The attitude stability of a rigid satellite in a circular orbit

Abstract

dairesel yörüngedeki rigid bir uydunun yönelme kararlılığı Bu çalışmada, dairesel bir yörüngede hareket eden rijid bir uydunun yönelme kararlılığı incelenmiştir, ilk olarak, uydunun yönelme hareketinin Hamiltonyeni, doğrusal tekniklerin sonuçsuz kaldığı ve Lyapunov fonksiyonunun bilinmediği, denge noktası etrafında 4. dereceye kadar Taylor serisine açılmıştır. Sonra, bir dizi kanonik dönüşüm vasıtasıyla sistemin Hamiltonyeni Birkhoff normal formuna getirilmiştir. Serbestlik derecesi yüksek normal formdaki Hamiltonyenli sistemlerde KAM teorisinin yetersizliğine çare olarak, Tkhai[19] tarafından son zamanlarda geliştirilmiş, bir kararlılık yeter şartı kullanılarak, denge noktası etrafındaki hareketlerin kararlı kaldığı bir bölge, (Tı,r2) parametre uzayında gösterilmiştir, ikinci olarak, bundan bağımsız bir yaklaşımla, Euler açılarıyla, [0{,i = 1.2,3], tarinenen yönelme hareketinin doğrusal olmayan differansiyel denklemleri oluşturulduktan sonra, nütasyon açısının, (#2), değişimi. uJı - w2 faz uzayında yörüngelerin analizi ve Lyapunov çarpanları gibi değişik nümerik yöntemlerle sistemin yönelme kararlılığı araştırılmış ve analitik yöntemle elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Bu nedenle, bu çalışma, yüksek serbestlik dereceli (n > 2), enerjinin korunduğu sistemlerin kararlılığının incelenmesinde ve çözümlenmesinde yeni bir yaklaşımı oluşturmaktadır. Doğrusal analiz, gravitasyonel merkezsel çekim kuvveti altında, dairesel yörüngedeki bir rijid cismin asal eksenlerinin yerel radyal ekseni boyunca en küçük ve yörünge düzleminin normali boyunca en büyük atalete sahip olması durumundaki hareketinin kararlı olduğunu göstermiştir. Bu tip uydular Lagrange uyduları olarak bilinirler[14]. Bir diğer uydu tipi olan DeBra-Delp uyduları ise, yörünge düzlemine dik eksende en küçük ve yörüngeye teğet eksen boyunca en büyük ataletli asal eksenlere sahip olup, doğrusallaştırılmış denklemlere göre kararlı bir yapıya sahiptirler. Ancak, Likins doğrusal analizin kararlılığın kesin bir ispatı için yeterli olamayacağını ortaya koymuştur [14]. Sistem Hamiltonyeni'nin Lyapunov fonksiyonu olarak kullanılması Lagrange uydularının kararlılığını ortaya koyar. Oysa, DeBra- xu Delp uyduları için kararlılık sorusu şu ana kadar yanıtsız kalmıştır [14, 15]. Lagrange ve Delp uydularının yörüngedeki durumları Şekil l'de verilmiştir. Earth (min) A*3 (min) Lagrange Case Orbit (max) Şekil 1. Dairesel yörün durumları. gedeki uyduların asal atalet eksenlerine göre Birkhoff[9], Siegel ve Kolmogorov, Hamiltonyenli sistemlerde denge konumunun kararlılığı için bir kriterin bulunması konusunda katkıda bulunmuşlardır. AmoldflO], 1960'lı yılların başında, birkaç yıl öncesinden Kolmogorov tarafından ilan edilen bir ifadeyi iki serbestlik dereceli sistemler için kanıtladığı gibi, Arnold'm çalışmaları ve bu çalışmaların Moserfll] tarafından irdelenmesi, integre edilebilir sistemlere yakın Hamiltonyenli sistemlerin hareketlerini biraz daha aydınlatmıştır. Arnold[18], 1970'de, en genelde, Lyapunov kararlılığı probleminin cebirsel çözümsüzlüğünü kanıtlamıştır. Bu kanıt, her dinamik sistemde denge konumunun kararlılığı üzerine sonlu sayıda adımla bir karara varacak bir algoritmanın yokluğuna işaret etmektedir. Bu ise, DeBra-Delp uydularının kararlılığı sorusunun, ya