Kaynak Dağılımının Kestirilmesini Amaçlayan Ters Isı Geçişi Probleminin Çözümüne Yapay Sinir Ağları İle Yaklaşım

Abstract

Ters ısı geçiş problemleri -ki amprik olarak bulunan bağımlı değişkenlerin hangi standart probleme ait olduğu sorusuna cevap arar -alışılmamış derecede kötü koşullu problemler sınıfına dahildir. Bu çalışmada bilinmeyen ısı kaynağı şiddeti dağılımının kestirimi problemi üzerinde durulmuştur. Konuyu dağıtmamak amacıyla doğrudan problem için analitik çözümü olan basit bir geometri seçilmiştir. Termofıziksel özelikleri uniform olan kare şeklindeki bölge, kaynak şiddeti dağılımım ifade etmek üzere 3x3' lük görüntü elemanlarına ayrılmıştır. Karenin her bir kenarına 3. tür homojen sınır koşulu uygulanmıştır. Doğrudan problem, bir Green fonksiyonu yardımıyla çözülmüştür. Green fonksiyonu, ilgili Sturm-Liouville özdeğer probleminin özfonksiyonları yardımıyla yakınsayan bir seriye açılmıştır. Sınırdaki sıcaklık değerleri eşit aralıklarla 16 noktada hesaplanmıştır. Sonuçlar bir duyarlılık matrisi şekline dönüştürülmüştür ve verilen herhangi bir kaynak şiddeti dağılımı için süperpozisyon ilkesi gereğince yeni sıcaklık değerleri kolaylıkla hesaplanabilir. Bundan sonra ters problem 9 bilinmeyenli 16 denklem takımının en küçük kareler anlamında çözümüne dönüşmüş olur. Sınır sıcaklık değerleri doğru verildiği zaman çözüm kolaylıkla bulunur. Ancak, ölçümlere standart sapması %1 kadar küçük bir gürültü ilave edildiği zaman bile çok hatalı sonuçlar elde edilir. Bundan sonra %5' lik standart sapması olan gelişigüzel gürültü ilave edilerek hazırlanan eğitim seti ile bir yapay sinir ağı eğitilmiştir. Burada kararlılık için duyarlılıktan bir miktar feragat edilmektedir. Yapay sinir ağlarının kendinden sahip olduğu bu regülarizasyon yapabilme özelliğinden yararlanarak kabul edilebilir duyarlığı olan kararlı sonuçlar elde edilmiştir. Sınırla temas eden elemanlar merkezdeki elemanı ciddi boyutlarda gölgelemektedir.

In general the concept of inverse heat transfer problem where the question raised is given the emprical solution what the standard problem was, is dangereously flawed because it belongs to a class of unusually ill-posed problems. In this work a case of inverse heat transfer problem with respect to an unknown internal heat source intensity distribution is studied. In order to focus our attention on the inverse problem, a simple geometry is chosen for the direct problem for which simple analytical solutions exist. A square region of uniform thermophysical properties is divided into a raster of 3x3 pixels to represent the heat source intensity distribution. Homogeneous boundary conditions of the third kind are applied to the all four sides of the square. The direct problem is solved with the help of a Green's function which is expanded into a fast- converging series in terms of the eigenfunctions of the related Sturm-Liouville eigenvale problem. At 16 equally spaced measuring points the boundary temperatures are calculated. The results are cast into a sensitivity matrix form, which allows for the calculation of surface temperatures for any source intensity distribution by the superposition principle. Then the inverse problem is posed as the solution of 16 equations with 9 unknowns, in the mean squre sense. The solution exists when the temperature measurements are exact. Trouble begins when the measurements are corrupted with a small magnitude noise. The analytical solution is intolerant to noise levels of even as low as 1% standard deviation. Then an artificial neural network is trained and validated with measurements tinted with a noise level of 5% standard deviation. Accuracy is compromised for the sake of well- behaved solutions. The implicit regularization property of the artifical neural networks help us achieve reasonably stable results associated with compromised accuracy. Peripheral elements adjacent to the boundary seriously shadow the inner pixel.