Nonlineer elastik bir tabakada SH dalgalarının etkileşimi

Abstract

Bu çalışmada, düzgün kalınlıklı hiperelastik malzemeden oluşan bir tabaka içerisinde aynı yönde ilerleyen SH dalgalarının etkileşimi problemi ele alınmıştır. Serbest yüzeylerde gerilmelerin olmadığı kabul edilmiştir. Dalgaların etkileşimi problemi bir asimptotik pertürbasyon metodu olan değişik ölçekler metodu kullanılarak incelenmiştir. Asimptotik analiz neticesinde aynı yönde ilerleyen ve birbirleri ile etkileşen dalgalara ait birinci mertebe yavaş değişen genlik fonksiyonlarının değişimini asimptotik olarak karakterize eden kuple nonlineer Schrödinger (KNLS) denklemleri elde edilmiştir. Sonrasında KNLS denklemlerinin çözümlerinin kararsızlıkları ve solitary dalga çözümlerinin varlığı incelenmiştir. Çalışmamız dört bölümden oluşmaktadır:Giriş bölümünde, elastik dalgalarının yayılmasına yönelik gelişimin tarihi kısaca verilmiştir. İkinci kısımda ise ilk olarak lineer malzemeden oluşan bir tabakada aynı yönde ilerleyen SH dalgalarının yayılımı problemi incelenmiş ve lineer dalgalara ait dispersiyon bağıntısı türetilmiştir. Bilindiği gibi cT ortamda yayılan lineer dalgaların yayılma hızını, c ise SH dalgalarının faz hızını göstermek üzere, tabakada bu tip dalgaların yayılabilmesi için cT < c eşitsizliğinin gerçeklenmesi gerekmektedir. Bu koşul altında, daha sonra nonlineer malzemeden oluşan bir elastik tabakada aynı yönde ilerleyen iki SH dalgasının etkileşimi problemi ele alınmış ve bu problem bir asimptotik pertürbasyon metodu olan değişik ölçekler metodu yardımıyla incelenmiştir. Etkileşen dalgalara ilişkin birinci mertebe yavaş değişen genlik fonksiyonlarını asimptotik olarak karakterize eden nonlineer denklem sistemi, Kuple Nonlineer Schrödinger (KNLS) denklem sistemi, türetilmiştir.Son yıllarda, KNLS denklem sistemi üzerine, denklemlerin solitary dalga ve periyodik çözümleri ve bunlara ilişkin lineer kararlılık analizinin incelendiği birçok çalışma bulmak mümkündür. Solitary zarf çözümlerinin bulunmasında, KNLS sistemini oluşturan denklemlerin lineer ve nonlineer katsayılarının işaretleri büyük önem taşımaktadır. Bölüm 3.3' de bu çalışmaların bazılarından bahsedilerek, solitary dalga çözümlerinin varlığı ve ortamı oluşturan malzemenin nonlineerliğinin aynı yönde ilerleyen ve eşit grup hızlarına sahip dalgaların yayılımı üzerindeki etkisi incelenmiştir.Dördüncü bölümde elde edilen sonuçlar tartışılmıştır.

In this work, the nonlinear interaction of two co-directional shear horizontal (SH) waves in a homogeneous, isotropic elastic plate of uniform thickness is considered. The plate of uniform thickness occupies the region,(1)in the reference frame (X,Y,Z) and it is assumed that the free boundaries Y=±h are free of traction. It is supposed that SH waves propagate along the positive X axis and the displacement of a particle in Z direction. In this case, the wave motionx=X, y=Y, z=Z+u(X,Y,t) (2)can be defined in this form. u is the displacement function of X,Y and t, the time. The governing equation of motion which the terms are not higher than third degree and the boundary conditions can be written as follows;in P(3)on (4)where. (5)In the equation (3), is the propagation velocity of linear waves in the plate. Here, µ is the linear shear modulus of the layer, and ? is the density of the layer. is nonlinear material constant of the constituent material. In the plate, when the material is hardening, then material is softening.To investigate the interaction of two co-directional SH waves which the amplitudes are assumed to be small but finite, the method of multiple scales is used. For this method we introduce the new independent variables,, and ,(i=0,1,2) (6)where {x1,x2,t1,t2} are slowly variables to describe slow variations of the amplitudes whereas {x0,y,t0} characterize the fast variables, and is a small parameter which measures the degree of nonlinearity. Now u is considered to be a function of these new variables and it is expanded in power of ? to the asymptotic series,(7)and we can arrange a transformation between old and new variables as follows:(8)Then writing the equation of motion in (3) and boundary conditions in (4) with considering the terms in (8) by applying (6) and using asymptotic expansion (7) with collecting the terms of some powers in ?, we find a hieararchy of problems which can be determined for un. First three perturbation problems can be given as following:in P (9)on (10)in P (11)on (12)in P (13)on (14)where the linear operators and and the nonlinear operators and are given as follows:,(15)These problems are linear at each step and the first order problem is simply the classical linear wave problem. In the analysis, for the propagation of SH waves, the phase velocity of waves should satisfy the inequalities,cT