Çok Sayıda Yüklere Maruz Yapıların Tekil Değer Ayrıştırması İle Çok Amaçlı Optimizasyonu

Abstract

Optimizasyon işlemi, bir fonksiyonun maksimumunu veya minimumunu veren şartları belirlemek amacına yöneliktir. Küçük çaplı projelerde mühendislik zamanı ve maliyeti açısından optimizasyon uğraşısı verilmeyebilir. Bazen de çok karmaşık projeler için optimizasyon oldukça zor olabilir. Böyle hallerde alt sistemleri optimize etmek mümkündür. Ancak bu işlemin global minimumu vereceği şüphelidir. Optimizasyon işleminin başlangıcı, hangi kriterlerin optimize edileceği hususunda karar vermektir. Örneğin, bir uçak veya uzay aracında minimum ağırlık kriter olabilir. Minimum maliyet de en yaygın olarak seçilen kriterdir. Ayrıca, kısıt denklemleri de kriterler üzerine uygulanabilir. Optimizasyon kavramıyla iki düşünce vurgulanmaktadır. Bunlardan birincisi alternatif sistemlerin karşılaştırılması, ikincisi ise tek bir sistemin içerisinde yapılan optimizasyondur veya. Tam bir optimizasyon, her bir sistemin alternatifin kendi içinde optimize edilmesi ve daha sonra optimize edilen tasarımların en iyisini seçme ile gerçekleşir. Sistem optimizasyonunda amaç fonksiyonu, genellikle birden fazla değişkenin fonksiyonudur. Bazı sistemler yüzlerce adet değişkene sahip olabilir. Bu durum detaylı optimizasyon yöntemleri gerektirir. Optimizasyon işleminde, matematik bağıntıları geliştirmek önemli bir çaba gerektirmekle beraber, bağ denklemlerini oluşturmak da ilave hesaplama yükü getirir. Ondokuzuncu yüzyılın sonları, yirminci yüzyılın başlarında çok amaçlı optimizasyonun önemli temel konseptleri oluşturulmuş ve bu yöntemin matematiksel gelişimi yapılmıştır. Günümüzde genellikle çok amaçlı optimizasyon denilince Pareto çözüm akla gelir. Çok amaçlı programlama (ÇAP) problemleri tasarımcının elindeki bilgiyi nasıl yönetmek istediğine bağlı olarak (ki bu da hangi optimal çözümleri seçeceğine bağlıdır) sınıflandırılabilir. Çok amaçlı programlamayı çözecek üç tane genel yaklaşım vardır. Bunlar; Pareto-optimal set oluşturan yöntemler, Tercih temelli yöntemler ve Katılımlı yöntemlerdir. Bir çok tasarım optimizasyon probleminde ilk önce ön yapı deplasman, frekans, gerilme v.b. performans fonksiyonunu bulmak için analiz programına girdi olarak verilir. Eğer yapının performansı yeterli bulunmazsa uygun bir yöntemle tasarım hassasiyeti hesaplanır. Tasarım hassasiyeti, sürekli hassasiyet analizi, sonlu farklar v.b. yöntemler ile hesaplanabilir. Tasarım hassasiyeti bilgisi kullanılarak, performans fonksiyonunun birinci derece veya ikinci derece yaklaşımları optimizasyon algoritmasına girilir. Optimizasyon algoritması yapının tepkisini iyileştirecek ve sınırlamaları gerçekleyecek tasarım değişkenlerini hesaplar. Bu çevrim, performans değerleri istenilen seviyeye gelinceye kadar devam ettirilir. Yapısal optimizasyon problemleri, üç başlık altında sınıflandırılabilir. Bunlar; deliklerin, çubukların v.b'lerin yerlerini ve sayılarını hesaplayan yapısal topoloji optimizasyonu (boşluk açma) problemi, deliklerin veya çubuklardaki çözüm noktalarının en son yerini ve şeklini hesaplayan şekil optimizasyonu problemi ve kabukların kalınlığını, kirişlerin alanlarını v.b. hesaplayan boyut optimizasyon problemidir. Topoloji optimizasyonu problemi, yüklerden ve sınır şartlarından başlayarak çözülür. Daha sonra en uygun topoloji yapısı, kaba bir yapı oluşturması beklenen tasarımcıya, üretilebilir, mantıklı bir tasarım oluşturması için verilir. Bu adım iyi bir mühendislik yaklaşımı ve tasarım yeteneği gerektirir. Bir sonraki adım, yapının şeklini (sınırlarını) optimum topoloji kullanarak optimize etmektir. Mevcut yöntemler, optimizasyon probleminde çap, uzunluk v.b. gibi global parametreleri kullanmaya