Analysis of wave propagation characteristics and design Methods in two dimensional photonic bandgap structures

Abstract

Son yıllarda gelişen kablolu ve kablosuz haberleşme teknolojileriyle birlikte yüksek bant genişliğine ihtiyaç duyan uygulamaların kullanımı artmış, bu da beraberinde veri kullanım oranının yükselmesine sebep olmuştur. Bu durum taşıyıcı ortamda bant genişliklerinin etkin kullanımı gereksinimini doğurmuştur. Genellikle GHz bölgesindeki frekanslarda veri iletiminde, sınırlanmış kesite sahip tek iletkenli veya dielektrik dolu yapılar kullanılarak elektromanyetik dalganın kılavuzlanması sağlanmaktadır. Benzer şekilde optik frekanslarda da iletken duvarı olmayan dielektrik tabaka ve çubuklar da temelde dielektrik ortama sınırlanmış veya kılavuzlanmış dalga modlarını destekleyebilmektedir. Böylece THz bölgesindeki frekanslarda malzemelerin dielektrik geçirgenliklerine göre mikrometre ve daha küçük boyutlarda optik dalga kılavuzları, kaviteler ve rezonatörler gibi uygulamalar tasarlanabilmektedir. Dalga kılavuzlarının bir alt araştırma konusu olan periyodik katmanlı yapılarda dalga propagasyonu uzun yıllardır bilim insanları ve mühendislerin ilgisini çekmiştir. Haberleşme teknolojilerinde ise periyodik yapılar, mikrodalgadan optik frekansa kadar değişen geniş bir frekans bölgesinde elektromanyetik dalganın iletimi, yansıması ve kılavuzlanması gibi temel mühendislik problemlerinde yer bulmuştur. Periyodik yapıların tasarımında kullanılan çeşitli metalik ve dielektrik malzemeler arasında fotonik kristaller, fabrikasyon sonucu her üç boyutta da periyodiklik özelliği kazandırılabilen yapılardır. Fotonik kristallerin teknolojik olarak çok sayıda uygulama alanı bulunması ile birlikte haberleşme, elektronik devreler ve tıp uygulamaları gibi alt başlıklarda yoğun olarak incelenmektedir. Değişen dielektrik özellikleri ile periyodik olarak dizilimleri sonucu belirli frekans bölgesinde sergiledikleri iletim/durdurma karakteristikleri (fotonik bant aralığı, PBG) sebebiyle THz bölgesindeki uygulamalarda popüler olarak tercih edilen malzemeler arasındadır. Fotonik kristaller istenen bant aralığı özelliklerini sergilemek üzere uyarlanabilmektedir. Bir boyutlu (1D), iki boyutlu (2D) ve üç boyutlu (3D) fotonik kristallerin periyodik, yarı-periyodik, kare, üçgen vb. örgü yapılarında dizilimleri sonucu ortaya çıkan bant yapılarının belirlenmesi, iletim-yansıma katsayılarının hesaplanması ve analizi üzerine kayda değer sayıda çalışmalar yapılmıştır. En basit haliyle farklı kırılma indisine sahip dielektrik malzemelerin farklı dizilimlerde uygun şekilde tasarımı ile ışığın istenen doğrultu ve belirli frekans bölgesinde ilerleyebilmesini/sınırlandırılmasını sağlayan yapıların analizi, gerçekleme ve simülasyon çalışmaları bu alandaki en önemli araştırma konuları haline gelmiştir. Günümüzde nanometre boyutlarında malzemelerin fabrikasyonunda elde edilen iyileştirmeler sayesinde düşük güçle çalışan ve optik spektrumun verimli kullanılmasını sağlayacak fotonik kristal temelli optik filtreler, dalga kılavuzları, elektro-optik modülatörler, güç bölücüler, kutuplayıcılar, algılayıcılar gibi bileşenlerin tasarlanması mümkün olmuştur. Fotonik kristallerin bant yapısının belirlenmesi birçok mühendislik uygulamasında ve tasarım probleminde önemli rol oynamaktadır. Hassas fabrikasyon süreci öncesinde tasarım aşamasında gerek duyulan sayısız modelleme işlemine hızlı tepki verecek etkin bir matematiksel model arayışı literatürde bulunan çalışmalarda