A new anti-windup strategy for fractional order PI controllers

Abstract

Fractional calculus originated in 1695 and was later expanded by various mathematicians. Among the most commonly used fractional-order definitions are the operators proposed by Riemann-Liouville, Grünwald-Letnikov, and Caputo. These formulations extend classical differentiation and integration to non-integer orders, allowing for more flexible and detailed mathematical modeling. In control engineering, fractional-order controllers offer enhanced design flexibility, enabling the development of controllers with improved performance and robustness characteristics. Implementing fractional-order controllers requires certain approximations. One of the most widely adopted methods is proposed by Oustaloup. This aims to construct an integer-order transfer function that closely emulates the frequency response of a fractional-order operator. In control system implementations, various physical constraints must be considered, one of the most significant being actuator limits. These limitations can lead to a phenomenon known as integral windup, which occurs when the control signal produced by the controller exceeds the actuator's physical capabilities. The integrator continues accumulating error, resulting in an excessively large control signal. This mismatch degrades the system response by increasing overshoot, prolonging settling time, and potentially leading to instability. To address this issue, numerous anti-windup techniques have been proposed in the literature. This study focuses on a comparison of four leading and widely used methods: back calculation, automatic reset configuration (ARC), ARC with fractional filter and fractional integral order reset. While most of these techniques are formulated based on integer-order PID structures, some have been adapted or developed for fractional-order controllers. However, these often fall short of leveraging the flexibility offered by fractional calculus. This thesis, firstly, focused on key factors contributing to integral windup. Among these, saturation limits define the physical constraints of the system, while controller parameters, including the proportional gain, integral gain, and integral order, also play a critical role. Each factor influencing the growth of the control signal can worsen windup; however, the effect of the integrator, particularly the order of integrator, is found to be especially significant and is thoroughly investigated in this thesis. To evaluate anti-windup performance, existing methods are tested on first-order plus dead time (FOPDT) systems, which are widely used in control applications due to their ability to capture the dominant behavior of various dynamic systems, facilitate system identification, and approximate higher-order models. The proposed stategy is designed and generalized specifically for such systems, using their characteristic parameters. Two key performance criteria are defined for windup mitigation: the tracking error between the reference and system output, and the magnitude of saturation error. Based on these, a method is proposed in which the fractional integral order is adapted online. By dynamically updating the integral order, the proposed structure improves system performance while suppressing integral windup. The update rule for the integral order relies on two criteria: the tracking error and the saturation error. The variation of these metrics is analyzed in relation to the FOPDT system parameters: the process gain, time constant, and time delay. These relationships are then incorporated into the update rule, allowing the proposed strategy to be expressed as a generalized formulation for FOPDT systems. In conclusion, the proposed strategy has been tested alongside existing approaches on various FOPDT systems. The comparison is based on four performance metrics: overshoot, rise time, settling time, and peak time. The results demonstrate that the proposed approach provides a notable advantage in overshoot suppression and generally yields a more stable system response compared to the other methods.