izin vermektedir. Yapının tüm deliklerinin ve sınırlarının en son biçimi bu optimizasyon probleminin sonucunu belirler. Şekil optimize edildikten sonra son adım değişkenlerin boyutlarını (örneğin; kabuğun kalınlığını, kirişin boyunu v.b.) optimize etmektir. Üç boyutlu katı parçalarda bu son adıma ihtiyaç duyulmaz çünkü biçim optimizasyonu son ölçüleri verecektir. Tasarımcı sonuçtan memnun kalıncaya kadar yapısal optimizasyon işlemi devam ettirilir. Bazen bir iterasyon yeterli olmayabilir çünkü topolojinin çözümlenmesi yapıda optimum olmayan topolojiler ortaya çıkarabilir.Yapısal topoloji optimizasyonu süreksiz ve sürekli olmak üzere iki tip yapıya uygulanabilir. Tez kapsamında, optimizasyon metotları uygulama alanları, yapısal tekrar analiz ve yapısal optimizasyonda tasarım hassasiyeti tekrar analizi ile ilgili çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir. Ayrıca yapısal tasarım optimizasyonunda Tekil Değer Ayrıştırması (TDA) yönteminin kullanılmasının avantajlarından bahsedilmiştir. Bir yapının optimizasyonunda eğer yapı aynı anda birden fazla yükleme koşuluna maruz kalıyorsa, farklı yükleme koşullarının kombinasyonları gözönüne alınarak mümkün olan en kötü yükleme koşulu incelenmelidir. Ne var ki, bu tip optimizasyon problemlerine konvansiyonel optimizasyon yaklaşımlarının uygulanması pratikte, çoklu yükleme koşullarının bilgisayar hesap yükünden dolayı çok fazla CPU zamanı harcanmasına sebep olmaktadır. Optimizasyon için gerekli olan en kötü yükleme koşulunun TDA ile ortaya konulması sayesinde, konvansiyonel yöntemde ortaya çıkan hesap yükü kolaylıkla aşılabilir. Bu tezde, aynı anda farklı yükleme koşullarına maruz kalan bir yapının TDA temelli optimizasyon yaklaşımı ile optimizasyonu incelenmiştir. Ayrıca konvansiyonel optimizasyon ve TDA temelli optimizasyon yaklaşımı aynı örnek yapıya uygulanmıştır. Yapılan karşılaştırmalar ile eş zamanlı çoklu yükleme koşulları için TDA temelli optimizasyon yaklaşımının konvansiyonel optimizasyon tekniklerine göre avantajı ispat edilmiştir. Bir yapıyı tasarlarken en önemli araçlardan biri de, yapısal sistemin parametrelerinin değişimine karşı tasarım kriterlerinin duyarlılığıdır. Tasarım duyarlılık analizi sistemin parameterleri arasındaki ilişkileri ve ölçülebilen bazı performans değerlerine karşı sistemin davranışını inceler. Tasarım duyarlılık analizi çalışmalarında, tasarım değişkenlerine karşı yapısal tepkinin hassasiyeti belirli kısıtlar altında ölçülebilen performans değerleri ile incelenir. Bu performans değerleri bazı matematiksel denklemler, özdeğer problemleri veya adi diferansiyel denklemler olabilir. Duyarlılık analizinde genellikle deplasman, özdeğer, özvektör ve gerilme gibi parametreler kullanılır. Diğer taraftan, TDA temelli analizler de girdi-çıktı ilişkisi üzerine kurulu çalışmalar için bir hayli faydalıdır. Bir yapının tekil değerlerinin özel bir anlamı vardır, zira tekil değerlerin kareli ifadeleri girdi ve çıktı vektörleri arasındaki güç, enerji ve güç yoğunluğu oranlarını ifade eder. Bu tezde, bir yapının tekil değerlerinin biçimlendirilmesinin, yapının tepkisinin biçimlendirilmesine denk olacağı ayrıca, tekil vektörlerin çıktıların girdiler ile ne tip bir ilişkide olduğunu gösterdiği belirtilmektedir. TDA'nın, zamana bağımlı ve zamandan bağımsız problemler için sonlu elemanlar yöntemi (SEY) denklemlerine uygulanabilir olduğu, buna bağlı olarak her bir sağ tekil vektörün, ilgili tekil değere eşit bir çıktı sağlamamız için yapıya hangi girdileri girmemiz gerektiğini ve sol tekil vektörün bu girdiye karşılık tepkinin, yapının farklı serbestlik derecelerinde nasıl dağıldığını gösterdiğinden bahsedilmektedir. Bir yapının dizayn prosesi, sonunda kısıtları sağlayan en