İki Boyutlu İki Gruplu Nötron Difüzyon Denkleminin Kuadratik Sınır Elemenları Metodu İle Çözümü

Abstract

Sınır integral denklemi metodu olarak bilinen sınır elemanları yöntemi; mühendislik ve fen alanlarında sınır değer problemlerinin çözümü için kutlanılan güçlü bir metottur. Temeli klasik integral denklemler kavramına dayanır. 1980'li yılların başından beri matematiksel fizik ve mühendisliğin birçok alanmda kullanılmaktadır, tik kez 1978'de G.A. Brebbia tarafından yayınlanan bir kitapta, yeni bir yöntem olarak "BEM" adıyla sunulmuştur. Bu yöntem, giderek sonlu farklar yöntemi ve sonlu elemanlar yöntemi gibi alternatif yöntemlerin yerini almaya başlamıştır. Bu yöntemin temel ilkesi; fiziksel bir problemi betimleyen bir diferansiyel denklemin, Green fonksiyonları aracılığıyla, sadece bölge sınırlarında bilinmeyen içeren bir integral denkleme dönüştürülmesidir. Böylece ortaya çıkan sistemin boyutları, diğer metotlara göre oldukça küçülmekte ve bilgisayar hız zamanı ile önemli derecede azalmaktadır. Bu yöntem, tüm bu avantajlarına rağmen, bazı zorluklarda içermektedir. Bunlardan biri ortaya çıkan sınır integrallerinin bazılarının tekillik içermesidir. Diğeri ise, ortaya çıkan sistemin dolu ve simetrik olmayan bir yapıda olmasıdır., Daha önceki çalışmalarda, nötron difüzyon denkleminin çözümü için sabit ve doğrusal sınır elemanları kullanılmıştı. Ayrıca; iki boyutlu tek gruplu nötron difüzyon denklemi, ikinci derece ( kuadratik ) sınır elemanları kullanılarak çözülmüş ve yöntem BENDQ adlı bilgisayar programında uygulanmıştı. Bu çalışmada ise; iki boyutlu iki gruplu nötron difüzyon denklemi ikinci derece sınır elemanları kullanılarak çözülmüştür. Bunun için daha önce kullanılan BENDQ programı, Sri gruplu difüzyon denklemim çözebilecek şekilde değiştirilerek, BEND2GQ programı oluşturulmuştur. Bu programın tek gruplu difüzyon denklemini de çözebilme yeteneği vardır. BEND2GQ programı, FORTRAN 77 dilinde yazılmış olup, LINUX işletim sistemi altında kişisel bilgisayarlarda çahştınlmıştır. BEND2GQ programı ile gerek sabit kaynak problemleri, gerekse yetkinlik özdeğer problemleri eğri kenarlara sahip sistemler söz konusu olunca da çözümlenebilmektedir. Bu çalışmada tekillik içermeyen sınır integrallerinin hesaplanmasında on noktalı standart Gauss karelemesi, tekillik içeren întegrallerin hesaplanmasında ise yine 10 noktalı logaritmik Gauss karelemesi kullanılmıştır. Ortaya çıkan sistemin çözümü Crout ayrışım metodu kullanılarak çözülmüştür. vnı Bu çalışmanın ilk bölümünde BEM' in tarihsel gelişimi özetlenmiş; metoda alternatif yöntemler sunulmuş, FEM ile BEM metotları karşılaştınlmıştır. İkinci bölümde yöntemin iki gruplu nötron difuzyon denklemine uygulanması üzerine ayrıntılı bilgiler verilmiştir. Üçüncü bölüm bu uygulama sonucu geliştirilen programın dört ayrı problem kullanılarak doğrulanmasını ve çıkan sonuçların analitik sonuçlarla karşılaştırılmasını içerir. Son olarak çalışmadan çıkarılan sonuçlar sunulmuştur.

The boundary element method (BEM-also called the boundary integral equation method ) is a powerful method for the solution of boundary value problems in many branches of science and engineering. Its roots could be traced back to the theory of classical integral equations. It has been applied in many mathematical physics and branches of engineering since the beginning of the 1980's. The term BEM has been used for the first time in G.A. Brebbia's book published in 1980. In time, BEM superseded the alternative methods, namely FDM and FEM in many areas of engineering. In this method, a differential equation which describes a physical problem is converted by means of Green functions into an integral equation containing unknowns only at the system boundary, (a boundary integral equation) Thus, the dimension of the resulting linear system is greatly reduces compared to the alternative methods and the required computer time decreases. Despite its advantages, BEM has some difficulties. First of all, some boundary integral equations contain singular terms. The another one is the linear system which results has a full and nonsymmetric coefficent matrix. Constant and linear boundary elements were used to solve the neutron diffusion equation in preceding studies. Moreover, The Neutron Diffusion Equation in two dimensions and one group was solved by using the quadratic boundary elements and this developed method was implemented a computer program named BENDQ. In this study; the neutron diffusion equation, in two dimensions and two groups, was solved using quadratic boundary elements. For this purpose, the program BENDQ which was used before, has been converted to a form capable of solving two groups diffusion equation. Moreover BEND2GQ still retains the capability of solving one group problems. The program has been written in FORTRAN 77 and run on personel computers under LINUX operating system. BEND2GQ is capable of solving fixed source problems, criticality eigenvalue problems for nuclear systems which may contain curved boundaries. In this study, the integrals, which do not have singular term are approximated by using Gaussian quadrature and the integrals, which have singular term are solved by using logarithmic Gauss quadrature. The number of integration points for both types of Gaussian quadrature were chosen to be 10. The linear system was solved using the Crout algorithm. The first chapter of this theses includes a summary of the historical development of the BEM and a comparison of FEM and BEM as alternative methods. In the second chapter, the application of the method to the neutron diffusion equation is discussed. And last chapter, it involves the presentation of the developed programand its validation by the solution of four problems and comparision with analytical results.