Generic Submersions

Abstract

Diferansiyel geometride submersiyon teorisi, iki manifoldun geometrisini, aralarında tanımlanan düzgün bir dönüşüm yardımıyla, karşılaştırma şansı sunan bir alandır. Bu bağlamda literatürde, çok sayıda submersiyon çeşidi tanımlandı ve çalışıldı. Verilen bir submersiyon için lifler kaynak manifoldun alt manifoldu olduğundan, alt manifold teorisindeki yaklaşımların bir çoğundan faydalanarak submersiyon teorisinde ilerlemeler kaydedilmis¸tir. Biz ise, bu çalıs¸mada, alt manifold teorisinde var olan yaklaşımları da kullanarak, submersiyon teorisi için adım adım bir genelleme inşa ediyoruz. İlk bölümde, alt manifold teorisi ve submersiyon teorisi arasındaki ilişkiden bahsedilmiş olup, literatürde submersiyon teorisi ile alakalı kronolojik olarak elde edilen gelişmelere yer verilmiştir. Kaynak manifoldun seçimine bağlı olarak (kontakt manifold, hemen hemen kompleks manifold v.b.) tanımlanan submersiyon tiplerinden bahsedilmiş olup, çalışmalar refere edilmiştir. Ayrıca, bu tezin hipotezi ve amacı da anlatılmıştır. İkinci bölümde, Riemann geometrisindeki temel tanımlar, denklemler ve teoremler tanıtılmıştır. Riemann manifoldları hakkında kısaca bilgiler verilmiştir. Distribüsyon kavramı hakkında tezde kullanılacak bilgilere kısaca değinilmiştir. Distribüsyonlar hakkında bazı temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Bu bölümde son olarak, hemen hemen çarpım yapısı tanıtılmış olup, bu yapıya göre bazı(hemen hemen çarpım Riemann manifoldları, yerel çarpım Riemann manifoldları v.b.) manifold sınıflarının tanımları verilmiştir. Üçüncü bölümde, kompleks manifoldlar hakkında temel bilgilere yer verilmiştir. Hemem hemen kompleks yapının tanımı ve bu yapının Riemann metriği ile olan ilişkisi verildikten sonra, bu yapıya göre manifoldların sınıflandırılması üzerinde durulmuştur. Bazı kompleks manifold sınıflarının tanımlarından bahsedilmiş olup, bu sınıflar arasındaki kapsama bağıntılarından söz edilmiştir. Tezin ana parçasını oluşturan dördüncü bölümde, Riemann submersiyonu kavramı tanıtılmış olup, kaynak ve hedef manifoldları arasındaki vektör alanları ilişkilerinden bahsedilmiştir. Submersiyon teorisinde önemli yer tutan lif kavramı tanıtılmıştır. Liflerin boyutları, teğetleri ve normalleri hakkında bilgiler verilmiştir. Liflerin geometrisini incelememize yarayan ve temelini oluşturan, T ve A O'Neill tensörleri ve bu tensörlerin bazı temel özellikleri verilmiştir. Ayrıca, submersiyon teorisi ile alakalı bazı temel tanım, denklem ve teoremler verilmiştir. Riemann teorisi ile ilgili gereken temel bilgiler verildikten sonra, ilk olarak, kaynak manifoldunu yerel çarpım Riemann manifoldu alarak, ters-değişmez submersiyonları ve ters-değişmez submersiyonların özel bir hali olan Lagrangian submersiyonları çalıştık. Bu durumda, Lagrangian submersiyonlar için, lifleri incelediğimizde, daima tamamen jeodezik olduğunu elde ettik. Ayrıca, ters-değişmez submersiyonlar için birinci varyasyonel formülünü tanımladık. Bu formül yardımıyla, ters-değişmez submersiyonların liflerinin harmonik olup olmadığının araştırılması konusunda gerek yeter koşul verdik. Bu yaklaşım ile literatüre farklı bir bakış açısı sunmuş olduk. Daha sonra, yine kaynak manifoldunu yerel çarpım Riemann manifoldu alarak, yarı-değişmez submersiyonları çalıştık. Yarı-değişmez submersiyon için örnek verildi. Kanonik yapıları ve hemen hemen çarpım yapısını kullanarak bazı ayrışım yardımcı önermeleri kanıtladık. Bu tip submersiyonlardaki distribüsyonlar için integrallenebilme koşullarını aras¸tırdık ve bazı sonuçlar elde