da üç cisim probleminin tam bir yanıtının olmayacağı olasılığını getirmiştir. Buna rağmen, normal formdaki herhangi bir Hamiltonyenli sistemin kararlılığı için yeterli bir algoritmik şart Tkhai tarafından 1985*te elde edilmiştir[19]. xııı 1989'da Marandi ve Modi bu şartı kullanarak DeBra-Delp uyduları için kararlılık bölgelerini saptamışlardır. Ancak, daha olayın başında, 3. ve 4. dereceden Hamiltonyen terimlerinin katsayılarının yanlış hesaplanması nedeniyle elde edilen sonuçlar da hatalı dır[20]. Gerekli açılımlar dikkate alınırsa, bu hataları önlemenin yolu, açılımları sembolik programlama ile yapmak kadar, sonuçların bağımsız bir metod ile de kontrol edilmesidir. Bu çalışmada, bahsedilen gerekler yerine getirilmiştir. Yörüngesel koordinat sisteminde hareket eden bir uydunun yönelme hareketi için yerel koordinat sistemi, Rodrigues parametreleri r = (rı,r2,r3) ve bunlara karşılık gelen ve uydunun açısal hızları cinsinden ifade edilen açısal momentumlardan s = dLjdr oluşmaktadır. Doğrultu kosinüsleri matrisinin Rodrigues parametreleri cinsinden ifadesi L/in - 1 '%ı 1 -h İri 1 + r\ - r\ - ı 2(rır2 + r3) 2(nr3 - r2) 2(rxr2 - r3) l-rl + r%-7 2(r2r3 + rı) 2{r1rz + r2) 2(r2r3-rı) l-r\ r\ + rl (5.1) şeklinde yazılabilir. Açısal hız matrisi ise, /,. asal eksenlere ait atalet değerlerini göstermek üzere, fi = (l + ^/2/x {rır-z - r3)/2/2 (fır3 - r2)/2J3 {rtr2 + r3)/2/ı (l + rf)/2/2 (-r!+r2r3)/2/3 (rır3-r2)/27! (n + r2r3)/2/2 (l-+rl)/2/3 ?>3İ (5.2) şeklinde bulunur. (r, s) koordinatlarmdaki denge konumunu orijine taşıyan kanonik bir dönüşüm yapıldıktan sonra, dairesel bir yörüngedeki rijid bir uydunun yönelme hareketinin Hamiltonyeni mCu), O] = \ J2 Ii (ft? - Cl + 3C&) z »=1 (5.3) şeklinde elde edilir. Hamiltonyenin r, ve s» parametrelerine göre Taylor serisine açılması sonucunda H = Hq + H \ + H-ı -f if 3 -f- İ74 + (5.4) halini alır. XIV 2. dereceden Hamiltonyen terimleri doğrusal bir kanonik değişken dönüşümü ile ff2 = £>,.((*? + y?)/2) (5.5) »=ı formuna getirilebilir. Doğrusal analiz yardımıyla elde edilen, dairesel yörüngede hareket eden rijid bir uydunun kararlılık bölgeleri Şekil 2'de verilmiştir. 1.00 0.50 T2 o-oo -0.50 - d '# 1" T* f| Tl T ? * "İST Tfltnsgh -L fla'n idje Jı ıs TUT^r-nmi T+fen-rF^H3Hıir" Si *Pı 1111* "H IİT I31n'*l,n """iMt'ie "n'flıiüır^Jttuı'IıJhi'Jlii ^t*JTjıııL"nı +l-s+lnıp,SnH İnG tıfcrBffiffltır ?b # ?pSfifat'fliaHif a ar e rac er 3J1. 13 ~ JİU. DeBra- Delp Region - 1.00 | I I I 1 ! I I I I | I I I I I I I I I | I I I I I ! I I I | 1 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 T1 Şekil 2. Doğrusal analize göre dairesel yörüngedeki uydunun kararlılık bölgeleri..ÖVnin normal forma getirilmesi için kullanılan dönüşüm aynı şekilde İ73 ve -Ö4 terimlerine uygulandıktan sonra, sistemin 3. ve 4. dereceden rezonans şartlarını sağlamadığı kabulüyle, yine bir dizi kanonik dönüşüm ve üretici fonksiyonların kullanılmasıyla #3 = o #4 = E w; x? + yn (xj + yf 1] (5.6) (5.7) i,j-i Birkhoff normal formuna getirilebilir. XV Sonuç olarak, DeBra-Delp uydusunun, normalleştirilmiş Hamiltonyeni 3 3 H = Y wiTi + 2Z mjTiTj + O [(|x| + |y| (5.8) i=l şeklinde elde edilir ki burada t; = (z? + yf)/2,dk. Tkhai tarafından öne sürülen kararlılık şartına göre (x, y) = (0, 0) denge noktası, bütün n > 0 değerleri için, 3 Y wiTi = 0 (5-9) ve »=ı 3 (5.10) Y UijTiTj = 0 t,İ=l denklemlerinin sıfırdan farklı bir çözümü yoksa kararlıdır. Bu şartların incelenmesi durumunda, DeBra-Delp bölgesi içinde ortaya çıkan kararlı bölgenin yapısı Şekil 3'te verilmiştir. 