Rastgele alanların ar modellenmesi için dik kafes süzgeci ve spektrum kestirimine uygulanması

Abstract

İki boyutlu dik kafes süzgeçleri, bir boyutlu kafes parametreleri teorisinin doğal uzantısı olarak geliştirilmiştir [131. önerilen yöntem çeyrek düzlem veya asimetrik yarı-düzlem için uygulanabilmektedir. Bu çalışmada, rastgele alanların özbaglanımlı (auto- regressive- AR) modellenmesi için iki boyutlu (2-B) dik kafes süzgeçleri sunulmuş, metodun doğruluğu ve ayrıca spektrum kestiriraine uygulanması simülasyonla desteklenmiştir. Bu- metod ile, matris tersi alınmadan 2-B'lu genişletilmiş normal denklemden, kafes parametreleri kullanılarak kestirim yanılgı süzgeç katsayılarını hesaplamak için matris formunda Levinson algoritmasının -tam çözümü sunul maktadır. Dik kafes süzgecinin spektrura kestirimine uygulanması, parametrik ve yüksek rezolüsyonlu kestirim sınıfına girer. Parametrik olmayan klasik periodogram yöntemi ile kıyaslandığında, kısa veri kayıtları için bu metodun daha etkin olduğu simülasyonla gösterilmiştir. Genişletilmiş normal denklemin oluşturulması için önce çeyrek veya asimetrik-yarı düzlem için, seçilen maskeye göre rekürsif olarak AR veri alanı yaratılır. Yaratılan 2-B'lu AR veri alanı uygun indeksleme ile 1-B'lu gibi düşünülebilir. Yine seçilen indekslemeye bağlı olarak 1. çeyrek düzlem geriye kestirim yanılgı süzgeci, diğer çeyrek düzlemlerde ileri kestirim yanılgı süzgeçlerine karşılık gelir. I Kafes süzgeci analiz ve sentez modeli ile her kademede kafes parametrelerine göre saptanan basit yaklaşımlı kararlılık analizi çalışma kapsamında olup, Cholesky ayrışımı anlamına gelen ileri ve geri yanılgı alanlarının dikliğide tezde sunulmuştur. Burg matris notasyonunun kullanıldığı bu yöntem, da ha kompleks olan verinin verilmesi veya bilinen özilişiki katsayıları durumlarına uygulanabilir, örnek özilişki kat sayılarının kullanılması durumunda algoritmanın Yule-Walker çözümünü verdiği gösterilmiştir. İleri ve geri kestirim alanlarının dikliği, 2-B'lu sistem parametrelerinin çözümünde LMS ve RLS gibi adaptif algoritmaların kullanılmasına olanak sağlayacaktır. -vi-ÖZET İki boyutlu dik kafes süzgeçleri, bir boyutlu kafes parametreleri teorisinin doğal uzantısı olarak geliştirilmiştir [131. önerilen yöntem çeyrek düzlem veya asimetrik yarı-düzlem için uygulanabilmektedir. Bu çalışmada, rastgele alanların özbaglanımlı (auto- regressive- AR) modellenmesi için iki boyutlu (2-B) dik kafes süzgeçleri sunulmuş, metodun doğruluğu ve ayrıca spektrum kestiriraine uygulanması simülasyonla desteklenmiştir. Bu- metod ile, matris tersi alınmadan 2-B'lu genişletilmiş normal denklemden, kafes parametreleri kullanılarak kestirim yanılgı süzgeç katsayılarını hesaplamak için matris formunda Levinson algoritmasının -tam çözümü sunul maktadır. Dik kafes süzgecinin spektrura kestirimine uygulanması, parametrik ve yüksek rezolüsyonlu kestirim sınıfına girer. Parametrik olmayan klasik periodogram yöntemi ile kıyaslandığında, kısa veri kayıtları için bu metodun daha etkin olduğu simülasyonla gösterilmiştir. Genişletilmiş normal denklemin oluşturulması için önce çeyrek veya asimetrik-yarı düzlem için, seçilen maskeye göre rekürsif olarak AR veri alanı yaratılır. Yaratılan 2-B'lu AR veri alanı uygun indeksleme ile 1-B'lu gibi düşünülebilir. Yine seçilen indekslemeye bağlı olarak 1. çeyrek düzlem geriye kestirim yanılgı süzgeci, diğer çeyrek düzlemlerde ileri kestirim yanılgı süzgeçlerine karşılık gelir. I Kafes süzgeci analiz ve sentez modeli ile her kademede kafes parametrelerine göre saptanan basit yaklaşımlı kararlılık analizi çalışma kapsamında olup, Cholesky ayrışımı anlamına gelen ileri ve geri yanılgı alanlarının dikliğide tezde sunulmuştur. Burg matris notasyonunun kullanıldığı bu yöntem, da ha kompleks olan verinin verilmesi veya bilinen özilişiki katsayıları durumlarına uygulanabilir, örnek özilişki kat sayılarının kullanılması durumunda algoritmanın Yule-Walker çözümünü verdiği gösterilmiştir. İleri ve geri kestirim alanlarının dikliği, 2-B'lu sistem parametrelerinin çözümünde LMS ve RLS gibi adaptif algoritmaların kullanılmasına olanak sağlayacaktır. -vi-an interframe predictive coding system based on the 3-D lattice model is presented to demonstrate the usefulness of formulation. In this thesis, the theory developed by Kayran about the orthogonal 2-D lattice structure for AR modeling of random field is investigated for various order filter mo dels and different kind supports. Simulation programmes has been developed to clarify the theory. The validity of the theory has been shown using sample correlations related to the given data. Also simulations concerning sinusoids buried in noise and spectrum estimation problem are inc luded. Two dimensional orthogonal lattice filters are a na tural extension of the one-dimensional lattice parameter theory. The method offers a complete solution for the Le- vinson-type algorithm in matrix form to compute the pre diction error filter coefficients using lattice parame ters from the given 2-D augmented normal equation. The proposed theory can be used for the quarter-plane and half- plane models. Using 2-D orthogonal lattice filter in 2-D spectrum estimation can be classified high resolution and parametric method. For the short data records, this method gives bet ter results than the classical periodogram--or FFT-based methods. If the data size extends then both methods get better but in this situation data may not remain station ary. The procedure starts with creating AR data field according to the prediction region mask which may be quar ter plane or asymmetric half -plane. 2-D AR data field can be considered as 1-D array when the appropriate indexing has been chosen. Depending on the indexing specified, for instance first quadrant backward prediction error filter corresponds to the forward prediction error filters in the second or fourth quadrants. Let's show 2-D AR data in the indexed form as; y0fN(kl,k2)-[y((kl,k2}-0)-y((kl,k2)-l}...y ( (kl,k2) -N)] where subscript 0 and N denotes; the first and the last elements in the array, respectively. The 2-D non-Toeplitz, symmetric correlation matrix; &o,K-E[y0/H(kl/k2) y0*N(kl/k2)] without taking the inverse of correlation matrix, and using the partitioned form like as; £o,m " r0,0 £o,m T ?m,0 rm,mJ j.±0,m -1*». -XX-In the Levinson order-update recursions, one can find general expressions for lattice parameters, forward and backward prediction error fields and error powers in more compact form. For p=l,2,...,m and n=l,2,...,p, lattice parameters; T-F (n) m x J-p-a Ab^"1' Af (a"1) " Eb^"1* The error propagation equations or general form of the orthogonal 2-D lattice filters is given by; (n) fpLn1l(kl,k2) bB{n) (kl,k2) 1 Fbp(n) ?n* (n) x.*-n-n ?p-n 'f^dcl,]^) bpfo_1)(ki,k2) p=l,2,...,m ; n=l,2,...,p, and starting with fp<0> (kl,k2) -bp(0) (kl,k2) -y ( (kl,k2) -p) for p=0,l,...,ra, algorithm starts from the 0-th order and continues up to the m-th order. The prediction error powers can be written as; Ef; Eb (n).P,n (n) i -rbp(n): -A -"-p-n Brp_n Eb^"1* In this study, two example has been given in order to explain the outline of the theory by means of the se cond order quarter-plane model. In additionto these ge neral examples simulation programs to support the theory has been presented in appendix-A. An algorithm for the computation of 2-D forward and backward transfer functions from the given lattice para meters is a part of the study.