ettik. Yarı-değişmez submersiyonun liflerinin geometrisi hakkında bilgi sahibi olmak için, liflerin tamamen jeodezik olma durumunu inceledik. Lifleri tamamen umbilik kabul ederek, bazı sonuçlar elde ettik. Kanonik yapıların paralel olma tanımını verildi. Bu yapıların paralel olmaları durumunda, kanonik yapıların birbirleri arasındaki ilişkiler hakkında ve liflerin geometrisi hakkında bazı sonuçlar elde ettik. Ayrıca, yarı-değişmez submersiyonlar için de birinci varyasyonel formülünü tanımlayarak ve kullanarak liflerin hangi koşullar altında harmonik olduğuna dair yeni yaklaşım ve koşullar elde ettik. Dördüncü bölümün devamında, noktasal yarı-eğik adı ile yeni tip submersiyon tanımladık. Bu submersiyon tipini kaynak manifoldunu yerel çarpım Riemann manifoldu alarak çalıştık. Tanımlanan bu submersiyon tipi için örneğe yer verdik. Benzer şekilde hemen hemen çarpım yapısını ve tanımdaki distribüsyonları göz önüne alarak bazı ayrışım yardımcı teoremleri elde ettik. Alt manifold teorisinde kullanılan Gauss ve Weingarten denklemlerinin noktasal yarı-eğik submersiyonlar için karşılıklarını elde ettik. Noktasal yarı-eğik submersiyon tanımında bahsedilen distribüsyonların hangi koşullar altında integrallenebileceğini araştırdık. Liflerin geometrileri ile ilgilenerek, bazı sonuçlar elde ettik. Kanonik yapıların paralleliği tanımlanarak çalışıldı. Ayrıca, liflerin tamamen umbilik olması koşulunda da bazı sonuçlar elde edilmiştir. Bu sonuçlara ilave olarak, noktasal yarı-eğik submersiyonlar için birinci varyasyonel formülü tanımlandı. Bu tanım yardımıyla, liflerin hangi koşullar altında harmonik olduğunu araştırmak adına bir yaklaşım sunmuş olduk. Ve son olarak, ele alınan hemen hemen kompleks yapıya göre tüm submersiyon tiplerinin bir genelleştirmesi olan kapsamlı submersiyonu (Ronsse anlamında) tanımladık. Bu submersiyon tipi için kaynak manifoldu Kaehler manifold aldık. Öncelikle, bu tip submersiyonlar için örnekler verdik. Alt manifold teorisinde kullanılan Gauss ve Weingarten denklemlerinin kapsamlı submersiyonlar için karşılıklarını elde ettik. Bu denklemler kanıtlarda kullanıldı. Kapsamlı submersiyon tanımındaki distribüsyonlar için integrallenebilme koşullarını inceledik. Ayrıca, liflerin geometrisini anlayabilmek adına, liflerin tümel jeodezik olma koşulları da incelendi. Liflerin tümel umbilik olması durumunda minimal olması için bir koşul kanıtlandı. Bu tip submersiyonlar için, vektörlerin ayrışımında verilen kanonik yapılar paralel düşünüldü. Bu durumda, distribüsyonların karışık jeodezik olmaları ve kanonik yapıların paralelliği hakkında gerek ve yeter şartlar elde edildi. Bu tezin sonrasında, gelecek çalışmalarda, tanımladığımız kapsamlı submersiyon için kaynak manifold, hedef manifold ve liflerin eğrilikleri incelenebilir ve aralarındaki ilişkiler araştırılabilir. Ayrıca, bir kapsamlı submersiyonun kaynak manifoldu için şu problem çalışılabilir: "Hangi koşullar altında kaynak manifoldu Einstein uzayı olur?". Diğer taraftan, tüm tanımlanan submersiyonların Fizik'te karşılığının var olduğu bilinen bir gerçektir. Bilhassa, şu probleme cevap aranabilir: "Kapsamlı submersiyonun Fizik'teki karşılığı nedir?". Disiplinlerarası çalışma adına etkili bir problem olacağı öngörülmektedir. Son olarak, submersiyon teorisinin istatistiksel makine öğrenmesi süreçlerinde karşılığı olduğu bilinmektedir. Tanımladığımız kapsamlı submersiyon ve istatistiksel makine öğrenmesi arasındaki ilişkiler çalışılabilir. Dahası, submersiyon teorisinin kullanıldığı daha başka alanlardaki kapsamlı submersiyonların karşılıkları araştırılıp çalışılabilir.

