Dik kafes süzgeçleri kullanarak 2-boyutlu spektrum kestirimi

Abstract

Sınırlı veri uzunluğuna sahip rastgele alanlarının özbağınımlı modellemesi için geliştirilen 2-Boyutlu dik kafes süzgeçleri kullanarak 2-Boyutlu maksimum likelihood (ML: en büyük benzerlik) spektrum kestirimi elde edilebileceği gösterilmiştir. Rastgele veri alanının 2-Boyutta ML metodu ile spektrumunu kestirmek için 2- Boyutlu çok dar bandlı nedensel FIR süzgeç kullanılır. Girişe uygulanacak rasgele veri alanının kestirilmek istenen frekans bileşenleri için süzgeç kazancı bire eşit yapılırken diğer tüm frekans bileşenlerinin gücü minimize edilir ve süzgeç katsayıları belirlenir. ML ve maksimum entropi (ME) yöntemleri arasındaki ilişkiden; ML spektrum kestiriminin, ME yönteminde tüm dereceler için elde edilen spektrum kestirimlerinin bir çeşit ortalamasına eşit olduğu gösterilebilir. Elde edilen ML spektrum kestirimleri ME ye göre daha düşük rezolüsyona sahiptir. Bunun nedeni en düşük rezolüsyonlu ME spektrumu ile en yüksek rezolüsyonlu ME spektrumu arasındaki spektrumların ortalamasının alınması sırasında oluşan parelel direnç etkisidir. Süzgeç girişindeki 2-Boyutlu rasgele veri alanının simetrik özilişki matrisi, matris tersi alınmadan ayrıştırılmakta ve sonlandırılmamış kestirim yanılgı süzgeç katsayılarının uygun düzenlenmesiyle dik tabanlardaki 2-Boyutlu doğrusal kestirimcilerin nasıl gerçekleştirildiği gösterilmiştir. 2-Boyutlu genişletilmiş normal denklemler kullanılarak kestirim yanılgı süzgeç katsayıları ile süzgecin sonlandırılmamış çıkışlarına ilişkin katsayılar hesaplanmıştır. Sonlandırılmamış çıkışlar kullanılarak süzgecin her aşaması için elde edilen spektrumların toplamlarının ML spektrum kestirimine eşdeğer olduğu gösterilmiştir. İki ve üç sinüs işareti kullanılarak 2-Boyutlu ML yöntemi ile bilgisayar simülasyonlarından elde edilen spektrum kestirirlerinin kafes süzgecin derecesine, sinüslerin birbirlerine olan uzaklığına, veri boyutuna ve ortam gürültüsüne bağlı olduğu görülmüştür. Kısa veri kayıtlan için dik kafes süzgecin ML kestirimi ve yaklaşık ME kestirimi, Fourier dönüşüm tabanlı klasik metoddan daha iyi sonuç vermektedir. Ancak veri boyutu arttırıldığında Fourier dönüşüm tekniği kullanan klasik metodunun performansının daha iyi olduğu görülmüştür. ML metodu; ME metoduna göre daha az işlem yoğunluğuna sahip olması ve kısa veri kayıtlarında FFT tabanlı klasik metoddan daha yüksek rezolüsyona sahip olması nedeniyle bir çok pratik uygulamada örneğin alçaktan uçan uçağın yön parametrelerinin saptanmasında kullanılabilir. estimation methods. When not much data are available and high resolution is required, the Maximum Entropy (ME) method should be considered. Although the ME method has significantly better resolution characteristics than the Maximum Likelihood (ML) method, its computational requirements are orders of magnitude greater than those of the ML method Therefore, in many practical applications such as the problem of determining the direction parameters of low flying aircraft, the ML method is used to obtain higher resolution than Fourier transform-based conventional techniques. The 1-D lattice filter algorithm is a unified recursive technique to estimate coefficients of a broad class of linear models. The theory of the 1-D models is well developed and has found numerous applications in various disciplines. In particular, it has become universal to use the 1-D lattice filter for the analysis and synthesis of speech. Lattice- form algorithms are simple to implement, exhibit excellent numerical behavior, and have a modular structure that makes them attractive candidates for VLSI implementation. The great interest in the lattice approach stems from its property of orthogonality. This property allows the filter to be updated in order, without recalculation of the previous lower order filter coefficients. Orthogonality also leads to a nice physical structure -a cascade of first order sections- and is therefore, appropriate for efficient hardware or software implementations. Finally, it has been shown that the lattice owes its robust numerical behavior to this property of orthogonality. Motivated by the success of 1-D lattice structure, in the past 10 years, there has been quite a lot of research effort directed to the development of 2-D equivalent lattice structures. However, all these formulations