with dilatations (without including non-relativistic special conformal symmetry) which we called the extended Lifshitz superalgebra and also established the Chern-Simons extended Lifshitz supergravity action. In the final step, we include the nonrelativistic special conformal symmetry and establish the extended Schrödinger superalgebra and the corresponding Chern-Simons extended Schrödinger supergravity action. We consider our result as a first step to construct an off-shell formulation for the extended Bargmann supergravity and its matter couplings. In Ch. 3, we present a three-dimensional non-relativistic model of gravity that is invariant under the central extension of the symmetry group that leaves the recently constructed Newtonian gravity action invariant. In particular, we show that the three-dimensional model is the contraction of a bi-metric model that is the sum of the Einstein gravity in Lorentzian and the Euclidean signatures. Moreover, the model is distinct from the Newtonian gravity both at the level of action and the matter coupling. By choosing fields appropriately, we show that this action can be obtained by a contraction procedure. Our model is of the Chern-Simons type, which allowes us to establish the supersymmetric completion by extending the algebra with five supersymmetry generators. The supersymmetric completion of this action provides one of the very few examples of action for non-relativistic supergravity. In Ch 4, we present a Lie algebra expansion method to generate higher-order three-dimensional Schrödinger algebras. Our construction relies on a recent novel three-dimensional non-relativistic conformal Galilei algebra that we used as a core algebra. By employing the Lie algebra expansions, we first recovered the extended Schrödinger algebra and obtained a new higher-order Schrödinger algebra which we refer to as the enhanced Schrödinger algebra. We, next, truncate the non-relativistic conformal symmetry generators and find a new algebra that goes beyond the three-dimensional extended Bargmann algebra. In particular, we show that the symmetry algebra that was proposed as the symmetry algebra of action for Newtonian gravity is not uniquely defined but can be closed with three parameters. We also show that for a particular choice of these parameters the Bargmann algebra becomes a subalgebra of the extended algebra and one can introduce a mass current in a Bargmann-invariant sense to the extended theory.

Son yıllarda göreli olmayan kütle çekim teorilerine olan ilgi giderek artmaktadır. Bu ilgi, AdS olmayan holografi çalışmalarından, katı hal fiziğine, düşük boyutlu teorilerden sicim teorilerine kadar geniş bir alana yayılmaktadır. Göreli olmayan kütle çekim teorilerinin, özellikle üç boyutta (bir zaman iki uzay boyutu olmak üzere) gerek basitliği gerekse de katı hal uygulamalarında doğal bir boyut olması bu alanda çalışmaların yoğunlaşmasına neden olmaktadır. Düşük boyutlu teorilerin anlaşılması, bize daha yüksek boyutlarda teorilerin anlaşılabilmesi hakkında fikir verebilmektedir. Düşük boyutlu teoriler matematiksel olarak daha basit olduklarından, hesaplamanın tekniğinde boğulmadan bize fizik ile ilgili önemli bilgiler verebilmektedirler. Buna en iyi örneklerden birisi ise kara deliklerde bilgi paradoksunun iki boyutlu kütle çekim teorisi aracılığıyla çözülmesi adına ilk adımın atılmış olmasıdır. Bu tezde, üç boyutlu, göreli olmayan ve genel olarak $\mathcal{N}=2$ süpersimetrik göreli teorilerden türetilmiş Chern-Simons tipi teoriler ele alınacaktır. Öncelikle bu teoriler Lie cebri genişlemesi yöntemi kullanılarak elde edilmeye çalışılmaktadır. Ancak bu yöntem Schrödinger veya Lifshitz simetrilerine sahip teorilerin, göreli teorilerden elde edilmesine yaramamaktadır. Bunun başlıca sebebi, zaman yönlü metrik ile uzaysal metriğin birbirinden farklı ölçeklenme parametresine bağlı olmasından kaynaklanmaktadır. İşin aslı, göreli teoriler için böyle bir ayrım söz konusu değildir, yani göreli teorilerde var olan, uzay