Weyl uzaylarında sonsuz küçük dönüşümler

Abstract

Bu çalışmada Weyl uzaylarında sonsuz küçük konform dönüşümler incelenmiş ve reküran Weyl uzaylarında sonsuz küçük dönüşümler hakkında teoremler ispatlanmıştır. Burulmasız bir konneksiyona sahip n-boyutlu bir Wn manifoldunda, gij konform metrik tensörü ile Dk konneksiyonu arasında Dkgij - IT^g^ - 0 uygunluk koşulu varsa, Wn manifolduna bir Weyl Uzayı denir. Burada Tk bir kovaryant vektör alanı olup Weyl uzayının komplemanter vektörü veya normalizatörü adını alır. Bu çalışmanın birinci bölümünde Weyl uzaylarına ait bazı temel kavramlara yer verilmiştir. Ayrıca iki Weyl uzayı arasındaki konform bir dönüşüm altında invaryant kalan konform eğrilik tensörünün tanımı verilmiş, her reküran Weyl uzayının aynı zamanda konform reküran Weyl uzayı olduğu ispatlanmıştır. ikinci bölümde ise burulmasız lineer bir konneksiyona sahip manifoldlarda ve özel olarak Riemann uzaylarında Lie türevi yardımıyla sonsuz küçük dönüşümlerle ilgili bilinen tanım ve teoremlere yer verilmiştir. C°° sınıfından n-boyutlu Rn Riemann uzayında T : e = fx(C) = T + vxdt, (Det(dxn * 0) (1) şeklindeki sonsuz küçük dönüşümün Rn de bir hareket olması için gerek ve yeter koşul g\x in vx vektör alanına göre Lie türevinin sıfır olması, yani Cgxx = 0 (2) V olmasıdır. Eğer bu dönüşüm, skaler bir fonksiyon olmak üzere, Cg\x = 24>g\x (3) V koşulunu sağlıyorsa, bu sonsuz küçük dönüşüme konform hareket denir. iv An koordinatları x% olan burulmasız lineer bir Ljk konneksiyonuna sahip n-boyutlu bir manifold olsun. v% kontravaryant bir vektör alanı olmak üzere xl = f%{x^) = x1 + v%dt sonsuz küçük dönüşümü CÛjk = 0 (4) V J koşulunu sağlıyorsa, bu dönüşüme afin hareket denir. TEOREM 1. Rn Riemann manifoldunda sonsuz küçük her hareket aynı zamanda bir afin harekettir. Bu çalışmanın üçüncü bölümde Weyl uzaylarında sonsuz küçük dönüşümler incelenmiştir. Bu inceleme yapılırken genelleştirilmiş Lie türevi tanımlanmış ve uyduların ağırlığını koruma özelliğinden yararlanılmıştır. TANIM 1. A, gij tensörünün {p} ağırlıklı uydusu olmak üzere CA = jCA-pTkvkA (5) V V şeklinde tanımlanan LA ifadesine, A'mn genelleştirilmiş Lie türevi denir. V Bir sonsuz küçük dönüşümün Wn Weyl uzayında bir konform hareket olması için gerek ve yeter koşul £gij = 2gij, { = Tkvk) (6) V dır. Bu koşul, genelleştirilmiş Lie türevi yardımıyla Cg^ = 0 şeklinde verilebilir. V Bundan yararlanarak aşağıdaki teoremler ispatlanmıştır: TEOREM 2. Bir Wn Weyl uzayında her sonsuz küçük konform hareket bir afin hareket ise, CTk bir gradyan vektördür. V TEOREM 3. Bir Weyl uzayında sonsuz küçük konform hareket tammlanabiliyorsa CWlijk = 0 (7) dir. Burada W\,k, Wn in konform eğrilik tensörünü göstermektedir. TEOREM 4. Wn, t>ıR%h = A-Ry* (Ph ¥> 0) Şartını sağlayan ve sonsuz küçük konform dönüşüm tanımlanabilen reküran bir Weyl uzayı ise QhCŞh + 2ühQh = 0 (Üh ^ 0) (8) V veya W^k = 0 dır. TEOREM 5. Wn düz olmayan reküran bir Weyl uzayı olsun. Bu uzayda bir sonsuz küçük afin dönüşüm tanımlanabiliyor ise, CPh = 0 (9) V dir.

In this work, motions in some special Weyl spaces are examined by using the properties of the prolonged Lie derivative and some theorems about recurrent Weyl spaces are obtained. An n-dimensional manifold Wn with an affine torsion-free connection D is said to be a Weyl space if it has a conformal metric g (which is preserved by D) satisfying the compatibility condition given by D^g^ - 2Tkgij = 0 where Tk denotes a covariant vector. A quantity.A is called a pseudo-quantity with weight {p} of the tensor 3^, if it admits a transformation of the form A = XPA, under the renormalization ğij = A2^- of the metric tensor 5^. The prolonged covariant derivative of a pseudo-quantity A of the tensor gij with weight {p} is defined by DkA - DkA - pTkA. In the first chapter of this work, the well known definitions and theorems about Weyl spaces are given and proved that a recurrent Weyl space is conformally recurrent. In the second chapter, infinitesimal transformations are investigated in a space with a torsion-free lineer connection by using the usual Lie derivative, C with respect to V a covariant vector field v. As a special case, if Rn is an n-dimensional Riemannian space of class C°°, then an infinitesimal transformation t ?. e' = no = e + «?*, {Det^n ± o) (io) is considered, where vx is a contravariant vector field. In Rn an infinitesimal transformation is a motion if and only if CgXx = 0. (11) Moreover, an infinitesimal transformation is a conformal motion in Rn if and only if £>9\x = 200ax, (12) V VI where 0 is a scalar function. Let An be an n-dimensional manifold with a torsion-free lineer connection V with connection coefficients L%ik and let xl = f*(x^) = xl + vldt be an infinitesimal transformation on An, where v% is a contravariant vector field. If CL)k = 0, (13) then this transformation is called as an affine motion. Then the well-known theorem about Riemannian spaces is proved. THEOREM 1. A motion in a Riemannian space is an affine motion. In the third chapter, motions in Weyl spaces are examined by using the so-called prolonged Lie derivative. DEFINITION 1. The prolonged Lie derivative of a pseudo-quantity A of the tensor gij with weight p is CA = CA-pTkvkA, (14) V V where C is the usual Lie derivative with respect to vl. V Infinitesimal motions inWn are examined by the help of prolonged Lie derivative, since the prolonged Lie derivative preserves the weights. An infinitesimal transformation in Wn is a conformal motion if and only if Cgij = 2gij (15) V where 0 = TkVk, which can be rewritten as: Cg^ = 0. V Hence we have the following theorem for Weyl spaces. THEOREM 2. In Wn, if every infinitesimal conformal transformation is affine, then CTk is a locally gradient vector. V Then it is proved that if Wn admits an infinitesimal conformal transformation then, CWljk = 0 (16) where W-jk is the conformal curvature tensor of Wn. Therefore we have the following theorems in recurrent Weyl Spaces. THEOREM 3. Let Wn be a recurrent Weyl space with İ)hR\jk = ŞhR\jk. If Wn admits infinitesimal conformal motion, then either Wn is conformally Euclidian or nht/3h + 2ühnh = 0 (17) V Vİİ where Clh = Dh - CTh ^ 0. V THEOREM 4. Let Wn be a non-flat recurrent Weyl space. If Wn admits an infinitesimal affine transformation, then tph = 0.