Mathcad programı ortamında sonlu elemanlar metodu kullanılarak silindirik düz dişliçark dişlerinde meydana gelen gerilme ve şekil değişimlerinin hesabı - Soykök, İbrahim Fadıl (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2001)
Endüstride karşılaşılan pek çok mühendislik problemine analitik çözümler bulmak bir çok durumda mümkün olamayabilmektedir. Problemlerin basitleştirilerek çözümlenmesini amaçlayan bu yöntemler, bu nedenle bazı hallerde güvenilirliklerini de önemli ölçüde yitirebilirler. Tasarım aşamasında mühendislerin karşısına çıkan karmaşık şekiller, farklı sınır koşullan ve malzeme özellikleri gibi matematiksel olarak tanımlanması kolay olmayan özellikler yaklaşık bir çözüme ihtiyaç duyduğundan, geliştirilen bazı sayısal analiz yöntemleriyle çözüme ulaştırılırlar. Sonlu elemanlar metodu, sonlu arklar metodu ve sınır farklar metodu mühendislik tasarımında en fazla karşılaşılan sayısal analiz metotlarıdır. Sonlu elemanlar metodu uzun zamandır mühendislik ve bilim alanında diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan sayısal bir yöntemdir. Sonlu elemanlar metodu çok değişik alanlarda başarıyla uygulanabilen ve çözümlerde makul sonuçlar veren bir yöntem olup, Statik, Frekans, Harmonik, Dinamik gibi yapısal analiz problemleri, elektromanyetik analiz, termal analiz, akustik ve akışkanlar mekaniği çalışmalarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Bilgisayar teknolojisi ve programlama metotları sonlu elemanlar yönteminin uygulanmasında önemli bir yer işgal ederler. Çünkü bu nümerik metotta, çok az sayıda birkaç basit problemin dışında hemen, hemen her problemin çözümü bilgisayar programlarıyla gerçekleştirilir. Sonlu elmanlar yöntemi ile yazılan programlardan en yaygın olarak kullanılanlardan biri olan ANSYS ve SoIidWorks CAD programı içinde çalışan COSMOSWORKS paket programlarına ait çözümler bu çalışmanın son bölümünde verilmiştir. Sonlu elemanlar metodunu, sayısal işlemleri gerçekleştiren ve matematiksel işlevleri yürüten bazı bilgisayar programlarında da, gerekli formülasyonlar yazılarak uygulamak mümkün olabilmektedir. Teknik ve bilimsel hesaplamalarda yaygın olarak kullanılan programlardan biri olan MATHCAD, denklem sistemlerinin çözümü, vektör ve matris işlemleri, veri analizleri, grafik uygulamaları ve animasyonlar ve ayrıca programlama gibi bir çok matematiksel işlemi gerçekleştirebilen geniş bir potansiyele sahiptir. Bu çalışmada, düğüm noktalan koordinatlarının oluşturulması, hücre oluşumu, kuvvet ve yer değişimi vektörlerinin bulunması gibi vektör ve matris işlemleri ve ayrıca hücre yapısının ve deforme olmuş yapının çizimi gibi grafik uygulamaları Mathcad çalışma alanı içinde gerçeUeştirilmiştir. Güç ve hareket iletim elemanlarından biri olan dişli çarkların boyutlandınlmasında da sonlu elemanlar yöntemi makul ve yaklaşık çözümlerin elde edilmesi açısından geçerli bir metottur. Dişli çarklarda, çalışma esnasında meydana gelen gerilme yığılmalarının diş diplerindeki kritik bölgede (diş dibi kırılmasının başladığı yerde) olduğu bilindiği için, çalışmada bu bölgeyi de içine alan bir diş profili üzerinde hesaplamalar gerçeldeştirilmiştir. Sınır şartlarından biri olan diş kuvvetinin tayininde, iletilen güç ve devir sayısı dikkate alınıp, yükün tek bir diş tarafından taşındığı kabul edilerek diş başına etki eden kuvvet bulunmuş, diş profilinin çark gövdesinden zahiren kesildiği sınırdaki noktalar da diğer bir sınır şartı olarak sabit kabul edilmiştir. Hesaplamaların ilk kısmında, klasik hesap yöntemi kullanılarak, diş dibinde oluşan maksimum gerilme bulunmuşdu. Bu hesaplamalarda elde edilen diş kuvvetinin teğetsel ve radyal bileşenleri "Fte ve Frc" takip eden kısımda Mathcad içindeki hesaplamalarda da kullanıldı. Sonlu elemanlar metodu bu probleme uygulanırken, ilk önce düğüm noktası koordinatları ve hücre elemanlarının dizilişi matrisler halinde tanıtıldı ve sınır şartlan da verilerek çözüme geçildi. Çözüm safhasında ilk olarak eleman rijitlik matrisleri ve genel rijitlik matrisi hesaplandı. Ardından genel rijitlik matrisi kullanılarak genel yer değişimi ve kuvvet vektörleri bulundu. Eleman gerilme fonksiyonundan elde edilen değer asal gerilme bağıntısı içine yerleştirilerek her bir düğüm noktasına ait asal gerilmeler hesaplandı. Elde edilen asal gerilme matrisi içindeki gerilmelerden maksimum ve minimum değere sahip olanı alınarak çözüm tamamlandı. Ayrıca deforme olan yapının değişime uğramamış yapı üzerindeki çizimi de Mathcad programının iki boyutlu grafik penceresinde gösterildi. Farklı eleman tipi ve eleman sayısına ait modeller de Mathcad ortamında çözümlenerek sonuçlar bir tablo halinde listelendi. Mathcad ortamında ulaşılan çözümü klasik hesap yönteminde elde edilen sonuçla karşılaştırmanın yeterince güvenilir olmadığı kanısıyla, yine sonlu elemanlar yöntemini kullanan başka paket programlardan yararlanıldı. Bunun için ilk olarak Mathcad ortamında hesaplanan ile aynı geometrik ölçülere sahip bir diş yapısının SOLID WORKS 'de çizimi yapıldı ve aynı program içinde çalışan xı COSMOS WORKS 'da daha önce verilen sınır şartlarına göre çözümü yapıldı. Ardından bu model ANSYS paket programına da aktarılarak çözüm tekrar edildi. Her iki paket programdan elde edilen sonuçlar çalışmanın sonuna eklenerek karşılaştırma ve değerlendirme imkanı sağlandı.