ve zamanın birlikte bir yapı oluşturduğu uzay-zaman kavramından, göreli olmayan teoriler açısından bir sapma bulunmaktadır. Sonuç olarak, ölçek simetrilerine sahip (Lifshitz ya da Schrödinger)geometrilerin/simetrilerin, göreli olmayan simetrilerden elde edilebilmesi için Lie cebri genişlemesi yöntemi kullanılamaz. Ancak, son bölümde vereceğimiz gibi, bu alanda bir yöntem geliştirmiş bulunmaktayız. Tezin giriş bölümü, sonraki bölümlerde karşılaşılan matematiksel ve teorik arka planı hazırlamak için kısa bir özet niteliğindedir. Bu bölümde öncelikle göreli olmayan bir geometri olan Newton-Cartan (NC) geometrisinin temel özellikleri özetlenmeye çalışılmıştır. Bu geometrik yapının en önemli özelliği, iki türlü metrik yapısına izin vermesi, ayrıca, buna bağlı olarak metriğin tersinin kesin bir şekilde elde edilememesidir. NC geometrisi zamansal bir vektör, uzaysal bir tensör ve bir ayar alanından oluşmaktadır. Bu geometrik yapının koneksiyonunun simetrik olması, zaman yönünde bir parametre tanımlamaya neden olmaktadır. Bu parametre doğal olarak zaman parametresidir ve uzaysal hiperyüzeylerin yapraklanmasına neden olur. Burada en önemli nokta, NC geometrisinin simetrik koneksiyonu, göreli yarı-Riemann uzayzamanlarda karşılaştığımız gibi torsiyonsuz (burulmasız) bir koneksiyon elde etmemize yaramaktadır. NC geometrisi, asıl olarak Newton kütle çekim teorisinin Poisson denklemi ve haraket denkleminin kovaryant bir şekilde ifade edilebilmesine yarar. Bu geometrik yapı bu nedenle adına NC kütle çekim teorisi dediğimiz Newton kütle çekim teorisinin geometrik arka planı olmaktadır. Newton-Cartan kütle çekim teorisi, koneksiyona ve Riemann tensörüne adına Ehlers ve Trautman şartları dediğimiz bazı şartların uygulanmasıyla, Newton hareket denklemine ve Poisson denklemine indirgenmektedir. NC kütle çekim teorisinin temel formalizmi verildikten sonra, bu kütle çekim teorisinin altında yatan simetri cebrinin lokalizasyonu yardımıyla nasıl elde edilebileceği gösterilmektedir. Bu prosedür, sonraki bölümlerde sıklıkla kullanacağımız bir yöntem olmaktadır. Bu aşamada Bargmann simetrilerinin lokalizasyonu kısaca özetlenerek, Poisson denkleminin elde edilişi ile bu kısım sonlandırılacaktır. Tezin amacı üç boyutlu göreli olmayan teoriler olduğu için, öncelikle üç boyutta Einstein kütle çekim teorisinin özellikleri, aksiyonu, hareket denklemleri irdelenecektir. Üç boyutlu Einstein teorisi, kozmolojik sabitin varlığında iki türlü yazılabilmektedir. Bunlardan ilki bildiğimiz standart aksiyon iken, diğer aksiyona "exotic" aksiyon denilmektedir. Ancak bunu anlamanın yolu teoriyi dış-formlar dilinde yeniden ifade etmekten geçmektedir. Bu durumda elimizde vielbein ve spin koneksiyonu bulunmaktadır. Bu iki alan yardımıyla, Einstein teorisi tekrar yazıldığında, hareket denklemleri aynı olan ancak aksiyonları farklı iki teori yazılabilir. Burada olan prosedüre, benzer şekilde göreli olmayan ve bizim elde ettiğimiz aksiyonlarda da denk geleceğiz. Yukarıda ifade edildiği gibi bu dış formlar dilinde ifade ediliş bizi, bu teoriyi Chern-Simons tipinde bir ayar teorisi şeklinde yazmaya götürür. Gösterileceği gibi, üç boyutta Einstein kütle çekim teorisi, Chern-Simons teorisi şeklinde yazılır ve tam bir ayar teorisidir denilebilir. Yani, diğer bir değişle, lokal olarak teorinin herhangi bir serbestlik derecesi yoktur, ancak global olarak çok zengin içeriklere sahip olabilmektedir (kara delik çözümleri, AdS çözümleri ve sınırlarda var olan konformal alanlar (CFT) vb. gibi). Kısa bir Chern-Simons teorisinin temelleri verildikten sonra, bunun Einstein teorisi ekseninde ufak bir uygulanışını vereceğiz. Burada ifade edilen formalizm aynı şekilde sonraki bölümlerde inşa ettiğimiz teorilerin aksiyonlarının yazılmasında kullanılacaktır. Bu kısımda, bir Lie cebri değerli ayar alanları yardımıyla ve bu Lie cebrinin meydan verebildiği dejenere olmayan, simetrik ve değişmez metrik yapısı ile birlikte teorinin Chern-Simons tipinde yazılışı gösterilmiştir. Bu giriş bölümünü son olarak, üç