Static and dynamic analysis of non-circular helical bars based on exact geometry

Abstract

Helisel geometriler, doğada, teknolojide ve bilim alanlarında, makro ölçekten mikro ölçeğe kadar çeşitli boyutlarda karşımıza çıkmaktadır. Bunları, DNA molekülü, helisel yapıya sahip karbon nanotüpler, helisel polimerler, bina antenleri, helisel aktüatörler, biyomedikal aletler ve nanoparçacıklar, buhar jeneratörleri, mekanik yaylar ve merdivenler diye sıralayabiliriz. Aynı zamanda helis geometrisi, karayolu tasarımı gibi bilgisayar tabanlı tasarımlarda da önemli bir rol almaktadır. Akıllı malzeme kullanım alanlarında ise, ısı yönetimini sağlayabilmek için şekil hafızalı alaşımlardan oluşan helisel erişim düzenekleri sıklık ile kullanılmaktadır. Sağlık alanında, biyomedikal aktif stentlerin yarıçaplarının kontrolü için de helisel iyonik polimerik metal düzenekler kullanılmaktadır. Nükleer endüstride, özellikle gaz soğutma reaktörlerinde, helisel tüp şeklindeki buhar jeneratörleri sıklıkla tercih edilmektedir. Yapı dinamiği alanında ise, yapı üzerindeki deprem etkilerinin azaltılmasına dönük olarak enerjiyi sönümlenmede kullanılmaktadır, örneğin izolatörler. Literatür incelendiğinde, genel helisler (Lancert helis) ile ilgili birden fazla tanımla karşılaşılmaktadır. Bir tanıma göre, bir eğrinin genel helis olabilmesi için gerek ve yeter koşul helise ait eğrilik ve tabii burulma oranının sabit olmasıdır. Bir diğer tanım ise, helisin teğet vektörü ile helis çubuğunun doğrusal ekseni arasındaki açının sabit olmasıdır. Literatür, incelendiğinde dairesel olmayan helisler (Lancert helis) ile ilgili ele alınan kuramsal ve/veya sayısal çalışmaların çoğunda helisel geometrinin tanımlanması yaklaşık geometri üzerinden yapılmaktadır. Öte yandan, kesin geometri tanımına dayandırılmış dairesel olmayan helis geometrisi ile ilgili çalışmaların sayısı ise oldukça sınırlıdır. Bu yüzden, yaklaşık helis geometrisinin geçerli olduğu geometrik parametrelere dayalı aralığın belirlenmesi çok büyük önem taşımaktadır. Bu değerlendirmeyi doğrulamak için yaklaşık ve kesin geometri tanımına dayalı dairesel olmayan helislerin yapısal davranışının hem statik hem de dinamik analiz çerçevesinde incelenmesinin üstünde durulmuştur. Bu tez kapsamında literatüre getirilen yenilik, kesin geometri tanımı ile oluşturulan dairesel olmayan helislerin, geometrik parametreleri (eğrilikler, tur sayısı, yükselme açısı, yarıçaptaki değişim) üzerinden herhangi bir kısıt olmaksızın her türlü dairesel olmayan helisi çok hassas bir biçimde oluşturulabilmek ve çözümünü yapılabilmektir. Şöyle ki; kesin geometriye uydurulmak istenen yaklaşık helis geometrilerinin sözü edilen geometrik parametreler için sınırlı bir bölgede nispeten yeterli yakınsaklıkta sonuç verebilmektedir. Bu tez kapsamında, düzlem eğrisi Archimedean ya da logaritmik spiralden oluşan konik helis geometrileri detaylı olarak incelenmiş, daha sonra, dairesel olmayan helis çubukların statik ve dinamik analizleri karışık sonlu eleman formülasyonu kullanılarak elde edilmiştir. Kayma açısı ve dönel eylemsizliklerin dikkate alındığı Timoshenko çubuk kuramına dayalı eğrisel karışık sonlu eleman formülasyonu kullanılmıştır. Her bir düğüm noktasında on iki adet serbestlik derecesi vardır. Bunlar, üç adet yer değiştirme, üç adet kesit dönmesi, üç adet kuvvet, iki adet eğilme momenti ve bir adet burulma momentidir. Bu tezin en önemli amacı, herhangi bir silindirik olmayan helis geometrisinin literatürde çok yaygın olarak yapıldığı gibi yaklaşık olarak tanımlanması durumunda ne tür yetersizliklerin oluştuğunun belirlenmesiydi. Bunun için öncelikle silindirik olmayan helis geometrisinin kesin olarak ifade edilmesi, bunun sonlu eleman programına tanıtılması gerekti. Daha sonra, bu iki geometrinin birbirlerine hangi geometrik parametreler çerçevesinde yakın olduğu ele alındı ve görüldü ki, yaklaşık geometri