Kesirli mertebe hesabı, ilk olarak 1695 yılında Leibniz ile L'Hopital arasındaki mektuplaşmalarda ortaya çıkmış ve zamanla matematikçilerin yoğun ilgisini çeken bir araştırma alanı haline gelmiştir. Riemann-Liouville, Grünwald-Letnikov ve Caputo tarafından tanımlanan operatörler, bu alanda en yaygın kullanılan kesirli mertebe tanımlarıdır. Bu tanımlar sayesinde, klasik türev ve integral işlemleri kesirli mertebelere genellenebilmiş, böylece matematiksel tanımların daha esnek ve ayrıntılı ifade edilebilmesine olanak tanınmıştır. 20. yüzyıldan itibaren, kesirli mertebe hesabının mühendislik disiplinlerinde uygulamaları görülmeye başlanmıştır. Başta kontrol, sinyal işleme ve modelleme olmak üzere birçok alanda kesirli mertebe hesabından faydalanılmıştır. Klasik PID kontrolör yapısı, oransal, integral ve türev katsayılarının ayarlanmasına dayanır. Ancak kesirli mertebe kontrolörlerde integral ve türev işlemleri, klasik anlamlarının yanı sıra kesirli mertebelerle tanımlanabilir hale gelmiştir. Bu durum, kontrolör tasarımına iki ek parametre daha kazandırmıştır: integral mertebesi ve türev mertebesi. Örneğin, bir PI kontrolör yapısında klasik olarak iki parametre (oransal ve integral kazanç) ayarlanabilirken, kesirli mertebe PI kontrolörlerde bu sayı üçe çıkar. Bu sayede, kontrolör tasarımında esneklik kazanılmış olur ve özellikle performans ve gürbüzlük açısından daha iyi kontrolörler tasarlanabilir. Kesirli mertebeli kontrolörlerin gerçeklenmesi, belirli yaklaşımlar ile mümkündür. Bu amaçla geliştirilen yaklaşımlar arasında en yaygın olanı, Oustaloup tarafından sunulan yöntemdir. Bu yaklaşım, kesirli mertebeli bir operatörün frekans cevabını en iyi şekilde taklit eden tam sayı mertebeli bir transfer fonksiyonu elde etmeyi hedefler. Kontrol sistemleri çoğunlukla lineer zamanla değişmeyen (LTI) modellerle ifade edilebilir. Ancak bu modeller fiziksel sistemlere uygulanmak istendiğinde, doğrusal olmayan birtakım kısıtlar kendini gösterir. Bu doğrusal olmayan etkilerden biri, aktüatör doygunluğu (saturasyon) olup, kontrol sinyallerinin belirli fiziksel sınırların ötesine geçmesini engeller. Bu durum, kontrol teorisinde "integral yığılması" (integral windup) olarak bilinen probleme yol açar. İntegral yığılması, kontrolörün ürettiği kontrol sinyali ile sistemin fiziksel olarak uygulayabileceği giriş arasında uyuşmazlığı tanımlar. Bu, kontrolörün integral terimi hata sinyalini biriktirerek kontrol sinyalinin aşırı büyümesine sebep olur. Sonuç olarak, sistem cevabı bozulur, aşım artar, yerleşme süresi uzar ve hatta sistem kararsızlığa gidebilir. Bu problemi önlemek için literatürde çeşitli integral yığılması önleyici yöntemler geliştirilmiştir. Bu yöntemlerin büyük bir bölümü tamsayı mertebeli PID kontrolör yapısı esas alınarak formülize edilmiştir. Bazı yöntemler ise kesirli mertebeli kontrolörler için uyarlanmış ya da geliştirilmiştir yötemlerdir. Son dönemde, kesirli mertebeli yapıların karakteristik özelliklerinden faydalanarak, yığılma problemini daha etkin şekilde bastırmayı hedefleyen yöntemler de görülebilmektedir. Fakat bu yaklaşımlar da kesirli mertebe hesabının sağladığı esnekliği yeterince kullanmaktan uzaktır. İntegral yığılması sorununun temelinde, kontrolörün integral bileşenleri yer alır. Tamsayı mertebeli kontrolörlerde bu durum yalnızca integral kazancının manipüle edilebilmesi ile sınırlı biçimde yönetilebilirken, kesirli mertebeli kontrolörlerde integral mertebesi de tasarım parametresi olarak değerlendirilerek daha etkili çözümler geliştirilebilir. Böylece, kontrol performansı ve integral yığılması probleminin çözümü