boyutta süpersimetrinin, özellikle de spinörlerin tanıtılması ile bitireceğiz. Buradaki asıl amacımız üç boyutta süpersimetrik araçların kullanılmasını göstermektir. Burada özellikle spinörler ve onlardan türetilen bilineerler, ayrıca spinör uzayında spinör indislerinin özellikleri, bu indislerin aşağı yukarı ifade edilişleri yük matrisi yardımıyla kısaca ifade edilecektir. Tezin amaçlarından birisi olan üç boyutlu göreli olmayan kütle çekim teorilerinin elde edilişi ikinci bölümden itibaren verilmektedir. Bu bölümde, literatürde sadece bir örneğini bildiğimiz, extended Bargmann süper kütleçekim teorisinin, tarafımızca bulunan kozmolojik sabit varlığındaki hali elde edilmiştir. Bu teori, göreli haline benzer özellikler taşımaktadır. Bunlardan en önemlisi ise "exotic" modellerin yazılabilmesine imkan verebilmesidir. Diğer taraftan bu modelin geometrik çözümlerinin anlaşılması gelecek çalışmalara yönlendirilmiştir. Bu modelin elde edilmesinde, literatürde son iki yılda popüler olan, ancak tarihi 20 yıl öncesine dayalı, Lie cebri genişlemesi yönteminin kullanımı gösterilmiştir. Bu metot, var olan Poincaré cebrinin, kontraksiyondan farklı olarak, ve üreteç sayısını arttırarak, göreli olmayan simetrilerin elde edilebilmesine imkan sağlamaktadır. Bu yöntem temel olarak, Maurer-Cartan formu dediğimiz, Lie cebrinin en önemli nesnesinin ve tanımlı olduğu alanların, belirli bir parametere yardımıyla, çeşitli mertebelere göre seriye açılabilmesi ilkesine dayanmaktadır. Bu sayede, her bir mertebe sonrası, orjinal simetrilerin üreteç sayısının çok çok ötesinde simetriler bulunabilmektedir. Bu sayede, biz, üç boyutlu AdS süpercebrinin Lie cebri genişlemesi yardımıyla, adına Newton-Hooke süpercebri dediğimiz simetri grubunu elde etmiş bulunuyoruz. Bu cebir, bize adına Killing formda denilen, grup manifoldu boyunca tanımlı metriği elde etmeye imkan vermektedir. Bu metrik yardımıyla, eğer elimizde fermiyonik üreteçler de varsa, süper iz alınarak teorinin aksiyonu göreli süper aksiyonlara benzer şekilde elde edilmektedir. Bu bölümde ayrıca, extended Bargmann süper kütle çekim teorisinin, Lifshitz ve Schrödinger simetrilerin varlığında genelleştirilmiş aksiyonu verilmiştir. Esasında bu aksiyon, özellikle süper Schrödinger aksiyonu, üzerinde çalıştığımız, madde multipletlerinin elde edilmesi için gereken ilk adım olma özelliğinin yanında, ilk göreli olmayan ölçek değişmez süper kütle çekim teorisidir. Tezin üçüncü bölümü, Newton kütle çekim teorisinin aksiyon prensibinin elde edilmesinin dayandığı Newton cebrinin (Bargmann simetrilerinin ekstra vektör ve tensör üreteçleri ile genişletilmiş halidir), üç boyutta aşikar olmayan genişlemesi elde edilmiş ve süpersimetrik hale getirilmiştir. Bu simetri grubu aracılığı ile adına extended Newtonian kütle çekim teorisi dediğimiz model literatüre kazandırılmıştır. Bu model, göreli ve Öklitsel iki farklı aksiyonun kontraksiyonu ile elde edilmiştir. Bu model, gerek aksiyon ve gerekse de madde kuplajı seviyesinde Newton kütle çekim teorisinden farklılıklar taşımaktadır. Tezin dördüncü bölümü, yüksek mertebeden Schrödinger simetrilerinin Lie cebri genişlemesi yöntemi kullanılarak elde edilebilmesi için geliştirdiğimiz metodun incelenmesine ayrılmıştır. Bu bölümde literatürde gözden kaçmış olan yeni bir konformal Galilei cebrinin varlığı gösterilmiştir. Bu cebre, Schrödinger simetrilerini elde edebilmemize yaradığı için, çekirdek cebir denmiştir. Bu bölümde, Schrödinger simetrilerinin çeşitli bozonik genişlemeleri verilmiş, fermiyonik simetrilere, gelecekte incelenmek üzere, bu kısımda yer verilmemiştir. Bu yüksek mertebeden cebirlerin en önemli özelliği ise Bargman simetrilerinin farklı bir genişlemesine meydan vermesidir. Bu bölümde, ilgili simetri cebirleri için Chern-Simons aksiyonları elde edilmiştir. Bu metodun madde multiplerinin elde edilebilmesinde kullanılması üzerine çalışmamız devam etmektedir. Sonuç bölümünde, tezin kısa bir özeti yapılarak, gelecek çalışma planları ile ilgili bazı noktalar vurgulanmıştır.