farklı bakış açıları ile incelenmeye devam etmektedir. Periyodik yapıların dalga propagasyonu problemini çözmek için sonlu sayıda birim hücre içeren sonlu periyodik yapılar ve sonsuz sayıda kaskat bağlı birim hücreden oluştuğu varsayılan yapılar referans alınmaktadır. Sonlu periyodik yapıda (yarı-periyodik) birim hücre yaklaşımı, yapının dispersiyon karakteristiği için yaklaşık bir çözüm sağlamakta olup bu yaklaşımın doğruluğu da kullanılan birim hücre sayısı artırılarak yükseltilebilmektedir. Fakat birim hücre sayısının artması cevabın doğruluğunu artırırken, hesaplama yükündeki artışı da beraberinde getirmektedir. Literatürde yer alan geleneksel yaklaşımlar özdeğer denkleminin çözümüne dayanan yöntemlerdir. Bu yaklaşım özellikle katman arayüz geçişlerinde çok sayıda özdeğer denkleminin hesaplanmasını gerektirdiğinden verimsiz hale gelmekte ve hesap uzayında büyük bellek kaynakları gerektirmektedir. Bu sebeple tez çalışmasında, fotonik bant aralığı karakteristiklerini belirlemeyi sağlayacak alternatif yöntemler araştırılmış ve geliştirilmiştir. Bu bağlamda mikrodalga tekniği çerçevesinde daha önce geliştirilen genelleştirilmiş saçılma matrisi kullanılarak iletim/durdurma bant bölgelerinin kestirimi yöntemi optik THz bölgesine uygulanarak iki boyutlu periyodik yapının bant aralığı analizine genişletilmiş ve bu bölgedeki tasarım çalışmalarına entegre edilmiştir. Fotonik bant aralığı yapısının tam dalga analizi sonsuz periyodik yapıda desteklenen Floquet modları hesaplanarak, başka bir deyişle sonsuz periyodiklikte olduğu varsayılan birim hücre için izin verilen veya sınırlanan bant kenar frekansları bulunarak ele alınır. Böylece sonsuz periyodik birim hücreden oluşan yapının iletim/durdurma bant bölgelerinin belirlenmesi Floquet koşulu altında birim hücrenin özdeğer denkleminin çözümüne indirgenmektedir. Çalışmada, önerilen teknik, problemi basit bir kök bulma algoritmasına indirgeyerek, tek Floquet modlu bölgede bulunan iletim/durdurma band geçiş frekansları için doğru kestirimler elde edilmiştir. Genelleştirilmiş Saçılma Matrisi Yardımcı Fonksiyonları (AFGSM: Auxiliary Functions of Generalized Scattering Matrix) yöntemi olarak literatüre giren yaklaşım ile periyodik yapının dispersiyon karakteristiğinin elde edilmesi işleminde geleneksel yöntemlere göre sayısal iş yükünün azaltıldığı gösterilmiştir. Önerilen yöntemin fotonik bant aralığı analizinin yanı sıra tasarım amacıyla ters problem çözümü şeklinde birim hücre parametrelerinin belirlenmesinde etkili olarak kullanılabilineceği tez çalışmasında elde edilen sonuçlarla ortaya konulmuştur. Fotonik kristallerin belirli bir frekans bandında geliş açısından ve polarizasyondan bağımsız olarak tam yansıtıcılık gösterdiği frekans bandı tümyönlü yansıtıcı bant aralığı (OBG: omnidirectional bandgap) olarak adlandırılmaktadır. Tez kapsamında yapılan konferans bildirileri ve ulusal dergilerde yayınlanmış çalışmalarda önerilen yöntem kullanılarak geniş bantlı tümyönlü yanısıtıcı tasarımı yapılmış elde edilen sonuçlar düzlem dalga açılım yöntemi (PWE: Plane Wave Expansion) ile doğrulanmıştır. Bu özellik sayesinde fotonik kristaller dağılmış geri-beslemeli lazerler, dielektrik Fabry-Perot filtreler, ayarlanabilir polarizörler, dar-bandlı filtreler ve dielektrik yansıtıcılar gibi çok sayıda önemli uygulamada yoğun olarak kullanılmaktadır. Günümüzde mobil ve sabit haberleşme şebekelerinin temel altyapısını oluşturan fiber optik haberleşme sistemlerinde uzak mesafelere yüksek kapasiteli veri