The theory of Riemannian submersion is an area in differential geometry that gives a chance to compare the geometries of two manifolds with a smooth map between them. In this sense, many kinds of Riemannian submersions are defined and studied. In this thesis, we establish a generalization of the theory of submersion step by step. In the first chapter, the purpose of the thesis, the literature of the theory of submersion and the hypothesis of the thesis are given. Some studies in this area are given. The aim of the study is mentioned. In the second chapter, the fundamental definitions, equations and theorems on Riemannian geometry are introduced. A brief information on Riemannian manifolds is considered. The concept of distribution is discussed. We give some basic definitions and theorems on distributions. Finally in this chapter, we give some essential knowledge about almost product structure and classification of the manifolds with respect to almost product structure, that is, almost product Riemannian manifolds and locally product Riemannian manifolds. In the third chapter, the complex manifolds are summarized. After giving the definition of an almost complex structure, the classification of the almost complex manifolds with respect to the almost complex structure are mentioned. Some classes of the almost complex manifolds are introduced. Also, the inclusion relations between complex manifolds are given. In the fourth chapter, which is the main part of the thesis, Riemannian submersion concept, which is defined by O'Neill, is mentioned. The notion of a fiber, which is a crucial point in the theory of submersion, is introduced. To study and understand the geometry of the fibers, O'Neill tensors A and T also their some properties are given. Furthermore, some fundamental definitions, equations and theorems are introduced about the theory of Riemannian submersion. After giving the concepts about Riemannian submersion, first we study on anti-invariant submersion and Lagrangian submersion, which is a particular case of an anti-invariant submersion, by taking the total manifold as a locally product Riemannian manifold. In this case, we prove that for a Lagrangian submersion the fibers are always totally geodesic. Moreover, we define the first variational formula of an anti-invariant submersion. By means of that form, we give a new approach to investigate whether the fibers of the submersion are harmonic or not. Next, we study on semi-invariant submersion by taking the total manifold as a locally product Riemannian. In the present case, an example is given for semi-invariant submersion. Also, we prove some decomposition lemmas. The integrability conditions of the distributions for a semi-invariant submersion are investigated. Moreover, we investigate the geometry of the fibers of a semi-invariant submersion and we study the totally geodesicness of the fibers. After, we consider the fibers totally umbilical and obtain some results. The canonical structures are considered parallel and we get certain results about relation between canonical structures and the geometry of the fibers. Furthermore, we define the first variational formula of a semi-invariant submersion. By the virtue of that formula, we give a new idea to investigate whether the fibers of the submersion are harmonic or not. Later, we define a new type of submersion, which is called pointwise semi-slant submersion by considering the total manifold as a locally product Riemannian. We give an example for a pointwise semi-slant submersion. Some decomposition theorems are obtained. Integrability of the distributions are investigated that mentioned in the definition of the pointwise semi-slant submersion. The geometry of the fibers are examined and some results are obtained. The canonical structures and the fibers of the pointwise semi-slant submersion are considered parallel and totally umbilical, respectively, and some consequences are found. Moreover, the first variational formula of a pointwise semi-slant submersion is defined and it is given that a new view to understanding in which conditions the fibers are harmonic. Finally, the generic submersion (in the sense of Ronsse) is defined, which is the generalization of the all kind of submersions. We study generic submersion by taking the total manifold Kaehler and give some examples for a generic submersion. Also, we give some decomposition theorems and some equations, which have same meaning with Gauss andWeingarten equations in the theory of submanifold, to use in the proofs. The integrability and the totally geodesicness of the distributions, which are mentioned in the definition of the generic submersion, are investigated. By taking the fibers as totally umbilical, we give some results and get a corollary for the minimality of the fibers. We think the canonical structures parallel and obtain some outstanding results. In future, it is estimated that the curvature relations between total manifold, base manifold and fibers of a generic submersion can be investigated. Also, for the total manifold of a generic submersion, the following problem can be studied: "in which conditions the total manifold can be Einstein space?". On the other hand, it is known that all these theory of submersion have a relation with Physics. Especially, the following question can be answered: "What is the relation of a generic submersion with Physics?". Finally, the theory of submersion has a relation with statistical machine learning processes, which is popular area in the world. Generic submersion and statistical machine learning process relation can be investigated.