Sabit noktalı küre izdüşüm prensibi

Abstract

Bu çalışmada "Sferografik izdüşüm" metotlarının yeni bir tipi incelenmiştir. "Sabit noktalı küre izdüşüm prensibi" adını ver diğimiz bu gösterme metodunda, uzayın her P noktası, merkezi bu P noktası olan ve uzayda, reel sabit bir O noktasından geçen kürenin, yatay durumda düşünülen reel, sabit bir II resim düzlemindeki "iz çemberi" ile gösterilmektedir. Bu metodun, diğer küre izdüşüm metotları ve sik- lografi ile önemli ve karakteristik farkı, uzayın nok taları ve bunların izdüşüm çemberleri arasında" "kar şılıklı olarak bire-bir bir bağıntı:"nın bulunmasıdır. Doğruların izdüşümleri olarak çemberler demetle ri ve düzlemlerin izdüşümleri olarak çemberler deste leri elde edilmiştir. Genel durumdaki doğrular ve düzlemlerin incelenmesi ile birlikte, izdüşüm siste mine göre özel durumlarda bulunan doğruları ve düz lemleri gösteren, çemberler demetleri ve destelerinin karakteristik özelikleri gözönüne alınmıştır. Nokta, doğru ve düzlem arasındaki durum bağıntı larının araştırılması ve "projektif temel şekillerin gösterilme" leri sistematik olarak incelenmiştir. Sistemin 0 sabit noktasını odak ve II resim düz lemini doğrultman düzlemi olarak kabul eden 0 dönel paraboloidi, uzay elemanlarının izdüşümleri için bir XII sınır yüzeyi olarak ortaya çıktığından, bu elemanla rın II ve O ya göre özel durumları yanında, 0 ye göre durumları da incelenmiştir, özellikle buradan 0 nin do§ru ve düzlemlerle kesişmesine ait problemler için kolay ve karakteristik çözümler elde edilmiştir. Ay rıca bu kesişmelerin sınır problemlerinden, 0 nin po- laritesiyle ilgili bir kuadratik iz prensibi olarak "özel parabolöidal bir 'iz prensibi" adını verdiğimiz "Parabolöi&al stereografik izdüşüm prensibi" ortaya çıkmıştır. Bunun yanında insidens yüzeyi 0 olan "Özel parabolöidal bir perspektivite" adını verdiğimiz, "Kuadratik bir noktalar bağıntısı" da elde edilmiştir. Nokta, doğru, düzlem hakkındaki temel-birleştirme, kesişme, diklik-baŞıntıları ve problemleriyle birlikte, özellikle "Doğrular sistemleri" ve bunlarla ilgili problemlerin küre izdüşümündeki gösterilme yolları sistematik şekilde incelenmiş ve açıklanmıştır. Birden fazla küre izdüşüm sistemleri arasındaki bağıntılar araştırılmış ve bu arada, bir taraf tan, bir uzay şeklinin iki küre izdüşümü yardımiyle elde edi len izdüşüm şekilleri arasındaki bağıntı ve diğer ta raftan, iki izdüşüm sistemine göre aynı izdüşüm şek lini veren iki uzay şekli arasındaki bağıntı incelen miştir. Bu son bağıntının kolayca belirlenebilen, "Perspektif bir uzay afinitesi" olduğu görülmüştür. Aynöâ bulunan sonuçlar yardımiyle, düzlemdeki plâni- metrik çember problemlerinin bazı çözüm yolları gös terilmiştir.

In der vorliegenden Arbeit wird ein neuer Typ der " spharographischen AbbildungsmethoderT'untersucht. Bei dieses, als"Kug el-Abb i ldung mit festem Punkt" bezeichneten Darstellungsmethode wird im Raum ein fester, reeller Punkt O als gegeben vorausgesetzt und jeder Punkt P des Raumes durch den in der ( stets horizontal vorausgesetzten ) Bildebene n liegenden " Spurkreis " der durch den Punkt 0 laufenden Kugel dargestellt, die den Punkt P zum Mittelpunkt hat. Der wichtige und charakteristische Unterschied dieser neuen Methode gegenüber den anderen Kugel- projektionen (spharographischen Abbildungen) und der Zyklographie liegt darin, da3 bei dieser Methode zwischen dân.Pünkten des Raumes und ihren Bildkreisen eine umkehrbar eindeutige Verwandtschaf t besteht. Die Geraden des Raumes werden durch Kreisbüschel dargestellt, die Ebenen durch Kreisbündel, Neben den Geraden und Ebenen von allgemeiner Lage werden in der Arbeit auch die Kreisbüschel und Kreisbündel in Betracht gezogen, durch die die Geraden und "'Ebenen dargestellt werden, die gegenüber dem Abbildungssystem besondere Lagen einnehmen. Nach der Beschreibung der zwischen den Punkten, Geraden und Ebenen bestehenden Lagenbeziehungen wird die Darstellung der projektiven Grundgebilde system atise]! uhtersucht. XIV Das Drehparaboloid 0,das den festen Punkt O der Abbildung zum Brennpunkt und die Bildebene II zur Leitebene besitzt, spielt für die Abbildung der Raum- elemente die Rolle einer Grenzflâche ; daher v/erden auch die verschiedenen Lagen, die die Raumelemente gegenüber diesem Paraboloid einnehmen können,studiert. Dabei ergeben sich insbesondere einfache und char- akteristische £asungsmöğlichkeiten -für -die Schnittauf- gaben des Paraboloids mit Geraden und Ebenen. Darüber hinaus ergibt sich aus diesen Aufgaben ein einfacher, mit der Polaritât des Paraboloids 0 in Verbindung stehender Zusammenhang zwischen unserer Kugel-Abbild- ung und einem guadratischen Spurenprinzip, das als spezielles paraboloidisches Spurenprinzip bezeichnet und zusammen mit paraboloidischer stereographischer Projektion angewendet wird. Durch dieses quadratische Spurenprinzip wird auch eine quadratische Punkt- verwandtschaf t des Raumes hervorgerufen, Idia^.das Paraboloid 0 zur Inzidenzf lâche besitz und in der Arbeit als spezielle paraboloidische Perspektivitat definiert wird. Die Grundaufgaben des Verbindens und Schneidens von Punkten, Geraden und Ebenen, die Normalitâtsbe- ziehungen und die auf verschiedene Geradensysteme des Raumes bezüglichen Darstellungsaufgaben werden bei Abbildung in der verwendeten Kugelprojektion system atise]! behandelt und erklart. Ferner werden die Beziehungen untersucht,die bei Verwendung von mehreren, durch feste Punkte bestimmten Kugel-Abbildungen entstehen und dabei einerseits die XV Beziehung beschrieben,die zwischen zwei verschiedenen Bildsystemen desselben Raumsystems besteht und andererseits die Verwandtschaft zwischen zwei Raum- figuren beschrieben, die durch dieselbe Bildfigur dargestellt werden. Dabei wird gezeigt, da$ die zuletzt genannte Verwandtschaft eine perspektive râumliche Affinitât ist. Schlie&lich werden einige Beispiele zur Lösung planimetrischer Kreisaufgaben mit Hilfe des beschriebenen spharographischen Abbild- ungsprinzipes gegeben.