için önemli bir takım kısıtlar var. Bu aşamada cevaplanması gereken diğer bir önemli soru ise, geometrik olarak birbirlerine nispeten yakın iken, yapısal parametreler (yer değiştirmeler, dönmeler, kuvvetler, momentler, doğal frekanslar) birbirleri ile ne kadar uyumludur. Birinci hedefte olduğu gibi, ikinci hedef de çok önemli sonuçlar üretti. Tezin bölümleri kısaca özetlenirse; bilindiği gibi yaklaşık helis geometrisi, dairesel helis geometrisinin geometrik fonksiyonları dejenere edilerek oluşturulmaktadır. Dejenere edilen bu geometrik parametreler ise, eğrilik, tabii burulma, kartezyen koordinatlarda yükseklik koordinatı, yükseklik/yükselme açısı fonksiyonu ile kartezyen koordinatlar ve Frenet koordinatlar arasındaki dönüşüm matrisidir. Bölüm 2'de, kesin helis geometrisinin analitik ifadesi dairesel olmayan Lancert tipi helisler için düzlem eğriler (associated plane curves) üzerinden tanımlanmıştır. Kesin ve yaklaşık helis geometrisi Archimedean ya da logaritmik düzlem eğrilerden oluşan konik helisler için detaylı olarak elde edilmiştir. Bölüm 3'de, Timoshenko çubuk kuramına bağlı helisel çubukların alan denklemleri verilmiştir. Statik, serbest titreşim ve zorlanmış titreşim için fonksiyonel sunulmuştur. Sönümlü zorlanmış titreşim analizi zaman uzayında Newmark yöntemi ve Rayleigh sönümü kullanılarak ele alınmıştır. Karışık sonlu eleman formülasyonunda iki düğüm noktalı eğrisel çubuk eleman kullanılmıştır. Karışık sonlu eleman formülasyonu ile zamana bağlı davranış incelenirken, yer değiştirme ve dönmelerin yanı sıra kuvvet ve momentlerin de hız ve ivmelerinin değişimleri incelenebilmektedir. Bölüm 4'de, beş adet parametrik örnek ele alınmıştır. Örnek 4.1'in amacı, Archimedean ya da logaritmik düzlem eğrilerden oluşan iki farklı tipteki konik helisin geometrik olarak üst üste düşmesi için gereken koşulların araştırılmasıdır. Örnek 4.2'de, yaklaşık geometrinin geçerli olduğu sınırları belirlemek için hem Archimedean hem de logaritmik spiralden oluşan iki ayrı konik helis ele alınmıştır. Daha sonra, Archimedean düzlem eğriden oluşan konik helis geometrisinin fonksiyonları (eğrilik, tabii burulma gibi) ile yaklaşık helis geometrisi tarifi parametrik bir çalışma ile detaylı bir şekilde incelenmiştir. Örnek 4.3'ün amacı, kesin helis geometri tarifi üzerinden elde edilen ve Archimedean düzlem eğriden oluşan konik helisin statik ve dinamik analizini incelemektir. Bu amaçla, eğrisel elemana sahip karışık sonlu elemanlar ile ticari paket programlarda kullanılan doğru eksenli yer değiştirme türü sonlu elemanlar kullanılarak sonuçlar elde edilmiş ve birbirleriyle karşılaştırılmıştır. Yer değiştirme türü sonlu eleman için SAP2000 kullanılmıştır. Örnek 4.4'ün amacı, kesin ve yaklaşık helis geometrisinin seçiminin Archimedean düzlem çubuktan oluşan konik helisin statik ve dinamik davranışı üzerindeki etkisini karışık sonlu elemanlar üzerinden incelenmektir. Doğada, birçok malzeme farklı oranlarda sönüm özelliği göstermektedir. Bu durum yapının davranışını önemli ölçüde etkilemektedir. Örnek 4.5'de kesin geometri tanımı üzerinden elde edilen fıçı türü helisin, adım tipi yükleme etkisinde Rayleigh türü sönüm etkisini de dikkate alarak zorlanmış titreşim davranışı incelenmiştir. Rayleigh sönüm katsayıları, yapının birinci ve ikinci doğal açısal frekansları üzerinden elde edilmiştir. Karışık sonlu eleman yöntemi üzerinden elde edilen sonuçlarda, hem eleman sayısı hem de zaman adımı sayısı üzerinden yakınsama analizleri detaylı olarak sunulmuştur. Karışık sonlu elemanlar yöntemi ile elde edilen sonuçlar, akademik boyutu ön planda olan ANSYS programına ait üç boyutlu katı elemanlara (SOLID186 elemanı) ait sonuçlar ile karşılaştırılmıştır. Karışık sonlu eleman yöntemi ile ANSYS sonuçları birbirleri ile çok uyumludur. Tüm sonuçlar ile ilgili geniş yorumlar ve çıkarımlar 5. Bölüm'de kapsamlı olarak yer almaktadır.