are capable of implementing only a restricted class of transfer functions. In the literature, a fundamental approach to modeling 2-D fields by the reflection coefficients was by Marzetta [makalede2 ], who has extended some results in 1-D linear prediction to the 2-D case. He proposed a half-plane support that is finite in one of the two dimensions. This approach, while maintaining several of the nice characteristics of 1-D lattices, such as correlation matching and producing a minimum phase filter, leads to very long delay filters. Marzetta's algorithm has been successfully applied to 2-D recursive filter design and to linear predictive coding of images. A different approach, which has been proposed by Parker and Kayran, simultaneously introduces many points into the support when the model order is increased. The filter uses a quarter-plane support and introduces three parameters at each order update. Therefore, it lacks sufficient parameters to represent all classes of 2-D AR quarter- plane filters. More importantly, it lacks the property of orthogonality, and therefore, the cascading of stages may not lead to an optimum filter. However, its simplicity is attractive, and good results have been reported using this approach. Recently, Ertüzûn et al. presented a new and improved lattice structure developed from the three-parameter lattice filter. It was shown that this new structure approximates the maximum entropy more closely compared with the tree-parameter structure. The xu ÖZET Sınırlı veri uzunluğuna sahip rastgele alanlarının özbağınımlı modellemesi için geliştirilen 2-Boyutlu dik kafes süzgeçleri kullanarak 2-Boyutlu maksimum likelihood (ML: en büyük benzerlik) spektrum kestirimi elde edilebileceği gösterilmiştir. Rastgele veri alanının 2-Boyutta ML metodu ile spektrumunu kestirmek için 2- Boyutlu çok dar bandlı nedensel FIR süzgeç kullanılır. Girişe uygulanacak rasgele veri alanının kestirilmek istenen frekans bileşenleri için süzgeç kazancı bire eşit yapılırken diğer tüm frekans bileşenlerinin gücü minimize edilir ve süzgeç katsayıları belirlenir. ML ve maksimum entropi (ME) yöntemleri arasındaki ilişkiden; ML spektrum kestiriminin, ME yönteminde tüm dereceler için elde edilen spektrum kestirimlerinin bir çeşit ortalamasına eşit olduğu gösterilebilir. Elde edilen ML spektrum kestirimleri ME ye göre daha düşük rezolüsyona sahiptir. Bunun nedeni en düşük rezolüsyonlu ME spektrumu ile en yüksek rezolüsyonlu ME spektrumu arasındaki spektrumların ortalamasının alınması sırasında oluşan parelel direnç etkisidir. Süzgeç girişindeki 2-Boyutlu rasgele veri alanının simetrik özilişki matrisi, matris tersi alınmadan ayrıştırılmakta ve sonlandırılmamış kestirim yanılgı süzgeç katsayılarının uygun düzenlenmesiyle dik tabanlardaki 2-Boyutlu doğrusal kestirimcilerin nasıl gerçekleştirildiği gösterilmiştir. 2-Boyutlu genişletilmiş normal denklemler kullanılarak kestirim yanılgı süzgeç katsayıları ile süzgecin sonlandırılmamış çıkışlarına ilişkin katsayılar hesaplanmıştır. Sonlandırılmamış çıkışlar kullanılarak süzgecin her aşaması için elde edilen spektrumların toplamlarının ML spektrum kestirimine eşdeğer olduğu gösterilmiştir. İki ve üç sinüs işareti kullanılarak 2-Boyutlu ML yöntemi ile bilgisayar simülasyonlarından elde edilen spektrum kestirirlerinin kafes süzgecin derecesine, sinüslerin birbirlerine olan uzaklığına, veri boyutuna ve ortam gürültüsüne bağlı olduğu görülmüştür. Kısa veri kayıtlan için dik kafes süzgecin ML kestirimi ve yaklaşık ME kestirimi, Fourier dönüşüm tabanlı klasik metoddan daha iyi sonuç vermektedir. Ancak veri boyutu arttırıldığında Fourier dönüşüm tekniği kullanan klasik metodunun performansının daha iyi olduğu görülmüştür. ML metodu; ME metoduna göre daha az işlem yoğunluğuna sahip olması ve kısa veri kayıtlarında FFT tabanlı klasik metoddan daha yüksek rezolüsyona sahip olması nedeniyle bir çok pratik uygulamada örneğin alçaktan uçan uçağın yön parametrelerinin saptanmasında kullanılabilir. estimation methods. When not much data are available and high resolution is required, the Maximum Entropy (ME) method should be considered. Although the ME method has significantly better resolution characteristics than the Maximum Likelihood (ML) method, its computational requirements are orders of magnitude greater than those of the ML method Therefore, in many practical