Farklı Malzeme İçeren Çubukların Üniform Olmayan Burulması

Abstract

Bu çalışmada ana hedef birden fazla malzeme içeren çubuklarda burulma etkisi altında oluşan yer değiştirme ve kayma gerilmesi alanlarının hesaplanmasıdır. Çözüm için Saint-Venant burulması esas alınarak sınır eleman yöntemi kullanılmıştır. Sınır eleman yöntemi bilindiği gibi karşıtlık teoremine dayanır. Bu teorem aynı cisim için mevcut iki problem arasında yazılan tekil bir integral denklemdir. Birinci problem tekil elastostatik hal olarak isimlendirilir ve sonsuz ortamda yapılan bir yüklemenin oluşturduğu yer değiştirme ve gerilme alanları içerir. Bu sonsuz ortamın malzeme sabitleri ki burada sadece kayma modülü ortaya çıkmaktadır çözülecek problemle aynıdır. İkinci elastostatik hal ise çözülecek probleme karşı gelir. Burada öncelikle sonsuz ortamda x3 ekseni doğrultusunda, eksi sonsuz artı sonsuz aralığında etkiyen çizgisel bir yükün oluşturduğu gerilme ve şekil değiştirme alanları bulunmuştur. Karşıtlık teoremi yazılıp integral denklem elde edildikten sonra yer değiştirmelerin Saint-Venant tarafından üniform olmayan burulmada verildiği gibi olduğu varsayılmıştır. Bu durumda integral denklemin tek bilinmeyeni burulma fonksiyonu olmuş olur. İntegral denklemi çözebilmek için problemin sınırı doğru parçaları halinde ayrıklaştırılır. Bu arada integral denklemin sınırda bir integral olarak ortaya çıktığı da ayrıca belirtilmelidir. Sınır eleman yönteminde hedef problemi lineer bir denklem takımının çözümüne indirgemektir. Sınırdaki her doğru parçası bir doğrusal eleman olarak isimlendirilir ve bunların uç noktalarına nodal noktalar adı verilir. Burada burulma fonksiyonunun her doğrusal eleman üzerinde, doğrusal olarak değiştiği kabul edilmiştir. Dolayısı ile integral denklem doğrusal elemanlar üzerindeki integrallerin toplamı haline dönüştürülebilir. Her doğrusal elemanda nodal noktalardaki burulma fonksiyonu değerleri belli integrallerin çarpanı haline gelir. Bu durumda bu integrallerin hesaplanması lineer cebrik denklem takımının bilinmeyenlerini oluşturan burulma fonksiyonun nodal değerlerinin katsayılarının hesaplanması demektir. Bu integraller genellikle sayısal olarak hesaplanabilir. Ancak bu çalışmada bu integraller kapalı olarak hesaplanmıştır. Bir denklem elde edilirken kesitte daha doğrusu kesit sınırında bir nokta sonsuz ortamda elde edilen elastostatik halin yükleme noktası olarak seçilmiştir. Bilinmeyen sayısı ile ki bu nodal noktalardaki burulma fonksiyonu değerlerinden oluşur denklem sayısı aynı olmalıdır. Dolayısı ile her nodal noktaya bir yükleme yapıldığı varsayılmıştır. Bir denklemde sorun yükleme noktası ile üzerinde hesap yapılan doğrusal elemandaki nodal noktaların birinin çakışması halinde ortaya çıkar. Bu sorunu çözmek için bir yükleme halinde o nodal noktayı bölge dışına çıkaran o nodal nokta merkezli ve epsilon yarıçaplı bir daire yayı sınıra eklenir. Bu durumda tekillik içeren integraller kapalı olarak hesaplanıp epsilon sıfıra götürülürse yükleme noktasına komşu elemanlardaki tekillikler ortadan kalkar. Epsilon yarıçaplı daire yayı üzerinde burulma fonksiyonunun sabit olduğu varsayılmıştır. Dolayısı ile bu yay üzerindeki integral de o nodal noktadaki fonksiyonun katsayısına eklenmelidir. Hesapları kontrol etmek amacıyla ilk çözülen problem tek malzemeli dikdörtgen bir kesit olarak seçilmiştir. Bu problemin sonuçları analitik olarak Muskhelishvili'nin kitabında bulunabilir. Dikdörtgen kesitte sınır üzerinde x1 ve x2 eksenlerine göre simetrik olan noktalarda burulma fonksiyonunun işaret değiştirerek aynı kaldığı göz önüne alınır. Denklemlerin dörtte birinden iki eksiği kullanılarak yeni bir denklem takımı elde edilirse sınırdaki burulma fonksiyonu değerleri bulunabilir. Bu arada simetri eksenleri üzerinde burulma fonksiyonu değerlerinin sıfır olduğu da göz önüne alınmıştır. Burulma fonksiyonu için bulunan değerler kapalı çözümle bulunan değerlerle tamamen aynıdır. Hata oranı milyonda birdir. Sonra yine deneme amaçlı dikdörtgen kesitte bir yatay bir de düşey hattaki kayma gerilmeleri hesaplanmıştır. Yine hata milyonda bir mertebesindedir. Ancak sınırda bilinmeyen gerilme bileşenlerinin hesabı mümkün olmamaktadır. Bu sorunu halletmek için sınırda sıfır olmayan gerilme bileşeni oluşturulmuş ve hiç bir tekillikle karşılaşılmadan bu bileşen hesaplanmıştır. Hata yine milyonda bir mertebesindedir. Son olarak kesitin burulma rijitliği hesaplanmış ancak bunda hata 1/10000 mertebesinde bulunmuştur. İkinci örnek problem olarak bir kenarında x1 eksenine göre simetrik üçgen bir çentik olan bir kesitte aynı hesaplar tekrarlanmıştır. Üçüncü problem farklı malzemeden yapılmış yanyana eklenmiş iki dikdörtgenden oluşan bir dikdörtgen kesitin burulmasıdır. Aynı problem yine Muskhelishvili tarafından çözülmüştür. Ancak birinci ve ikinci örnek problemler elastisitenin gerilme problemine karşı gelirken, üçüncü problem bir karışık sınır değer problemidir. Ortak yüzeyde sınırdaki gerilme bilinmemektedir. Bu bilinmeyenin de doğrusal bir elemanda yine doğrusal değiştiği kabul edilmiştir. Bu problemden elde edilen sonuçlar yine Muskhelishvili'nin sonuçları ile tamamen çakışmaktadır. Hata oranı yer değiştirme ve gerilmelerde milyonda bir, burulma rijitliğinde 1/10000'dir. Dördüncü örnek problem içinde dört dairesel demir bulunan dikdörtgen bir beton kolondur. Problemde sadece beton kolonda incelenen bölge daha öncekilerden farklı olarak çok bağımlı bir bölgedir. Sınır dikdörtgenin dış sınırına ilave olarak dört delik sınırından oluşmaktadır. Delik yüzeylerinde ilave bilinmeyen olarak x3 doğrultusunda bir kayma gerilmesi vardır. Ayrıca her bir demir için ayrı bir cisimmiş gibi inceleme yapılmalıdır. Problem x1 ve x2 eksenlerine göre simetriktir. Bu da göz önüne alınarak çevre noktaların dörtte birinden iki eksiği ve bir delik çevresindeki noktalara yükleme yapılmış ve buna ilave olarak bir demirde demir çevresine yükleme yapılarak yeterli sayıda denklem elde edilmiştir. Bu arada simetri koşullarının da kullanıldığını tekrar belirtelim.