uygun çözüme ulaşılması beklenen çeşitli el veya bilgisayar dizayn iterasyonlarını içerir. Bu noktaya kadar belirli yük koşulları altında ve bazı alt parçalarda belirli değişiklikler yapılması halinde her bir dizayn iterasyonu için tüm sistemin yapısal ve duyarlılık analizini yapmak yaygındır. Ne var ki bu yaklaşım, ilgili yapısal matrisin sadece belirli bölümlerinin orjinal yapısal matristen farklı olduğu gerçeğini göz önüne almadığı için iterasyonlar esnasında analizlerin CPU zamanını gereksiz şekilde arttırır. TDA'nın sistemlerin hızlı yapısal optimizasyonları, statik tekrar analizlerinin yapısal optimizasyonu, olasılık analizleri, yapısal durumunun gözlenmesi, duyarlılık analizi ve sistem tanımlaması için belirgin pratik değeri vardır. Sherman-Morrison-Woodburry (SMW) formülleri ile ilgili çalışmanın amacı, ilgilenilen yapının matematik modelinin özellikle lineer denklem sistemi ile temsil edildiği sonlu elemanlar metotu benzeri hızlı ve etkili tekrar analiz teknikleri kullanılarak incelenmesidir. Her ne kadar yapısal tekrar analiz metotları altmış yıldan fazla bir süre mevcut olsalar bile, daha çok düşük dereceli modifikasyonları içeren yapısal tekrar analizler için etkilidirler. SMW formülleri orjinal sistemin m farklı sağ taraflar ile çözümüne ve m modifikasyon derecesi olmak üzere, m. derece ilave sistemin çözümüne ihtiyaç duyar. Eğer m modifikasyon derecesi büyük ise, bu yaklaşım özellikle büyük yapılar ve çoklu yükleme koşulları için çok yavaştır. Konvansiyonel tekrar analiz yaklaşımlarında ortak olarak kullanıldığı üzere, verilen yapının sistem matrisine ön pertürbasyonlar uygulanır. Bu pertürbasyonlar ya bir algoritma tarafından oluşturulur ya da tasarımcı tarafından kararlaştırılır. Sonuçta, istenilen yapısal çıktı elde edilinceye kadar, özellikle büyük yapılar için (örneğin, m büyüktür) ve çoklu yükleme durumları olduğunda, yapının dizayn değişkenlerinin optimum pertürbasyonlarının hesaplanmasının pratik değeri vardır. Yukarıdaki gerçeklerin ışığında bu çalışmada istenilen çıktı değişikliklerinin ve duyarlılık değerlerinin sağlanması için TDA kullanılmak suretiyle dizayn değişkenlerinin optimum pertürbasyonlarının verimli bir şekilde hesaplanması için bir yaklaşım geliştirilmiştir. TDA'nın uygulandığı denklemler SMW formüllerine dayanmaktadır. Bu tezdeki sayısal örnekler, önerilen formülasyonların uygulanabilirliğini ve önerilen yaklaşımın avantajlarını göstermek için kullanılmıştır. SMW formüllerinin sistem matrislerinin TDA'sı ile birlikte, tasarım duyarlılıkları, dizayn değişkenlerinin optimum pertürbasyonlarının hesaplanması ve çıktının duyarlılığı üzerine daha fazla bilgi edinebilmek için kullanılabildiği gösterilmiştir. Tez kapsamında TDA uygulanan SMW formülleri çıktılarda istenilen değişimler elde edilene kadar tasarım duyarlılık değerlerini ve dizayn değişkenlerinin optimum pertürbasyonlarını hesaplamak için kullanılmıştır. Ayrıca yapının ilgili tekil vektörlerinin dizayn değişkenlerinin optimum pertürbasyonlarını hesaplamak için kullanılabileceği gösterilmiştir. Ele alınan düzlemsel bir kafes sisteminin konvansiyonel çıktı türevleri hesaplanmış ve ilk önce yapının sonlu elemanlar modeli oluşturulup daha sonra Matlab'de geliştirilen programlar kullanılarak TDA temelli SMW formülleri ile tekrar analizi yapılmıştır. Önerilen formüllerin uygulanabilirliğini ve TDA temelli SMW formüllerinin konvansiyonel duyarlılık analizlerine göre avantajlarını göstermek için düzlemsel kafes sistemi üzerinden sayısal örnekler sunulmuştur. TDA temelli SMW formülleri kullanılarak yapılan tekrar analizin çıktı türevlerini kullanarak bir sistemin tasarım duyarlılığı ile ilgili daha fazla bilgi verdiği gösterilmiştir. Özellikle, sistem çıktısının