Motivated by the success of 1-D lattice structure, in the past decade there has been quite a lot of research effort directed to the development of 2-D equivalent lat tice structures. However, all these formulations are cap able of implementing only a restricted class of transfer functions. In the literature, a fundamental approach to modeling 2-D fields by the reflection coefficients was made by Marzetta [6] who has extended some results in 1-D li near prediction to the 2-D case. He proposed a half -plane support which is infinite in one of the two dimensions. This approach, while maintaining several of the nice cha racteristics of 1-D lattices such as correlation matching and producing a minimum phase filter leads to very long delay filters [11. In brief, Marzetta has given a reflec tion coefficient representation of 2-D minimum phase fil ters. Marzetta' s algorithm has been succesfully applied to 2-D recursive filter design and to linear predictive coding of images [131. A different appproach, proposed by Parker and Kayran ill, simultaneously introduces many points into the sup port when the model order is increased. The filter uses a quarter plane support and introduces three parameters at each order update. Therefore, it lacks sufficient para meters to represent all classes of 2-D AR quarter-plane filters. It can repesent only a subset of all AR filters of the same order. More importantly, it lacks the property of orthogonality so that the cascading of stages may not lead to an optimum filter. However, its simplicity is attractive and good results have been reported using this approach [2], [8], [91. Recently, Ertüzün [10] et al. presented a new and improved lattice structure developed from the three parameter lattice filter. It was shown that this new structure approximates the maximum entropy more closely compared to the three-parameter structure. The increase in entropy naturally leads to a more reliable and better modeling of AR data fields. A relation between multichannel 1-D AR model and single channel 2-D models with quadrant support is pro posed by Therrien [111 where simultaneous computation of all four quarter plane filters are possible. This method is generalized to multichannel 2-D models and applied to the problem qf estimating of the 2-D auto-spectral and cross spectral componenets [ 1 J3 Kwan and Lui [12], developed the 2-D quarter-plane AR lattice parameter modeling of 2-D fields to three dimen sional (3-D) case with cubic-space support. Starting from the original 3-D random field, eight prediction error fields are generated at each lattice stage. The relation ships between the prediction errors of successive lattice stage is defined by seven reflection coefficients.