aktarımı yeterince yüksek bant genişlikleri ile mümkün olmaktadır. Yüksek band genişliği ise kısıtlı frekans spektrumunun etkin bir şekilde kullanılabilemesi için sık ve dar bandlı filtrelerin uygulanmasını gerektirir. Tümyönlü yansıtıclara ek olarak tez çalışmaları kapsamında telekomünikasyon sistemlerinde Yoğun Dalgaboyu Bölmeli Çoğullama (DWDM) birleştirici ve çoğullayıcı (MUX DEMUX) olarak kullanılan fotonik kristalli dört kanallı optik filtrelerin tasarımı yapılmıştır. Elde edilen sonuçlar ulusal konferaslarda sunulmuştur. Tezi oluşturan bölümler kısaca şu şekilde özetlenebilir: Tezin ilk bölümü kapsamlı bir literatür taraması ve tez amacını vermektedir. İkinci bölüm, periyodik yapılarda dalga yayılımını özetleyerek periyodik yapılarda dalga propagasyonuna ilişkin temel teorik kavramları hatırlatmaktadır. Üçüncü bölümde iki boyutlu problem geometrisinin bant aralığı analizi yapılmıştır. Önerilen yöntemde öncelikle efektif ortam teorisi (EMT: Effective Medium Theory) ile problem bir boyutlu eşleniğine uygun olarak indirgenmiş, bir boyuta indirgenen problem geometrisi için ise iletim-durdurma bant kenar frekanslarının tespitinde AFGSM yöntemi etkili ve hızlı bir şekilde uygulanmıştır. Elde edilen sonuçlar CST benzetim programının çıktıları ve literatürde yer alan benzer problem sonuçlarıyla doğrulanmıştır. Bu yaklaşım, iki boyutlu geometrilerin bant karakteristiğinin çözümünde kullanılmak üzere literatüre Hibrid Yöntem (HM) ismiyle önerilmiştir. Tezin dördüncü bölümünde ise, iki boyutta sonlu periyodik yapının tam dalga analizi için Kesin Kuple Dalga Analizi (RCWA: Rigorous Coupled Wave Analysis) ve Genelleştirilmiş Saçılma Matrisi (GSM) yöntemleri birleştirilerek 2D yarı periyodik yapının birim hücre saçılma matrisi hesaplanmıştır. Sonsuz periyodik yapının iletim-durdurma band kenar frekansları ise AFGSM yöntemi kullanılarak tespit edilmiş ve böylece çalışma iki boyutlu fotonik bant aralığı yapısının kapsamlı ve tam dalga analizine genişletilmiştir. İki boyutlu dikdörtgen ve üçgen dizilimli, kare ve dairesel dielektrik sütun kesitine sahip problem geometrileri modellenmiş ve önerilen yöntemin uygulanabilirliği test edilmiştir. Dispersiyon diyagramı üzerinde iletim-durdurma bantlarını veren sonuçlar literatürde yeralan benzer çalışmalar ve HFSS benzetim programından elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır, oldukça tutarlı sonuçların elde edildiği görülmüştür. Beşinci bölümde ise yöntemin ultraviyole, görünür bölge ve kızılötesi bölgesinde geçerliliğinin irdelenmesi amacıyla Lazer Taramalı Mikroskobi (LSM) uygulamalarında kullanılan band geçiren, band durduran, dikroik ve çentik filtre bileşenleri AFGSM yöntemine dayanan yeni algoritmalar kullanılarak tasarlanmıştır. Tasarlanan filtre karakteristikleri endüstride ticari olarak kullanılan filtre parametreleri ile kıyaslanmıştır. Tez çalışması kapsamında genel anlamda periyodik yapıların iletim durdurma band bölgelerinin tespiti özelde ise farklı dizilim ve kesit alanına sahip dielektrik sütunlardan oluşan iki boyutlu fotonik bant ileten/durduran yapıların bant aralığı karakteristiklerini ortaya koyan bant kenar frekanslarının kestirimi için kapsamlı ve özgün yöntemler literatüre kazandırılmıştır. Sonuç olarak yapılan analizler ve tasarımlar literatürdeki farklı sonuçlar ile karşılaştırılmış ve hesaplama süresi açısından doktora tezinde önerilen yöntemlerin benzetim simülasyonlarına ve bilinen diğer sayısal yöntemlere göre oldukça hızlı olduğu gösterilmiştir.