In many cases, it is very difficult or impossible to find analytical solutions for engineering problems encountered in industrial field. The methods in which problems are intended to soke by simplifying them, loses sometimes their reliabilities. Because properties, which can not be identified easiliy in mathematical way such as complex shapes, variable boundary conditions and material properties, require aproximate solutions, they are solved by the aid of numeric analysis methods at the design stage. Finite Element Method, Finite Differences Method and Boundary Differences Method are most commonly used numerical analysis methods in engineering design process. Finite Element Method is a numerical method, which has been used for solving differential equations in science and engineering for a long time. This method can be applied successfuly to many different fields like static analysis, electromagnetic analysis, thermal analysis, acoustic and fluid mechanics and gives acceptable solutions. Computer technology and programing take a great part in puting Finite Element method into practice, because analyses of almost each problem except for some basic studies are performed by computer programs. Solutions, belonging to ANSYS and COSMOSWORKS softwares, which based upon Finite Element Method were given in the last section of this study. Finite Element method can be applied by entering required formulas even in programs, performing some mathematical functions and numerical procedures. MATHCAD Program, which is one of the widely used tools for technical and scientific calculations, has a great potential such as calculus and differential equations, vector and matrix operations, data analysis, programming, graphing and visualization and animations. In this study, arranging nodes in cartesian coordinate system, meshing Finite Element Model, vector and matrix operations (obtaining force and displacement vectors etc.), and ploting deformed and undeformed geometry were performed in mathcad work space. X1H During the construction of gears, one of the power and motion transmission parts of machines, Finite Element is a valid method to get acceptable and approximate solutions. Because the stress intensities which occur in loading conditions at the gear teeth are known to arise in the critical region at the bottom, stress analysis were performed for the structure, including this region of a tooth. While the tooth forces, one of the boundary conditions, are obtained, the magnitude of the tooth force vector was found assuming that it is beared by only one tooth, taking transmitted power and circular period into consideration. In the primary section of calculations, maximum stress existing at the bottom part of the gear tooth was calculated using classical methods. The tangent and radial components of the gear tooth force vector "Ftc ve Frc" which was derived from this initial calculations, were used in the following computations in Mathcad work space. As Finite Element Method was applied to the gear tooth problem, first node coordinates and meshing order were entered in matrixes and then the problem was started to solve. Element Stiflhess Matrix and Global StiShess Matrix were found initially at the solution part of the study. Using Global Stiffness Matrix, Global Force and Global Displacement Vectors were computed. Putting the values, that obtained from Element Stress Function into Principal Stress Function, principal stresses, concerning to each node, were calculated. Maximum and minimum stress values were derived from the Principal Stress Matrix and solution was completed. In addition, deformed and undeformed geometries of the tooth structure were displayed in the same plot, that gives an opinion about the behaviour of the structure in loading conditions. The models having different Element type and quantities were analysed in Mathcad too and results were listed as a table and graphic. Other Finite Element computer programs were used to be sure of getting proper results. For the computations, which were going to be made in COSMOSWORKS and ANSYS, the tooth structure, having the same geometric size just as calculated in Mathcad Program, was created in SOLIDWORKS CAD Program, in which COSMOSWORKS performs. The Problem was solved according to previous boundary conditions in COSMOSWORKS. After exporting the same model to ANSYS, the solution was repeated again in this program. The results obtained from each analysis were added to the conclusion of the study, to criticize the solution methods.
Stress and strain analysis at gear teeth using finite element method in mathcad workspace
Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2001
Keywords: Bilgisayar programları; Dişliler; Sonlu elemanlar yöntemi; Computer programs; Gears; Mathcad; Finite element method