0.00 -0.05 - T2 -0.10 - -0.15 - -0.20 ooo CC3)eO u:ı:rxı:o:o coo-coo-. -co|carrrxmxxı%mxcooom3)?of oo xmxıxo,Tnnorr) o aooooooooo-.-H-- I L [ İl I I { I M ! I,.[ I | M I 1 ı I I I 1 | ! I ı I I I 1 I I | I I ı M M 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 T1 Şekil 3. DeBra-Delp bölgesi için Tkhai şartlarını sağlayan kararlı bölgeler [(.) kararlı, (o) bilinmeyen, (+) belirlenemeyen], Ti = (I2 - I8)/Ii ve T2 = (I3 - I^/I-j DeBra-Delp bölgesinin kararlılığının analitik yaklaşımla incelenmesinden sonra, nütasyon açısının değişimi. ^ı - u;2 faz uzayı analizi ve Lyapunov xvı çarpanlarının hesaplanması şeklinde doğrusal olmayan hareket denklemlerinin kullanıldığı nümerik yöntemlerle kararlılık hakkında daha fazla bilgi sahibi olmaya çalışılmıştır. Nütasyon açısındaki değişimin incelenmesi amacıyla, Euler açılarıyla [Uydu 3-1-3] tariflenen, uydu yönelme hareketinin doğrusal olmayan denklemleri e = ü (5.11) wı = Tt(u2uJ3 - 3Ü2C12C13) (5.12) ü2 = T2(wıw3 - 3n2CnC13) (5.13) w3 = T3(wıW2 - 3n2CnC12) (5.14) 9t = [sm93(uj1-C31Ü) + cos93(u;2-C32^)}/sme2 (5.15) $2 = cos03(uji - C3ıti) - sin03(u2 - C32&) (5.16) $3 - - [sin 93(uı - C3ıü) + cos 93(cü2 - C^n)] cos 02/ sin 92 +u3 - C33ü (5.17) kullanılmıştır. Başlangıç koşullarının wıo = 0.1O 91Q = 1.00275128tt/4 uj2q = 0.1O 920 = 0.15707510tt/4 uj3Q = 1.10 ö30 = -0.88670852tt/4 alınması durumunda, uydunun dünya etrafında 24 tur dönmesi sırasında 02 açısının aldığı en büyük değer DeBra-Delp bölgesi içindeki her bir (I\,T2) parametre çifti için hesaplanmıştır (Şekil 4). Şekil 3 ve 4 birlikte incelendiğinde, Tkhai teoreminin kullanılmasıyla elde edilen kararlılık bölgelerinin, nütasyon açısının değişimin incelenmesiyle elde edilenlerle uyumlu sonuçlar verdiği anlaşılmaktadır. Dahası, nütasyon açısındaki değişimin incelenmesi DeBra-Delp bölgesini yatay ve düşey olmak üzere iki kararlılık bölgesiyle sınırlandırmaktadır (Şekil 4). Yatay kararlılık bölgesi T\ parametresi boyunca uzanan ve T2 parametresinin yaklaşık -0.05 ve 0.0 değerleriyle sınırlı bölgede yer almaktadır. Düşey kararlılık bölgesi ise, T2 parametresi boyunca uzanan ve 2ı parametresinin yaklaşık 0.0 ve 0.2 değerleriyle sınırlı bölgede oluşmaktadır. T2 parametresinin -0.05 değerinden daha küçük bir değer alması, nütasyon açısının oldukça büyük değerler almasına, dolayısıyla da sistemin kararsız bir hareket yapmasına neden olmaktadır. XVU Şekil 4. DeBra-Delp bölgesindeki nütasyon açısının değişimi. Faz uzayandaki yörüngelerin incelenmesi, dinamik bir sistemin yapısı hakkında önemli bilgiler verebilmektedir, u^ - cj2 faz uzayındaki yörüngelerin incelenmesi sırasında yine (11-17) denklemleri kullanılarak, öncelikle, denge durumundaki değerler başlangıç şartlan olarak seçilerek hem Lagrange hem de DeBra-Delp bölgesinde değişik (Tî,T2) parametreleri için uiı - uj-ı faz uzayında meydana gelen yörüngelerin yapısı incelenmiştir. Daha sonra, hareket denklemleri denge durumundan farklı başlangıç şartlarıyla koşturularak DeBra-Delp bölgesi içindeki yörüngelerin yapısı c^, u;2 başlangıç şartlarına ve T2 parametresine bağlı olarak elde edilmiştir (Şekil 5). Yapılan bu araştırmalar DeBra-Delp bölgesinin kararlılık kanalları içinde, başlangıç koşullarına bağlı