The main goal of this work is to calculate displacement and stress fields arrising in bars, including two different materials, under torsion. For solution boundary element method is used with Saint-Venant torsion. It is known that reciprocal identity is the starting point of boundary element method. This identitiy gives and integral equation which is written between two different problems of the same body. First problem is named as a singular elastostatic state and includes stress and displacement fields due to a loading in an infinite medium. Material constants are the same with the problem to be solved. Second elastosatic state corresponds to the problem to be solved. Here at first the stress and displacement fields are built due to an infinite line load in the direction of x3 axis in an infinite medium at the point y(y1,y2). Here x(x1,x2,x3) denotes the position of any point in the medium and x1,x2,x3 are the cartesian coordinates of the point x. This concept is used in the integral equation which is obtained by reciprocal identity. Then the only unknown of the integral equation becomes torsion function. The boundary of the problem is assumed as a collection of line segments. Besides it must be emphasized that the integrals of the integral equation are on the boundary of the problem. The aim of boundary element method is to reduce the problem to the solution of a system of linear algebraic equations. Every linear segment of the boundary is named as a linear element and the end points of these are named as nodal points. Here it is accepted that the variation of torsion function is linear on each linear element. By the way the integral equation can be transformed as the summation of the integrals over linear elements. The values of the torsion function at nodal points become the multipliers of certain integrals on each linear element. In this case, the calculation of these integrals makes possible the calculation of the coefficients of the system of linear algebraic equations whose unknowns are the values of torsion function at nodal points. This integrals can be calculated numericaly. However in this work, these have been calculated analytically. One of these linear algebraic equations is obtained by selecting a nodal point as the loading point y in the elastostatic state in the infinite medium. The number on the unknowns are equal to the number of the nodal points and must be the same with the number of the equations. Therefore it must be a loading at every nodal point. A trouble comes out if the loading point of an equation coincides one of the nodal points of the linear element on which the integrals calculated. Then the integrals involves singularities on linear elements on which the loading point exists as an end point. To overcome this problem an circular arc, centered at the loading point with radius epsilon is added to the boundary so that the loading point is outside the region. After this the integrals including singularities are calculated analitically. And for epsilon equal to zero the singularities coming out in adjacent elements, eliminates each other. It is also assumed that the torsion function is constant on the circular arc with radius epsilon. Therefore the integral over this circular arc must be added to the coefficient of the value of the torsion function at this nodal point. First sample problem is chosen as a simple rectengular cross-section to check the results. The results of this problem can be found in Muskhelishvili's book. It is accepted that Saint-Venant torsion is valid. For the first sample problem it is considered that torsion function stays same but changes sign at the nodal points being symmetric relative to x1 or x2 axes. Besides the values of torsion function is zero on symmetry axes. Solving remaining equations the values of torsion function are calculated. Results are the same with analytical solution given by Mushkhelishvili. Relative error is millionth order. By the way stress components can be calculated easily deriving the integral equation mentioned above and using boundary values of the torsion function. If the loading point is named as y(y1,y2), y1 and y2 derivatives of torsion function must be calculated. It is very easy since the integrals have been calculated analytically as functions of y1 and y2. Constructing these derivatives τ13y and τ23y shear stresses can be calculated easily. But in these calculations y point is an inner point of the cross-section. Results are compatible with Mushkelishvili's and relative error has millionth order for this stresses too. For torsion problems another important quantity is torsional rigidity of the cross-section. This quantity is also calculated for rectangular cross-section but relative error has 0.01 percent. After this another problem still remains unsolved which is the calculation of the boundary values of the unknown stress component. This component can not be calculated using τ13y and τ23y stress component and the surface normal n since stress expressions involves strong singularities at point y. This singularities can not be eliminated in stress expressions. But the expression of unknown stress component which is equal - τ13y n2y+ τ23y n1y can be calculated without any singularity in