bir arada değerlendirilmiş olunur. Bu çalışmada, integral yığılmasına etki eden başlıca faktörler ele alınmıştır. Bunlardan biri, sistemin fiziksel kısıtlarını belirleyen saturasyon limitleridir. Diğerleri ise kontrolör parametreleridir: oransal katsayı, integral kazanç ve integral mertebesi. Kontrol sinyalinin aşırı büyümesine neden olan her unsur, yığılma problemine katkı sağlar. Fakat kontrolörün integral katkısından gelen etkiler, özellikle önem arz eder. Özellikle integral mertebesinin kritik etkisi çalışmada değerlendirilmiştir. Bu kapsamda, literatürden karşılaştırmak üzere dört yöntem seçilmiştir. Birinci yöntem, geri hesaplama yöntemidir. Geri hesaplama yaklaşımında, saturasyon hatası hesaplanır ve bu nisbette integral kazancı etkisi zayıflatılır. İkinci yöntem, otomatik sıfırlama yapılandırması (automatic reset configuration) yöntemidir. Bu yöntem ise, kontrol çevrimi içerisine bir model saturasyon bloğu eklemeyi ve integral etkisini geri besleme yolu ile saturasyonu denetleyecek hale getirmeyi önerir. Üçüncü yöntem, otomatik sıfırlama yapılandırması (automatic reset configuration) yönteminde önerilen konfigürasyonun önüne bir kesirli mertebeli filtre yerleştirir. Filtre, parametrelerini kontrolörden ve tasarım kriterlerinden alır. Dördüncü ve son yöntem, kesirli integratör sıfırlama yöntemidir. Bu yöntem, integral mertebesini saturasyon varlığında sıfırlama; saturasyonun olmadığı durumlarda ilk tasarım değerine getirme üzerine kuruludur. Bu dört yöntem arasında integral mertebesinin önemi ve etkisini göz ardı etmeyen yegane yöntem dördüncüsüdür. Çalışmada, integral yığılmasını önlemek üzere literatürde mevcut olan yöntemler birinci mertebeden ölü zamanlı sistemler üzerinde karşılaştırılmış; önerilen yöntem ise bu sistemlerin karakteristik parametreleriyle genelleştirilmiştir. Birinci mertebeden ölü zamanlı sistem modeli, kontrolde birçok açıdan önemli ve yaygın kullanıma sahiptir. Bunun nedenleri arasında; dinamik sistem davranışlarının bu tür bir modelle temsil edilebilme kabiliyeti, sistem tanıma için kullanılabilme kolaylığı, yüksek mertebeden sistem modellerinin birinci mertebeden ölü zamanlı sistem modeli ile temsil edilebilmesi gibi nedenler vardır. Yığılmanın baskılanması açısından önemli iki performans ölçütü belirlenmiştir: referans ile sistem yanıtı arasındaki fark ve saturasyon hatasının büyüklüğü. Bu ölçütler temel alınarak, integral mertebesinin çevrim içi olarak uyarlanabildiği yeni bir yöntem geliştirilmiştir. Önerilen yöntemde, kontrolör integral mertebesini gerçek zamanlı olarak değiştirerek hem sistem performansını artırmakta hem de integral yığılmasını bastırmaktadır. İntegral mertebesini güncelleme kuralı iki kritere bağlanmıştır: referans takip hatası ve saturasyon hatası. Bu iki değerin değişiminin birinci mertebeden ölü zamanlı sistem parametreleri olan sistem kazancı, zaman sabiti ve ölü zaman değerleri ile ilişkileri analiz edilmiştir. Bu ilişkiler nisbetinde, güncelleme kuralına sistem parametreleri dahil edilmiştir. Böylece önerilen yöntem, birinci mertebeden ölü zamanlı sistemler için genelleştirilmiş bir ifade halinde sunulmuştur. Sonuç olarak, önerilen yöntem literatürdeki diğer yöntemlerle birlikte çeşitli birinci mertebeden ölü zamanlı sistemler üzerinde test edilmiştir. Karşılaştırmalar; aşım, yükselme zamanı, yerleşme zamanı ve tepe zamanı olmak üzere dört klasik performans ölçütü üzerinden gerçekleştirilmiştir. Elde edilen bulgular, önerilen yöntemin özellikle aşım kontrolü açısından belirgin bir üstünlük sağladığını ve genel anlamda daha stabil sistem yanıtı sunduğunu göstermektedir.