Helical geometry is important and frequently used as a strucal members in the field of engineering, e.g., civil engineering, mechanical engineering and biomechanics. Some examples can be given as follows: isolators, dampers, biomedical devices, carbon nanotubes, polymers, sensors, helical shaped actuators, steam generators, mechanical sprigs etc. In structural mechanics, helices are used in order to absorb energy while deforming, e.g. isolator, or, reduced the vibation in constructions and machines. Thus, the precision of the structural analysis of helix is extremely important for the engineering applications. In the literature, there exist many theoretical or numerical studies about static/dynamic analysis of non-circular (Lancert type) helices. In most of these studies, the non-circular helix geometry is defined by approximate helix geometry and only a few studies exist based on exact helix geometry. So, the investigation of the effect of approximate and exact helix geometry definitions on the structural responses of non-circular helices is a necessity. The importance of the dissertation is to show the approximate geometry provides a limited range of non-circular helix geometries while the exact helix geometry provides the necessary geometric precision. For this purpose, the dynamic and static responses of non circular helices are investigated by mixed finite element method. The curved mixed finite element is based on Timoshenko beam theory which considers shear angle and rotary inertias. The degrees of freedom at a node is twelve: three translational displacements, three cross-sectional rotations, three force components, two bending moments and a torque. In Chapter II, the generation procedure of Lancert (general) helix based on exact geometry is given in terms of the associated plane curves of the helix for exact geometrical functions. The approximate geometrical functions of a non-circular helix are obtained by exploiting the exact functions of the circular helix. These functions are the arc length, the curvature, the torsion, the global vertical coordinate, the height/pitch angle, and the transformation matrix between the Frenet frame and the Cartesian coordinate. Exact and approximate geometric functions are given for conical helix geometry based on an Archimedean and/or a logarithmic spiral in detail. In Chapter III, the field equations of helical bar based on Timoshenko beam theory are given. The derivation procedure of the necessary functionals for static, free vibration and forced vibration analyses are summarized based on the published papers of the research group. Newmark's time integration algorithm method oriented to the mixed finite element method is given. In Chapter IV, parametric investigation of five examples are handled. In the Example 4.1, the necessary condition for coincidence of two different types of conical helix based on either an Archimedean spiral or a logarithmic spiral is determined. The objective of the Example 4.2 is to discuss the limitations of approximate geometry for each type of a conical helix over either an Archimedean or a logarithmic spiral. Then, the effect of approximate geometry on the geometrical functions of the conical helix over an Archimedean spiral is presented in detail by comparing the exact results of these functions. The objective of the Example 4.3 is to investigate the static and dynamic analysis of an exact conical helix based on an Archimedean spiral. The convergence performances of, the mixed type curved element (MFE) and displacement type straight element (DFE: SAP2000) are compared with each other. In the Example 4.4, the structural response of exact and approximate helix geometries is compared by each other under dynamic and static analysis. The conical helix geometries are represented over Archimedean spiral. The objective of Example 4.5 is to investigate the damped forced vibration behavior of an exact barrel helical beam by using the Rayleigh damping. Discussion of the results are given in Chapter V.