the case of boundary point y has only one tangent. It means at a corner this stress component can not be calculated. It is clear because a corner point has an infinite numbers of tangents and normals. But to eliminate these singularities is not enough to calculate unknown stress component on the boundary. To overcome this problem a new boundary will be defined. In this case, a new circular arc is added to the boundary. Center and the radius are the same with the previous one. But these leaves the point y as an inner point. Than the integrals over this circular arc is the multiplier of torsion function at point y at the right side. But at the left side the multiplier of torsion function becomes one. And there is one possibility for the right side since at point y has just one tangent. And rearranging, the equation torsion function at nodal point y takes place at left side only with multiplier 1/2 And the other terms at the right side thus not involve this. Integrals at the right side must be derived with respect to y1 and y2 before calculating integrals. Then the results have been compared with Mushkelishvili's for the same problem. The relative error has millionth order again for the unknown stress component on the boundary. Second sample problem is also a rectangular cross-section but includes a triangular notch being symmetric relative to x1 axis. In this problem only difference is that half of the equations is used instead of a quarter. For this cross-section whole values relating to torsion function and stresses are very near with those of the first problem for the points far from the notch. But the stress components dramatically increase at the points near the notch. Torsional rigidity of the cross-section is nearly the same with full rectangular. Up to now, formulation is built for a cross-section having a simple connected region. For these kind of regions there are no holes or cracks inside the region. Besides first two problems involve just one material. The aim of this work was to solve torsion problem for all kinds of cross-sections involving different materials also. For this purpose third sample problem is selected as a rectangular consisting of two rectangular parts. This problem involves a symmetry axis which is x1 and can be thought as a mix-boundary value problem. It can be seen that this cross-section are formed as a reunion of two rectangular cross-sections of two different materials. At the common boundary a surface traction component come out as unknown in addition to the torsion function which represent displacement component in the x3 direction. The integral equation which is obtained for the first two problems for a simply connected region is used both rectangulars having different materials separately. But each of them has an addional integral on the common boundary. The variaton of surface traction component in the x3 direction is also accepted as linear on each linear elements on this common boundary. Let N1 and N2 be the number of the linear elements belonging only either the first or the second rectangular respectively. And N3 will represent the number of the linear elements on the common boundary. In that case the number of the nodal points is N1+N3 and N2+N3 in the first and second rectangulars respectively. It means that performing a loading on each nodal point for both rectangulars one can have only N1+N2+N3 equations for whole system. This number is not enough. In addition to this,the equality of the torsion function on common boundary for both rectangulars is used. Another condition is that x3 component of the surface traction vector on the common boundary are also the same but change sign for two rectangulars. Using this the number of the equations becomes equal to the number of the unknowns. Solving these equations the boundary values of torsion function at nodal points are obtained on whole boundaries. Besides the nodal values of the surface traction vector are also obtained on the common boundary. For the first two problems the torsion function is free from the shear modulus μ. But in the third problem torsion function is depended on the ratio of μ1/μ2. Here μ1/μ2 represents shear modules of the first and the second materials respectively. This problem is also solved analytically by Mushkelishvili. Results are the same with those given by him. The relative error is millionth order for stresses and displacements. But this error increases to 0.01 percent in the calculation of the torsinal rigidity of the same problem. For whole problems the variations of torsion function, shear stresses and unknown stress component on the boundary versus x1 or x2 are given by curves in the text. The last and fourth sample problem is a rectangular concrete column with rectangular cross-section including four cylindrical steel bars placed symmetrically relative to x1 and x2 axes. The problem is considered as two different problems. One of them is a rectangular cross-section involving four equal and symmetrically placed circular holes. And the second is a single circular cross-section. Of course these two problems have different materials. The boundary conditions are used on the common boundary and considering the symmetry conditions, the necessary equations are obtained. An interesting point is that in a full rectangular the sign of the torsion function is the same in a quarter while in this problem sign will change from minus to plus in the same region. The reason of this is explained in the text. And variations of torsion function, stress component, and the unknown component versus some coordinates is plotted in the text.