olarak, kaotik yörüngelerin belirli bir bölgeyi yoğun bir şekilde taradığını ortaya koymuştur. uiı - LJ2 faz uzayındaki yörüngelerin kaotik olup olmadığının ortaya çıkarılması amacıyla Lyapunov çarpanları da, son nümerik yöntem olarak, hesaplanmıştır. Böylece DeBra-Delp bölgesi içinde başlangıç koşullarının değişimine göre uj\ - u;2 faz uzayında oluşan yörüngelerin yapısının tamamen XV111 kaotik olduğu elde edilen en büyük Lyapunov çarpanının pozitif olmasıyla ortaya konmuştur. Yörüngelerle içi tamemen dolan eliptik yapılarda en büyük Lyapunov çarpanı düzgün bir şekilde azalmakta fakat pozitif kalmaktadır. İnce simitsi yapılarda, en büyük Lyapunov çarpanı sıçramalar yaparak azalmaktadır. Eğer simitsi yapının cidarları kalın ise, bu durumda, en büyük Lyapunov çarpanı düzgün bir şekilde azalmakta ve ikinci Lyapunov çarpanı sürekli pozitif kalmaktadır. Kararsız yörüngelerde ise, sistemin kararsız rejime geçtiği yere kadar en büyük Lyapunov çarpanı düzgün olarak azalmakta, sonra birden sıçramalara başlamaktadır. Sonuç olarak, DeBra-Delp bölgesi içindeki kararlı yörüngelerin haraketi kaotiktir ve bu yörüngelerin oluşturacağı yapılar Lyapunov çarpanlarının incelenmesiyle anlaşılabilir. T, - -0.07 Unstable orbits Border of the stability channel T> - -0.05 Lyapunov stable orbits co2 STABILITY CHANNEL ^ CO, Şekil 5. DeBra-Delp bölgesindeki yörüngelerin yapısı.

The study of the motions of any orbiting satellite about its center of mass constitutes an important problem. The rotational motion of a satellite is highly complex; the geometry and mass distribution can be quite general, the initial data are usually arbitrary, and the stable motion is significantly influenced by a multiplicity of factors. The modern research tools provide new paths of attack and yield some novel results not only for satellite motion but also for celestial bodies. In this study, the attitude stability of a rigid satellite under the influence of the gravitational torques in a circular orbit is investigated by both analytical and numerical approaches. For the analytical approach, the Hamiltonian of the attitude motion of the satellite about an equilibrium point is expanded up to the terms of degree four and is then brought to the Birkhoff normal form. Then, by applying the Tkhai's theorem, which is an extention of the KAM theory, the specific stability problem of DeBra-Delp satellite, for which the linearized techniques for the stability are inconclusive and no Lyapunov function is known, is solved in parameter space. Different numerical approaches are applied to the nonlinear set of equations of the attitude motion for a rigid satellite in a circular orbit. First, the nutation angle variations in DeBra-Delp region is investigated, by which new stability channels for the DeBra-Delp satellites are discovered. Second, phase space analysis is given, in order to understand the structure of the trajectories depending on the initial conditions and the system parameters, by which chaotic solutions are found. Finally, Lyapunov exponents of the system are computed to gain deeper understanding of the chaotic or fractal characteristics of the attitude motion. These approaches applied in this study resolve the questions under discussion and open the door for the stability analysis of higher order conservative systems, not amenable to traditional tools.