en büyük ve en küçük duyarlılık değerlerini veren dizayn değişkenlerinin pertürbasyonları kolaylıkla hesaplanabilmektedir. Önerilen yaklaşımın verimliliğini gösteren CPU zamanları karşılaştırılmış ve çözümlerin doğruluğu analitik olarak kontrol edilmiştir. Ayrıca tez kapsamında yapısal optimizasyon için iki örnek ele alınmış birincisinde ankastre mesnetle tek tarafından bağlı bir kiriş incelenmiştir. Yapı birçok bileşene ve herbir bileşen kalınlık, alan, uzunluk ve diğer geometrik ve malzeme parametreleri gibi optimize edilecek sayısız parametreye sahiptir. Her bir bileşen için uygulanan yükler altında optimum kesit yükseklikleri hesaplanmıştır. İkinci örnekte ise benzeri çalışma bir kamyon şasi sistemi için yapılmış ve konvansiyonel yöntemle CPU zamanları karşılaştırılmıştır.

Aim of the optimization process is identifying the conditions giving the maximum or minimum value of a function. In system level optimization, objective function is the function of multiple variables. It is very common in engineering problems that there are multiple objective functions to be minimized simultaneously, that require special optimization methods. In this thesis, optimization methods along with their applications, structural reanalysis and design sensitivity reanalysis in structural optimization are revisited. In addition, application and advantages of Singular Value Decomposition (SVD) to structural design optimization and Sherman-Morrison-Woodbury (SMW) formulas are investigated. In optimization of a structure, if the structure is subject to simultaneous multiple load cases, combinations of load cases should be considered and worst possible load case should be investigated. However, implementation of conventional optimization approaches into these optimization problems may be impractical due to excessive Central Processing Unit (CPU) times since consideration of multiple load cases increases the associated computational load. This computational difficulty can be overcome by employing SVD to find the worst possible load case against which the structure should be optimized. In this thesis, the SVD based optimization approach to optimization of a structure subject to simultaneous multiple load case is presented. Conventional optimization and SVD based optimization approaches are applied to a sample structure. It is shown that SVD based optimization approach has certain advantages over the conventional optimization techniques in the existence of simultaneous multiple load cases. In structural optimization, sensitivity reanalysis of a structure subjected to modifications has a significant practical value. If the structural modifications result in low rank changes in the associated system matrices, the reanalysis of a structure could be completed with a computational load that is less than that of the complete analysis of the structure. In this thesis, the SMW formulas along with the SVD are employed to compute the extremum sensitivity values and optimum perturbations of design variables such that desired changes in the responses are achieved, which are difficult to be obtained by using the response derivatives. Numerical examples are presented to show the advantages of the proposed approach. Accuracy of the solutions is checked analytically and comparisons between the CPU times of the SVD-based reanalysis and conventional optimization method are made, which show the advantage of the proposed SVD-based approach over conventional methods. In the future, it can be extended such that the proposed structural and sensitivity reanalysis approach is embedded into the search algorithms in optimization problems to speed up the convergence of the optimization program.