Over the last few decades, demand for higher data transmission rates increased drastically due to the emergence of applications requiring higher bandwidth services. Recent advances in photonics and fabrication of nanometer scaled components enabled the high capacity data transmission in communication technologies. The research field of periodic structures which ranges from microwave to optical frequencies became attracting in the sense that their special electromagnetic waveguiding properties constitute the basis of many promising applications. Among various metallic and dielectric materials considered in the context of periodic structures, photonic crystals which are found to have unique propagation characteristics for a certain frequency range, are one of the most popular. Photonic crystals can be tailored to address desired bandgap characteristics. Particularly, two-dimensional photonic crystals are regarded as the essential elements that incorporate periodicity features and enable the development of new optical components such as filters, waveguides, cavities, splitters, couplers and reflectors. Investigation of the photonic bandgaps (PBG) in a photonic crystal plays a fundamental role coincided in numerous engineering-science applications and design purposes. The method reported in the literature investigate the problem associated with the conventional approach of solving eigenvalue equation. This solution approach requires computationally large memory sources and becomes inefficient especially when large number of eigenmodes are required at the layer interfaces. The focus of this dissertation is to present accurate and numerically efficient alternative methods to analyze bandgap characteristics of two-dimensional PBGs. Full wave analysis of bandgap structures is addressed by calculating the supported Floquet modes of infinitely periodic structures, i.e. seeking for the permitted and forbidden band regions of the unit-cell. A novel approach based on auxiliary functions of generalized scattering matrix (AFGSM) method is introduced. The proposed technique provides estimations of the stopband or passband frequencies accurately supported by the single Floquet mode region simply by carrying through a basic root-search routine. For a lossless PBG structure real numbered roots correspond to propagating modes and complex-values roots correspond to non-propagating modes (stopband) respectively. Therefore, the aim of this thesis is to develop alternative techniques to determine bandgap characteristics of PBG structures based on AFGSM method. First section of this dissertation includes a literature survey and introduction of the thesis scope. The second chapter gives a brief review of wave propagation in periodic structures and highlight the key theoretical concepts. The third chapter is concerned with the methodology employed for a fast and hybrid bandgap analysis of two-dimensional photonic crystals. First, effective medium theory (EMT) is employed to mitigate two-dimensional geometry (for a structure which has a period much smaller than the wavelength) to one-dimensional multilayered equivalence in order to simplify the computation of the photonic bandedges. Then, bandedges of equivalent one-dimensional structure are examined using AFGSM method. Subsequently, in the fourth section, the analysis is extended to a comprehensive and full wave analysis of 2D PBG structures utilizing the rigorous coupled wave analysis (RCWA) to determine scattering parameters (S-parameters) of unit cell. Thereafter, AFGSM method is used to investigate bandedge frequencies of infinitely layered periodic media. In the fifth chapter, different types of filter applications operating in the optical wavelength region are designed using novel algorithm based on AFGSM method. The final chapter summarises the principal findings given in the thesis and identifies areas for further research.