applications such as the problem of determining the direction parameters of low flying aircraft, the ML method is used to obtain higher resolution than Fourier transform-based conventional techniques. The 1-D lattice filter algorithm is a unified recursive technique to estimate coefficients of a broad class of linear models. The theory of the 1-D models is well developed and has found numerous applications in various disciplines. In particular, it has become universal to use the 1-D lattice filter for the analysis and synthesis of speech. Lattice- form algorithms are simple to implement, exhibit excellent numerical behavior, and have a modular structure that makes them attractive candidates for VLSI implementation. The great interest in the lattice approach stems from its property of orthogonality. This property allows the filter to be updated in order, without recalculation of the previous lower order filter coefficients. Orthogonality also leads to a nice physical structure -a cascade of first order sections- and is therefore, appropriate for efficient hardware or software implementations. Finally, it has been shown that the lattice owes its robust numerical behavior to this property of orthogonality. Motivated by the success of 1-D lattice structure, in the past 10 years, there has been quite a lot of research effort directed to the development of 2-D equivalent lattice structures. However, all these formulations are capable of implementing only a restricted class of transfer functions. In the literature, a fundamental approach to modeling 2-D fields by the reflection coefficients was by Marzetta [makalede2 ], who has extended some results in 1-D linear prediction to the 2-D case. He proposed a half-plane support that is finite in one of the two dimensions. This approach, while maintaining several of the nice characteristics of 1-D lattices, such as correlation matching and producing a minimum phase filter, leads to very long delay filters. Marzetta's algorithm has been successfully applied to 2-D recursive filter design and to linear predictive coding of images. A different approach, which has been proposed by Parker and Kayran, simultaneously introduces many points into the support when the model order is increased. The filter uses a quarter-plane support and introduces three parameters at each order update. Therefore, it lacks sufficient parameters to represent all classes of 2-D AR quarter- plane filters. More importantly, it lacks the property of orthogonality, and therefore, the cascading of stages may not lead to an optimum filter. However, its simplicity is attractive, and good results have been reported using this approach. Recently, Ertüzûn et al. presented a new and improved lattice structure developed from the three-parameter lattice filter. It was shown that this new structure approximates the maximum entropy more closely compared with the tree-parameter structure. The xu ÖZET Sınırlı veri uzunluğuna sahip rastgele alanlarının özbağınımlı modellemesi için geliştirilen 2-Boyutlu dik kafes süzgeçleri kullanarak 2-Boyutlu maksimum likelihood (ML: en büyük benzerlik) spektrum kestirimi elde edilebileceği gösterilmiştir. Rastgele veri alanının 2-Boyutta ML metodu ile spektrumunu kestirmek için 2- Boyutlu çok dar bandlı nedensel FIR süzgeç kullanılır. Girişe uygulanacak rasgele veri alanının kestirilmek istenen frekans bileşenleri için süzgeç kazancı bire eşit yapılırken diğer tüm frekans bileşenlerinin gücü minimize edilir ve süzgeç katsayıları belirlenir. ML ve maksimum entropi (ME) yöntemleri arasındaki ilişkiden; ML spektrum kestiriminin, ME yönteminde tüm dereceler için elde edilen spektrum kestirimlerinin bir çeşit ortalamasına eşit olduğu gösterilebilir. Elde edilen ML spektrum kestirimleri ME ye göre daha düşük rezolüsyona sahiptir. Bunun nedeni en düşük rezolüsyonlu ME spektrumu ile en yüksek rezolüsyonlu ME spektrumu arasındaki spektrumların ortalamasının alınması sırasında oluşan parelel direnç etkisidir. Süzgeç girişindeki 2-Boyutlu rasgele veri alanının simetrik özilişki matrisi, matris tersi alınmadan ayrıştırılmakta ve sonlandırılmamış kestirim yanılgı süzgeç katsayılarının uygun düzenlenmesiyle dik tabanlardaki 2-Boyutlu doğrusal kestirimcilerin nasıl gerçekleştirildiği gösterilmiştir. 2-Boyutlu genişletilmiş normal denklemler kullanılarak kestirim yanılgı süzgeç katsayıları ile süzgecin sonlandırılmamış çıkışlarına ilişkin katsayılar hesaplanmıştır. Sonlandırılmamış çıkışlar kullanılarak süzgecin her aşaması için elde edilen spektrumların toplamlarının ML spektrum kestirimine eşdeğer olduğu gösterilmiştir. İki ve üç sinüs işareti kullanılarak 2-Boyutlu ML yöntemi ile bilgisayar simülasyonlarından elde edilen spektrum kestirirlerinin kafes süzgecin derecesine, sinüslerin birbirlerine olan uzaklığına, veri boyutuna ve ortam gürültüsüne bağlı olduğu görülmüştür. Kısa veri kayıtlan için dik kafes süzgecin ML kestirimi ve yaklaşık ME kestirimi, Fourier dönüşüm tabanlı klasik metoddan daha iyi sonuç vermektedir. Ancak veri boyutu arttırıldığında Fourier dönüşüm tekniği kullanan klasik metodunun performansının daha iyi olduğu görülmüştür. ML metodu; ME metoduna göre daha az işlem yoğunluğuna sahip olması ve kısa veri kayıtlarında FFT tabanlı klasik metoddan daha yüksek rezolüsyona sahip olması nedeniyle bir çok pratik uygulamada örneğin alçaktan uçan uçağın yön parametrelerinin saptanmasında kullanılabilir. estimation methods. When not much data are available and high resolution is required, the Maximum Entropy (ME) method should be considered. Although the ME method has significantly better resolution characteristics than the Maximum Likelihood (ML) method, its computational requirements are orders of magnitude greater than those of the ML method Therefore, in many practical applications such as the problem of determining the direction parameters of low flying aircraft, the ML method is used to obtain higher resolution than Fourier transform-based conventional techniques. The 1-D lattice filter algorithm is a unified recursive technique to estimate coefficients of a broad class of linear models. The theory of the 1-D models is well developed and has found numerous applications in various disciplines. In particular, it has become universal to use the 1-D lattice filter for the analysis and synthesis of speech. Lattice- form algorithms are simple to implement, exhibit excellent numerical behavior, and have a modular structure that makes them attractive candidates for VLSI implementation. The great interest in the lattice approach stems from its property of orthogonality. This property allows the filter to be updated in order, without recalculation of the previous lower order filter coefficients. Orthogonality also leads to a nice physical structure -a cascade of first order sections- and is therefore, appropriate for efficient hardware or software implementations. Finally, it has been shown that the lattice owes its robust numerical behavior to this property of orthogonality. Motivated by the success of 1-D lattice structure, in the past 10 years, there has been quite a lot of research effort directed to the development of 2-D equivalent lattice structures. However, all these formulations are capable of implementing only a restricted class of transfer functions. In the literature, a fundamental approach to modeling 2-D fields by the reflection coefficients was by Marzetta [makalede2 ], who has extended some results in 1-D linear prediction to the 2-D case. He proposed a half-plane support that is finite in one of the two dimensions. This approach, while maintaining several of the nice characteristics of 1-D lattices, such as correlation matching and producing a minimum phase filter, leads to very long delay filters. Marzetta's algorithm has been successfully applied to 2-D recursive filter design and to linear predictive coding of images. A different approach, which has been proposed by Parker and Kayran, simultaneously introduces many points into the support when the model order is increased. The filter uses a quarter-plane support and introduces three parameters at each order update. Therefore, it lacks sufficient parameters to represent all classes of 2-D AR quarter- plane filters. More importantly, it lacks the property of orthogonality, and therefore, the cascading of stages may not lead to an optimum filter. However, its simplicity is attractive, and good results have been reported using this approach. Recently, Ertüzûn et al. presented a new and improved lattice structure developed from the three-parameter lattice filter. It was shown that this new structure approximates the maximum entropy more closely compared with the tree-parameter structure.